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2017年4月21日 2006 届北大附中深圳分校 高三数学模拟试卷一 北大附中深圳南山分校 高三数学组 倪 杰 第Ⅰ卷（选择题 共 60分） 一、选择题（每小题 5分，共 10小题，共 50分） 1.圆 x2+y2+8x-4y=0与圆 x2+y2=20关于直线 y=kx+b对 称，则 k与 b的值分别等于 A． k=-2,， b=5 B． k=2， b=5 C． k=2， b=－ 5 D． k=-2， b=-52. 等差数列 {an}的通项公式是 an =2n+1，其前 n项和 为 Sn ， 则数列 的前 10项和为 A． 75 B． 70 C． 120 D． 100 { }nSn B A C. cos( )2 6 xA y   . cos( )2 3 xB y   2. cos(2 )3C y x   2. cos(2 )3D y x   3 3.先将 y=f(x)的图象沿 x轴向右平移 个单位，再 将图象上每一个点的横坐标伸长为原来的 2倍，而保 持它们的纵坐标不变，得到的曲线与 y=cosx的图象 相同，则 y=f(x)是 4.已知直线 m、 n和平面 α，则 m n∥ 的一个必要不充 分条件是 A． m α ∥ ， n α B∥ ． m⊥α ， n α⊥ C． m α ∥ ， nα D． m 、 n与 α成等角5.函数 f(x)=log3x2在其定义域上单调递减，且值域为 [2,4] , 则它的反函数的值域是 A. [-3,9] B. [-9, 3] C. [-9,-3] D. [3,9] 1 3n nS a lim nn S4 3 7.无穷数列 {an}中， a1=2，其前 n项和为 Sn．当 n≥2 ， n N∈ +时， ，则 等于 A． 0 B． C． -2 D． 3 6.函数 f(x)满足 : f(x+2)=-f(x) (x R),∈ 则下列结论正确 的是 A． f(x)的图象关于直线 x=1 对称 B． f(x)的图象关于点（ 1， 0）对称 C．函数 y=f(x+1) 是奇函数 D．函数 f(x)周期函 数 D C D A { | }2 a bx b x   { | }x ab x a  { | }x b x ab  8. 已知 a>b>0，全集 U=R，集合 M= , N= , P= ，则 P与 M、 N 的关系为 A． P= (CUM) ∩N B． P=M∩(CUN) C． P=M∩N D． P=M∪N 2sin cos 2A A  1 3,2 2 9. A 为三角形的一个内角，且 ，则 sin2A与 cos2A 的值依次为 A ． B. C. D.1 3,2 2 1 3,2 2  1 3,2 22 2 2 2 2 2 2 210. 1 ( 0) 1 ( 0, 0)x y x ya b m na b m n       已知椭圆与双曲线 1 3 2 2 有相同的焦点 (-c,0)和 (c,0)．若 c是 a 与 m的等比中 项， n2是 m2与 c2的等差中项，则椭圆的离心率等于 A ． B. C. D. 3 3 1 2 B C B 1.不等式 t2-2at≥0对所有 a [-1,1]∈ 都成立，则 t的取值范围是 _________________________ ． 12.右图所示的流程图是将一 系列指令和问题用框图的形 式排列而成，箭头说明下一 步是到哪一个框图 . 阅读这 个流程图，回答下列问题： 第Ⅱ卷（非选择题 共 100分） 二．填空题：（本大题共 4小题；每小题 5分，共 20分） 若 a<b<c，则输出的数是 ___. 2 3 1 31( )2若 a= , b= , c=log32，则 输出的数是 ． （用字母 a、 b、 c填空） c b ( －∞，－ 2]∪{0}∪[2 ， +∞) 开始 输入 a,b,c 输出 c b>c 吗 ？ 否 否 a>b 且 a>c 吗 ？ 是 是 输出 a 输出 b 结果 关注探究性学习 !a≈0.6667,b≈0.7937,c≈0.6308 13. 点 A、 B、 C是表面积为 48π的球 O表面上的三 点，且每两点间的球面距离都等于 ，则三棱锥 O– ABC的体积等于 _____. 2 3 3  1 0)4y x xx  （ 3sin(2 ) 23y x    14. 有下列四个命题： ① 函数 的值域是 [1,+∞) ； ② 平面内的动点 P到点 F(-2,3)和到直线 l :2x+y+1=0 的距离相等，则 P的轨迹是抛物线； ③ 直线与平面 α相交于点 B，且 AB与 α内相交于 C 的三条互不重合的直线 CD、 CE、 CF所成的角相 等，则 AB⊥α; ④ 函数 的最小正周期是 π ． 其中正确的命题的编号是 _______. 2 6 ③ 、④ 无情岁月增中减，有味诗书苦后甜。 A B C O O1 D 由题设知 O–ABC是 正四面体且 R2=12=OA2 点 P在直线 l 上则为假命题 α L A CB P O F D E ③ 如图 ,OA、 OB、 OC是平面 α内不共线的三条射线， P为空 间一点且 ∠ POA= POB= POC∠ ∠ ，则 PO ⊥ α. ④ y=3sin(2x+　 ) - 2　　 3  x y o 5 6  3  12  6  3 7 12  -2 y=3sin(2x+　 ) 　　 3  由 OP ED,OP EF,⊥ ⊥ 得 PO ⊥ α y=|3sin(2x+　 ) – 2|　　 3  11 6  最小正周期仍是 π 3 , tan tan tan tan tan tan2 3 3b A C A C      15.（ 12分）在△ ABC中，内角 A、 B、 C的对边分 别为 a、 b、 c ．其中 （ 1）求角 B的大小；（ 2）求 a+c的取值范围． 三、解答题：（共 6小题，共 80分） tan tan tan tan tan tan3 3A C A C    解： (1) 由 tan tan tan (1 tan tan )3A C A C    得 可知 1-tanAtanC≠0，否则有， tanAtanC=1， tanA+tanC=0 , 互相矛盾． 2分tan tan tan tan( ) 3,1 tan tan 3 A C A CA C        而 0<A+C<π，所以 2 ,3 .3C BA     1分 5分 （ 2）由正弦定理有， 3 2 1,sin sin sin sin 3 a c b A C B     方法一 2sin , sin sin( ),3a A c C A    2 3 3sin sin( ) sin cos 3 sin( ),3 2 2 6a c A A A A A          2 5 10 , , sin( ) 1.3 6 6 6 2 6A A A            于是 则 a+c的取值范围是 : 3( , 3].2 （ 2 ）正弦定理 : 2 .sin sin sin a c b RA C B   （ 1 ）余弦定理 : a2=b2+c2- 2bc·cosA 您记住正、余弦定理了吗？ 方法二 22 2 2 3( ) 2 14cos .2 2 2 a c aca c bB ac ac       2 23 3( ) 3 3( ) ,4 4 2 a ca c ac      2 3 33, a( c>b= , <a c< 3.2) 23 ca c a      又故+ 2 2( ) ( )2 1 x x a af x x R    1 2 1( ) log xf x k   16.(13分）设 a R∈ ， 函数 是 奇函数 ,（ 1）求常数 a的值； （ 2）实数 k>0,， f -1(x)是函数 f(x)的反函数，解关 于 x的 不等式解： (1) f(x)为奇函数的充要条件是：对任意 x R∈ ， f(x)+f(-x)=0 都成立． 1 分 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 1 2 1 2 1( 2)2 2 22 1 x x x x x x x x a a a a a af x f x a a a                      即 2a-2=0 恒成立，∴ a=1 5分 (2) 函数 f(x)的定义域是 R． 2 1 2( ) 1 ,2 1 2 1 x x xf x     可得 f(x)的值域为 (-1,1) ． 6分 2 1 1, 22 1 1 x x x yy y    由得， 1 2 1( ) log ( 1 1)1 xf x xx     从而得， 8分 小技巧 :可由 f(0)=0,求出 a=1. 2 2 1 1log log .1 x x x k  则原不等式为 1 1 1 0 1 1 1 x x k x x x k           1 1 1 11 1x> 1 x xx k x k             由 k>0及函数 y=log2x单调递增知，不等式等价于 10分 当 0<k<2时， -1<1- k <1, 原不等式的解集为 (1-k,1) ； 11分 当 k≥2时， 1-k≤1, 原不等式的解集为 (-1,1) ． 13分 解不等 式 需要熟 练 证不等 式 需要技 巧 -1 11 -k x 17.（ 13分）我国是水资源比较贫乏的国家之一，各 地采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的．某 市用水收费的方法是：水费 = 基本费 + 超额费 + 定 额损耗费． 若每月用水量不超过最低限量 a m3时，只付基本费 8 元和每月的定额损耗费 c元；若用水量超过 a m3时， 除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每 1 m3付 b元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超 过 5元． 该市一家庭今年一季度的用水量和支付费用见下表 ，根据表中的数据求 a、 b、 c．月份 用水量（ m3） 水费（元） 1 9 9 2 15 19 3 22 33 解：设月用水量为 x m3，当月支付费用为 y元，则 8 (0 ) (1) 8 ( ) ( ) (2) c x ay b x a c x a        由题知， 0<c≤5 8+c≤ 13∴ 从表中知， 2月、 3月的费用均大于 13元，故用水量 15、 22 m3均大于最低限量 a m3，将 x=15、 x=22分 别代入上述 (2)19 8 (15 ) 2,33 8 (22 ) b a c bb a c           可得 ∴ 2a=c+19 (3) 7分 6分 若 1月份用水量 9 m3超过最低限量 a m3 ,即 a>9，将 x=9代入上述（ 2）式中得 9=8+2 (9-a)+c 得 2a=c+17 ，这与（ 3）式矛盾 , 10分 4分 3分 因此 1月份的付款应为： 8+c=9, c=1 11分 故 a=10,b=2,c=1 12分 答： a=10,b=2,c=1. 13分 节约用 水光荣 ! 18.（ 14分）如图，棱柱 ABCD–A1B1C1D1的所有棱长 都等于 2，∠ ABC=600，平面 A A1C1C⊥平面 ABCD， ∠ A1AC=600． (1) 求二面角 D–A1A–C的大小； (2) 求 点 B1到平面 A1ADD1的距离； (3)在直线 CC1上是否 存在点 P，使 BP // 平面 DA1C1？若存在，求出点 P的 位置；若不存在，说明理由． D C B A D1 C1B1 A1 解：（ 1）在平面 ABCD 上， AB=BC=CD=DA=2 ∴ 四边形 ABCD为菱 形 , BD AC,∴ ⊥ ∵ 平面 A A1C1C⊥平面 ABCD ∴BD⊥平面 A A1C1C,设 AC∩BD=O，过 O作 OE AA⊥ 1于 E点 ，连结 DE，由三垂线定理 有， AA1 DE⊥ ， 则∠ DEO为二面角 D–A1A–C 的平面角 2分 O E D C B A D1 C1B1 A1 O E 在 Rt AEO△ 中， 3sin 1 sin 60 ,2OE AO EAO      在 Rt DEO△ 中， 3tan 2,3 2 DODEO EO    ∴ 二面角 D–A1A–C的大小为 arctan2 5 分 ∴∠DEO=arctan2 4分 在菱形 ABCD中， AB=2 ，∠ ABC=600 , AC=AB=BC=2 , AO=1,∴ ∴ DO=2 2 3.AB AO  （ 2）连结 A1O、 A1B．由于 B1B //平面 A1A DD1， 所以 B、 B1到平面 A1A DD1的距离相等，设点 B到平 面 A1A DD1的距离等于 h． 在△ AA1 O中，2 2 2 1 1 12 cos6014 1 2 2 1 32 AO A A AO A A AO            ， ∴ A1O2+AO2=A1A 2，∴ A1O AO⊥而平面 A A1C1C⊥平面 ABCD ∴A1O⊥平面 ABC 7 分由上述第（ 1）问有， ED A⊥ 1A1且 1 2 2 1 3 15 1 1 15 153 , 2 .4 2 2 2 2 2A DAED EO DO S A A ED          9分 10 分 D C B A D1 C1B1 A1 O E 1 1 1 2 3 32 2ABDS AO BD      又， 1 1 1 1 1 1 3 3B A DA A ABD A DA ABDV V S h S AO      由，有， （ 3）存在这样的点 P, 连结 B1C．∵ A1B1 AB DC ∴ 四边形 A1B1CD 为平行 四边形 ∴ A1D// B1C 12 分 // // //// 在 C1C的延长线上取点 P， 使 C1C=CP，连结 BP， 因 B1B C1C , ∴B1B CP ∴ 四边形 BB1CP为平行四边形, ∴ BP//B1C , BP//A∴ 1D , 则有 BP // 平面 DA1C1 14 分注：本题的侧棱长为 2是一个多余的条件 ，其作为已知可以减少向量坐标解法的 运算量 . D C B A D1 C1 B1 A1 P 1 1 3 2 153 515 2 ABD A DA Sh AOS        ， 2 15 .5即点 B1到平面 A1ADD1的距离等于 2 55 5OM ON OM  uuuur uuur uuuur ， 19.（ 14分）在直角坐标平面上， O为原点， M为动 点， 过点 M作 MM1 y⊥ 轴于 M1，过 N 作 NN1 x⊥ 轴于点 N1, OT=M1M+N1M记点 T的轨迹为曲 线 C，点 A（ 5， 0）、 B（ 1， 0），过点 A作直 线 l交曲线 C于两个不同的点 P、 Q（点 Q在 A与 P 之间） .（Ⅰ）求曲线 C的方程 ;（Ⅱ）证明不存在 直线 l，使得 |BP|=|BQ|；（Ⅲ）过点 P作 y轴的平行 线与曲线 C的另一交点为 S, 若 AP=tAQ,证明 : SB=tBQ， ． B A N1 M1 51 N M y xO （ 1）解：设点 T的坐标为 (x,y), 点 M的 坐 标为 (x′,y′), 则 M1的坐标为 (0， y′)2 5 2 5 ( ', '),5 5 2 5 2 5( ', '),5 5 ON OM x y N x y  uuur uuuur 所以 1 1 2 5( ',0), (0, '),5M M x N N y  uuuuur uuuur2 5( ',0)5 x∴N1的坐标为 1 1 2 5, ( , ) ( ',0) (0, '),5OT M M N N x y x y    uuur uuuuur uuuur 由有 ' 2 5 '5 x x y y   5' ' ,2x x y y  由此得 5OM uuuur 2 2' ' 5x y  2 25( ) 5.2x y 由 有 ∴2 2 15 4 x y  即 为所求的方程．曲线 C为椭圆 ． 4分 (2)证：点 A（ 5， 0）在曲线 C即椭圆的外部，当直 线 l 的斜率不存在时，直线 l 与椭圆 C无交点，所以 直线 l 斜率存在，并设为 k．直线 l 的方程为 : y=k(x- 5) 5分2 2 15 4 ( 5) x y y k x      由方程 , 得 (5k2+4)x2-50k2x+125k2-20=0 6 分 5 5 5 5k   依题意 △ = 20 (16-80k2)>0 ，得 7分 2 2 1 2 1 2 02 2 50 25, .5 4 2 5 4 x xk kx x xk k     则 ， 当 时，设交点 P(x1,y1),Q (x2,y2), ， PQ的中点 为 R (x0,y0), 5 5 5 5k   8分 2 0 0 2 2 25 20( 5) ( 5) ,5 4 5 4 k ky k x k k k      又 |BP|=|BQ|→BR l→k k⊥ BR=-1 22 2 2 2 2 2 20 205 4 1 20 20 425 4 201 5 4 BR k kkk k k k kk k k           但 20k2=20k2-4不可能成立 , 所以不存在直线 l 使得 |BP|=|BQ| ． 10分（ 3）证明：由题有 S(x1,-y1)， 1 1 2 2( 5, ), ( 5, )AP x y AQ x y    uuur uuur 则有方程组 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 5 ( 5), (1) , (2) 1, (3)5 4 1. (4)5 4 x t x y ty x y x y         11分 9分 将（ 2）、（ 5）代入（ 3）有 4[t(x2-5)+5]2+5t2y22=20 整理并将（ 4）、（ 5 ）代入得 (t2-1)+2(1-t)tx2+5(1- t)2=0 由（ 1）得： x1= t (x2-5)+5 (5) 2 3 2 .tx t 易知 t>1，解得 12分 1 1 1 1 2 2(1, 0), ( , ), (1 , ), ( 1, )B S x y SB x y BQ x y     uur uuur 因故， 2 2 2(1 ( 5) 5 ( 1),0) ( 4 (2 6),0)6 4( 4 ( 6),0) (0,0) t x t x t x tt t                SB tBQuur uuur故 1 1 2 2 1 2 1 2(1 , ) ( 1, ) (1 ( 1), )SB tBQ x y t x y x t x y ty          uur uuur 14分 20.（ 14分）数列 {an}的各项均为正值， a1=1，对任 意 n N∈ +， an+12-1=4 an(an+1)， bn =log2(an+1)都成立． （Ⅰ）求数列 {an}、 {bn}的通项公式； （Ⅱ）当 k>7且 k N∈ +时，证明对任意 n N∈ +都有 成立 1 2 1 1 1 1 1 3 2n n n nkb b b b       L (1)解： an+12-1=4an(an+1)得 (an+1+2an+1) (an+1-2an-1)=0 2 分数列 {an}的各项为正值， an+1+2an+1>0, an+1=2an+1 3分 ∴an+1+1=2(an+1) 4分 又 a1+1≠0, ∴数列 {an+1}为等比数列 ． 6分∴an +1=（ a1+1） 2 n-1=2 n ,an=2n-1， 即 :数列 {an}的通项公式为 an=2n-1 ． 7分bn=log2(2n-1+1)=n 8分 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 1n n n nk S b b b b n n n nk              L L（）设 1 1 1 1 1 1 1 12 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 1S n nk n nk n nk nk n              L （★） 10分1 1 1 1 1 1 1 4( )( ) 4 2 0 0 .x y x yx y x y xy x y x y          又（，） 当且仅当 x=y 时等号成立． 12分 上述（★）式中， k>7， n>o， n+1,n+2, … ,nk-1全为正， 所以 4 4 4 4 4 ( 1)2 1 1 2 2 3 1 1 n kS n nk n nk n nk nk n n nk                 L 2( 1) 2( 1) 2 2 32(1 ) 2(1 ) ,1 1 1 7 1 21 k kS k kk n            14分 斗奋 奋斗者不一定成功 , 不奋斗者一定不 成功 ! 教师寄语 :