0 0 类别 : 教案

课 题：7.1 圆（1） 教学目标： 　　1、理解圆的描述性定义，了解用集合的观点对圆的定义； 　　2、理解点和圆的位置关系和确定圆的条件； 　　3、培养学生通过动手实践发现问题的能力； 　　4、渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法. 教学重点：点和圆的关系 教学难点：以点的集合定义圆所具备的两个条件 教学方法：自主探讨式，创设情境，开展学习活动 教学过程： 　　1、让学生画圆、描述、交流，得出圆的第一定义： 　　定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随 之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.记作⊙O，读作 “圆O”. 　　2、让学生观察、思考、交流，并在老师的指导下，得出圆的第 二定义. 　从旧知识中发现新问题 　　观察： 共性： 这些点到O点的距离相等 　　想一想：在平面内还有到O点的距离相等的点吗？它们构成什么图形？ 　　（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径的长r）； 　　（2）到定点距离等于定长的点都在圆上. 　　定义2：圆是到定点距离等于定长的点的集合. 　　3、点和圆的位置关系 　　问题三：点和圆的位置关系怎样？（学生自主完成得出结论） 　　如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则： 　　点在圆上 d=r； 　　点在圆内 d<r； 　　点在圆外 d>r. 　　“数” “形” 典型例题： 例1如图，已知在△ABC中， ∠ACB=90°，AC=12，AB=13，CD⊥AB于 D，以C为圆心， 5为半径作圆C，试判断A、D、B三点与⊙C的位置关系； 若要⊙C经过点D，则这个圆的半径为多少？ 例2求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上. 例3如图，已知△ABC、△ABD、△ABE都是以AB为斜边的直角三 角形，问： （1）请猜想点A、D、B、C是否在同一个圆上.若在，请说出圆心 和半径. （2）请说明点A、D、E、B在同一个圆上的理由. 课内练习： 1、确定一个圆的条件是__________和________________. 2、已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，当OP满足下 列条件时，分别指出点A和 ⊙O的位置关系： OP=6cm；（2）OP=10cm；（3）OP=14cm. 3、已知矩形ABCD中，AB=5cm，BC=3cm，以B为圆心，AB为半径画圆. （1）证明：点C在圆内，点D在圆外； （2）设E、F为边CD上两点，EC=4cm，FC=4.5cm，试判断点E、F与⊙B的位置关系. 课堂作业：P67 3，4 课 题：7.1 圆（2） 教学目标： 　　1、使学生理解弦、弧、弓形、同心圆、等圆、等孤的概念；初步会运用这些概念判断真 假命题。 　　2、逐步培养学生阅读教材、亲自动手实践，总结出新概念的能力；进一步指导学生 观察、比较、分析、概括知识的能力。 　　3、通过动手、动脑的全过程，调动学生主动学的积极性，使学生从积极主动获得知 识。 教学重点:理解圆的有关概念． 教学难点：对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解． 　　学生容易把长度相等的两条弧看成是等弧。让学生阅读教材、理解、交流和与教师对 话交流中排除疑难。 教学过程设计： 　　（一）阅读、理解 　　重点概念： 　　1、弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 　　2、直径：经过圆心的弦是直径． 　　3、圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．简称弧． 　　半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧． 　　4、弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 　　5、同心圆：即圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 　　6、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆． 　　7、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 　　（二）小组交流、师生对话 　　问题 ： 　　1、一个圆有多少条弦？最长的弦是什么？ 　　2、弧分为哪几种？怎样表示？ 　　3、弓形与弦有什么区别？在一个圆中一条弦能得到几个弓形？ 　　4、在等圆、等弧中，“互相重合”是什么含义？ 　　（通过问题，使学生与学生，学生与老师进行交流、学习，加深对概念的理解，排 除疑难） 　 主要理解以下概念：（1）弦与直径；（2）弧与半圆；（3）同心圆、等圆指两个图 形；（4）等圆、等弧是互相重合得到，等弧的条件作用． 典型例题： 例1已知：如图，在⊙O中，AB、CD为直径，求证：AD∥BC. 例 2已知：如图，CD为⊙O直径，AB交⊙O于点E，且 AE=OC， 求证：∠B=2∠A. 例 3已知：E、F是⊙O的弦AB上两点，且 AE=BF，连结OE、 OF， 求证：OE=OF. 课内练习： 1、如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于 D，BC=6，求OD的长. 2、已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OA的中点，求证：AD=BC. 课堂作业： P67 5 P68 7 课 题：7.2 过三点的圆（1） 教学目标： 1．本节课使学生了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作 图方法。 2．了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。 3．培养学生观察、分析、概括的能力和动手作图的准确操作的能力。 培养学生 4.培养学生的知识来源于实践又反过来作用于实践的辩证只许物主义观念。 5．通过对圆的进一步学习，使学生既能体会圆的完美性（与其他图形的结合等）， 又培养美育素质，提高对数学中美的欣赏。 教学过程： 1、学生在教师的引导下，亲自动手试验发现经过三点的圆，这三点的位置要进行讨 论．有两种情况：①在一条直线上三点；②不在一条直线上三点，通过学生小组的讨论 认为不在同一条直线上三点能确定一个圆．怎样才能做出这个圆呢？这时教师出示幻灯 片． 2、动手试一试： 作圆，使它经过不在同一直线上三点． （ 由学生分析首先得出这个命题的题设和结论．） 已知： ，求作：⊙O，使它经过A、B、C三点． 接着教师进一步引导学生分析要作一个圆的关键是要干什么？由于一开课在设计学 校的位置时，学生已经有了印象，学生会很快回答是确定圆心，确定圆心的方法：作 的三边垂直平分线，三边垂直平分线的交点O就是圆心．圆心O确定了，那么要 经过三点A、B、C的圆的半径可以选 OA或 OB都可以．作图过程教师示范，学生和老师一 起完成．一边作图，一边指导学生规范化的作图方法及语言的表达要准确． 定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 3、由于学生完成了作圆的过程，引导学生观察这个圆与 的顶点的关系，得出： 经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这 个三角形叫做这个圆的内接三角形． 强调“接”指三角形的顶点在圆上，“内接”、“外接”指在一 个图形的“里面”和“外面”．理解这些术语的意义，指出语言表 达的规范化．为了更好地掌握新概念，出示练习题（投影）． 典型例题： 例1 已知线段AB和直线 L，过A、B两点作圆，并使圆心在 L上，问： （1）当 L∥AB时，可作几个这样的圆？ （2）当 L与AB斜交时，可作几个这样的圆？ （3）当 L⊥AB且不过AB的中点时，可作几个这样的圆？ （4）当 L是AB的垂直平分线时，可作几个这样的圆？ 例2平原上有三个村庄 A、B、C，现计划打一口井 P，使水井到三个村 庄的距离相等. （1）画出水井的位置； （2）若再建一个工厂 D，工厂到水井的距离也等于水井到三个村庄 的距离，且工厂到A、C两个村庄的距离相等，请画出工厂的位置. 课堂小结：（师生共同完成总结．） 2．（l）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三 边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． 课内训练： 1．按图填空： （1）△ABC是⊙O的__________三角形； （2）⊙O是△ABC的___________圆. 2．判断题： （1）经过三个点一定可以作圆. （ ） （2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外 接 圆. （ ） （3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形.（ ） （4）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等. （ ） 3．如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样使用这样的工具找到 圆形工件的圆心？ 4．画边长分别为2cm、2.5cm、3cm的三角形，再画出这个三角形的外接圆，并量出这个 圆的直径（精确到0.1cm）. 课堂作业：P68 8 9 课 题：7.2过三点的圆（2） 教学目标： 1．知道反证法，并能说出反证法证明命题的三个步骤. 2．会用反证法证明一些简单的命题. 教学重点： 知道反证法，并能说出反证法证明命题的三个步骤. 教学难点： 会用反证法证明一些简单的命题. 导入： 1．王芳看完电影走出电影院时，发现马路和人行道都是湿淋淋的，便对同伴说： “刚才看电影时天下雨了。”李明问：“你怎么知道的？”请你替王芳说明道理。 说明：“假如‘天不下雨’，那么马路和人行道上都是干的，这与‘马路和人行道上 都是湿淋淋的’”事实不相符，所以“天不下雨”是不可能的，因而断定“天下雨了” 是正确的. 2．小刚在放暑假时把教室的门窗都贴上了封条，开学时，小刚和同学们来到教室 外，看到封条没有被撕破，大家异口同声地说：“假期里没有人进入我们的教室”，请 判断小刚和同学们的判断是否正确？为什么？ 典型例题： 例 1用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 例 2用反证法证明：已知：如图AB∥CD，CD⊥EF，垂足是N， 求证：AB⊥EF. 课内训练： 1．用反证法证明命题“若⊙O的半径为 r，点 P到圆心O的距离 d大于 r，则点 P在⊙O 的外部”，首先应假设 （ ） A.d＜r B.d≤r C.点 P在⊙O外 D.点 P在⊙O上或点 P在⊙O内 2．用反证法证明命题“若AB∥CD，AB∥EF，那么 CD∥EF”，证明第 一步是 （ ） A.假定 CD∥EF B.假定 CD∥EF C.假定AB∥EF D.假定AB∥EF 3．用反证法证明下面各题： （1）已知：如图，AB∥CD，AB∥EF，求证：CD∥EF. （2）求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角. 4．用反证法证明：等腰三角形的底角都是锐角. 课堂作业： P69 10 课 题：7.2 点的轨迹 教学目标 　　1、在了解用集合的观点定义圆的基础上，进一步使学生了解轨迹的有关概念以及熟 悉五种常用的点的轨迹； 　　2、培养学生从形象思维向抽象思维的过渡； 　　3、提高学生数学来源于实践，反过来又作用于实践的辩证唯物主义观点的认识。 重点、难点 　　1、重点：对圆点的轨迹的认识。 2、难点：对点的轨迹概念的认识，因为这个概念比较抽象。 教学活动设计（在老师与学生的交流对话中完成教学目标） 　　（一）创设学习情境 　　1、对“圆”的形成观察——理解——引出轨迹的概念 　　（使学生在老师的引导下从感性知识到理性知识） 　　观察：圆是到定点的距离等于定长的的点的集合；（电脑动画） 　　理解：圆上的点具有两个性质： 　　(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r)； 　　(2)到定点距离等于定长的的点都在圆上；（结合下图） 引出轨迹的概念： 我们把符合某一条件的所有的点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹． 这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任 何一点都符合条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任 何一点都在图形上．（轨迹的概念非常抽象，是教学的难点，这里教师精心引导） 　　上面左图符合（1）但不符合（2）；中图不符合（1）但符合（2）；只有右图 （1）（2）都符合．因此“到定点距离等于定长的点的轨迹”是圆． 　　轨迹 1：“到定点距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆”。 （研究圆是轨迹概念的切入口、基础和关键） 　　（二）类比、研究 1 　　（在老师指导下，通过电脑动画，学生归纳、整理、概括、迁移，获得新知识） 　　轨迹 2：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； 　　轨迹 3：到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线； 　　 （A层学生独立画图，回答满足这个条件的轨迹是什么?归纳出每一个题的点的轨 迹属于哪一个基本轨迹；B、C层学生在老师的指导或带领下完成） 　　（三）类比、研究 2 　　（这是第二次“类比”，目的：使学生的知识和能力螺旋上升．这次通过电脑动画， 使A层学生自己做，进一步提高学生归纳、整理、概括、迁移等能力） 　　轨迹 4：到直线 l的距离等于定长 d的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条 直线的距离等于定长的两条直线； 　　轨迹 5：到两条平行线的距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等 的一条直线． 典型例题： 例 1 ⊙O过两个已知点A、B，圆心O的轨迹是什么？画出图形. 例2 画图说明，到直线 L的距离等于定长 d的点的轨迹. 课内训练： 1．画图说明满足下面条件的点的轨迹： （1）到顶点A的距离等于 3cm的点的轨迹； （2）到∠AOB的两边距离相等的点的轨迹； （3）到直线 L的距离等于 2cm的点的轨迹； （4）已知直线AB∥CD，到AB、CD的距离相等的点 2．到交点O的距离等于 6cm的点的轨迹是_______________________. 3．到直线 L的距离等于 8cm的点的轨迹是_______________________. 4．求以线段 BC为底边的等腰三角形的顶点A的轨迹. 5．已知△ABC的一边 BC在直线 L上，且 S△ABC=2cm2，BC=2cm，画出说明顶点 A 的轨迹. 课堂作业：P67 2 6 课 题：7．3垂直于弦的直径（1） 教学目标： 　(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明； 　（2）进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； 　（3）通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱． 教学重点、难点： 　　重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力． 　　难点：垂径定理的证明． 教学学习活动设计： 　　（一）实验活动，提出问题： 　　1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴 对称、中心对称、旋转不变性. 　 　2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题. 　　通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理． 　　（二）垂径定理及证明： 　　已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E． 求 证：AE=EB， = ， = ． 　　 　　垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 两 条弧． 　　组织学生剖析垂径定理的条件和结论： 　　CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB， = ， = . 　　为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平 分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分 散难点，避免学生记混. 典型例题： 1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为 8cm，圆心O到AB的距离为 3cm，求⊙O的半径. DC BA o 2、如图，已知在以O为圆心的两同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证： AC=BD. 3、如图，已知在⊙O中，直径AB与 CD交于点 E，AM⊥CD，BN⊥CD，M，N为垂足，求证：CN=DM. 课内练习： 1．在半径为50mm的⊙O中，有长50mm的弦AB，计算： （1）点O与AB的距离； （2）∠AOB的度数. 2、已知：如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦， OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，求证：ADOE为正方形. 3、如图，求在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，以C 为圆心，CA为半径的圆交斜边于D，求AD. 小节与反思 　　教师组织学生进行： 　　知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用． 方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构 造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好 理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦 所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧． 作业：P68 11 12 13 课 题：7．3垂直于弦的直径（2） 教学目标： 　　（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用； 　　（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能 力．促进学生创造思维水平的发展和提高 　　（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系． 教学重点、难点： 　　重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法． 　　难点：垂径定理的推论1． 学习活动设计： 　　（一）分解定理（对定理的剖析） 1、复习提问：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦 所对应的两条弧. 2、剖析： 　　 　　（教师指导） M N E DC B A o D C BA E D C BA o 　　新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导） 　　 ， ，……（包括原定理，一共有10种） 　　探究新问题，归纳新结论： 　　（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧. 　　（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧. 　　（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 　　（4）圆的两条平行线所夹的弧相等. 典型例题： 已知：AB，求作：AB的中点. 如图，⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是 AB的中点，求： BD的长. 在直径为50cm的圆O中，弦AB=40cm，弦 CD=48cm，AB∥CD，求：AB与 CD之间的距离. 课内练习： 1．“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对不对？为什么？ 2．有的同学用下面的方法4等份 AB： （1）连结AB（如图）； （2）作AB的垂直平分线CD交 AB于点 M，交AB于点 T； （3）分别组 AT、TB的垂直平分线EF、GH，交AB于 N、P，则 N、M、P三点把 AB4等份，这位 同学的作法对吗？为什么？ 3．已知：图中一弦与直径垂直，弦和直径分别为6cm和 8cm，求弦和直径的端点所构成 的等腰三角形的面积. 小结： 　　知识：垂径定理的两个推论． 　　能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图 作业： P69 A 14 B 2 课 题：7．3垂直于弦的直径（3） 教学目的： 　　⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题. 　　⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识. 　　⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践， 又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想 教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用 教学难点：如何进行辅助线的添加 教学设计： 　　复习 　　垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五 个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂 直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣 弧.可简记为：“知2推 3” 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 　　应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究） 　　涉及四条线段的长：弦长 a、圆半径r、弦心距d、弓形高 h 　　关系：r = h+d ; r2 = d2 + (a/2)2 常添加的辅助线：（学生归纳） 　　⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形 可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据. 典型例题： 例1．1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧 形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点 到弦的距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到 0.1米）. 例2．直径为100cm的圆形下水道横截面如图所示，若水面宽 AB=60cm，求：下水道中水的最大深度. 例 3．如图，⊙O的直径AB和 CD相交于点 E，AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求：CD的值. 三．练习： 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示， 若油面宽 AB=600mm，求油的最大深度. 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与 AB相交于点E，若_________， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的一个条件） 3．如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且 OP=3，在过点P的所 有⊙O 弦中，最长的弦长为________，最短的弦长为_________. 4．如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点， 那么OP的长取值范围是___________. 小结： 　　1. 垂径定理及其推论的应用注意指明条件. 　　2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、 分类思想在解题中的应用. 作业： P69 15 16 B 4 课 题：7．4 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 　教学目标： 　 （1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用； 　 （2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力； 　 （3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆 的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲． 教学重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论． 教学重点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养． 教学活动设计 　（一）圆的对称性和旋转不变性 　学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性. 　引出圆心角和弦心距的概念： 　圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角． 　弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 　（二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 　应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、 弦心距之间的关系，得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能 力，又可以充分调动学生的学习的积极性. 　定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距 也相等． 　（三）剖析定理得出推论 　　问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、 弦心距相等这样的结论.（学生分小组讨论、交流。 举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但 AB CD， .（强化对定理 的理解，培养学生的思维批判性.） 　　问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学 生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理 的拓展） 典型例题： 例1、 如图，点 O是EPF的平分线上的一点，以 O为 圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D， 求证：AB=CD。 例2、 如图，在圆O中，PA=PB ，E、F分别为PA、PB的中 点，弦 CD 经过 E、F 两点，求证：（1）AEF=  BFE， （2）PC=PD。 课内练习： 1．已知，如图，AB、CD是圆O的两条弦，OE、OF为 AB、CD的弦心距， 根据本节定理及推论填空： （1）如果AB=CD，那么________，_______，________； （2）如果OE=OF，那么________，_______，________； （3）如果AB=CD，那么________，_______，________； （4）如果  AOB=  COD，那么________，_______，________。 2．如图所示，AD、BC是圆O的两条弦，AD=BC，求证：AB=CD。 3．已知，如图，在圆 O 中，C、D 是直径 AB 上的点，且 AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在圆O上，求证：AM=BN。 小结：学生自己归纳，老师指导． 课堂作业：P84 A 2、3、4、 选做 P86 B 1 课 题： 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二） 教学目标： 　　（1）理解1° 弧的概念，能熟练地应用本节知识进行有关计算； 　　（2）进一步培养学生自学能力，应用能力和计算能力； 　　（3）通过例题向学生渗透数形结合能力． 教学重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系的应用． 教学难点：理解1° 弧的概念． 教学活动设计： 　　（一）阅读理解 　　学生独立阅读P89中，1°的弧的概念，使学生从感性的认识到理性的认识． 　　理解： 　　（1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角． 　　（2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份， 这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧． 　　（3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等． 　　（二）概念巩固 　　1、判断题： 　　（1）等弧的度数相等（ ）； 　　（2）圆心角相等所对应的弧相等（ ）； 　　（3）两条弧的长度相等，则这两条弧所对应的圆心角相等（ ） 　　2、解得题： 　　（1）度数是5°的圆心角所对的弧的度数是多少?为什么? 　　（2）5°的圆心角对着多少度的弧？ 5°的弧对着多少度的圆心角? 　　（3）n°的圆心角对着多少度的弧? n°的弧对着多少度的圆心角? 　　（三）疑难解得 　　对于①弧相等；②弧的长度相等；③弧的度数相等；④圆心角的度数和它们对的弧 的度数相等．学生在学习中有疑难的老师要及时解得． 　　特别是对于“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”，一定让学生弄清楚这里说 的相等指的是“角与弧的度数”相等，而不是“角与弧”相等，因为角与弧是两个不同 的概念，不能比较和度量． 典型例题： 1、如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的 3 1 ，圆的半径为2cm，求AB的长。 2、如图，已知AB和 CD是⊙O的直径，DE//AB，DE的度数为 50°，求∠BOC的度数。 3、已知，如图，在⊙O中，弦AB〈CD，OE、OF分别为AB、CD的弦 心距，求证：OE〉OF，通过证明我们发现：同圆或等圆中，弦心 距较大的弦长_____。 课内练习： 填空： （1）、在⊙O中AB为直径，C、D为圆上两点，且 AC、CD、DB的 度数比为3：4：3，则∠COD=_________°。 （2）、在半径为10cm的⊙O中，有一条弦心距为5cm的弦 AB，则AB=________,AB的度数为___________ 。 已知，⊙O中一点P，且 PO=3，半径为5，求⊙O中过点P的最长弦和最短弦的长。由此 可总结为：过⊙O内任意一点的最大弦为__________，最短弦长为 __________。 ★已知，如图∠AOB=90°，C、D是AB的三等分点，AB分别交OC、OD 于点E、F，求证：AE=BF=CD。 小结：圆内有关计算问题： 应用垂径定理及其推论 同圆或等圆中：等弦＜＝＞ 等弧＜＝＞ 等弦心距＜＝＞等圆心角 圆心角的度数 = 它所对的弧的度数 课堂作业：P75 2 P85 A、5 P87 B、2 课 题：圆周角（1） 教学目标： 　　（1）理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用； 　　（2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力； 　　（3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法． 教学重点：圆周角的概念和圆周角定理 教学难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学 思想． 教学活动设计：（在教师指导下完成） 　　（一）圆周角的概念 　　1、复习提问： 　　（1）什么是圆心角？ 　　（2）圆心角的度数定理是什么？ 　　2、引入圆周角： 　　如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角∠ACB，它就是圆周角.（如左 图）（演示图形，提出圆周角的定义） 　　定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 　　学生归纳：一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交. 　　（二）圆周角的定理 　　1、提出圆周角的度数问题 　　问题：圆周角的度数与什么有关系？ 　　经过电脑演示图形，让学生观察图形、分析圆周角与 圆心角，猜想它们有无关系．引导学生在建立关系时注 意弧所对的圆周角的三种情况：圆心在圆周角的一边上、 圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部． 　　（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的 圆心角的关系：（演示图形）观察得知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半. 　　提出必须用严格的数学方法去证明. 　　证明:(圆心在圆周角上) 　　（2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系： 　　 当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学 生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而 运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的 结论. 　　证明：作出过C的直径（略） 　　圆周角定理: 一条弧所对的周角等于它所对圆心角的一半. 　　说明：这个定理的证明我们分成三种情况.这体现了数学中的分 类方法；在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中的 化归思想.（对A层学生渗透完全归纳法 典型例题： 如图，在O中，AB为直径，C、D为O上的两点，且 C、D在 AB的两侧， ODAB，求证：CD平分ACB. 例 2．如图，OA、OB、OC都是O的半径，AOB=2BOC， 求证：ACB=BAC. 例 3．如图，在O中，AB为直径，OCAB，EFAB交 OC于，且 OD=DC， 求ABE的度数. 课内练习： 1．判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由. 2．如图，已知圆心角AOB的度数为100，求圆周角ACB的度数. 3．若一条弦把圆周分成13的两条弧，则该弦所对的圆心角为， 该弦所对的圆周角为. 作业：P85 6 7 课 题：7.5圆周角（2） 教学目标： 　　（1）掌握圆周角定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明； 　　（2）进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力； 　　（3）培养添加辅助线的能力和思维的广阔性． 教学重点：圆周角定理的三个推论的应用． 教学难点：三个推论的灵活应用以及辅助线的添 加． 教学活动设计： 　　（一）创设学习情境 　　问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多 少个圆周角？它们有什么关系？ 　　问题2：在⊙O中，若 = ，能否得到 ∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若土∠C=∠G ，是否得到 = 呢？ 　　（二）分析、研究、交流、归纳 　　让学生分析、研究，并充分交流． 　　注意：①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；②若 = ，则∠C=∠G； 但反之不成立． 　　老师组织学生归纳： 　　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 也相等． 　　重视：同弧说明是“同一个圆”； 等弧说明是“在同圆或等圆中”． 　　问题： “同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？（学生通 过交流获得知识） 　　问题3：（1）一个特殊的圆弧——半圆，它所对的圆周角是什么样的角？ 　　（2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角? 　　 学生通过以上两个问题的解决，在教师引导下得推论2： 　　推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦直径． 　　指出：这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了 条件，要熟练掌握． 　　启发学生根据推论2推出推论3： 　　推论3： 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角是直角三角形． 指出：推论3是下面定理的逆定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 典型例题： 例1已知：如图AB是⊙O的直径，F是弦BC延长线上的一点， 且 CF=BC，FA的延长线交⊙O于点E，求证：BC=CE. 例 2如图：AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径， 求证：AB·AC=AE·AD. 例 3如图在圆内接△ABC中，AB=AC，D是 BC边上的一点， （1）求证：AB2=AD·AE. （2）当D是BC延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立 吗？ 如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. 课内练习： 1．在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，以AB为直径的圆分别交 BC、AC于 D、E，则BD=________，AE=__________. 2．在△ABC中，AB=2，AB边上的中线CD=1，若AC+BC=m，则 S△ABC=____________. 3． OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，求 证：D是AB的中点. 小结（指导学生共同小结） 　　知识：本节课主要学习了圆周角定理的三个推论．这三个推论各 具特色，作用各异，在今后的学习中应用十分广泛，应熟练掌握． 　　能力：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所 对的圆周角或构成相似三角形，这种基本技能技巧一定要掌握． 作业：P85 8 9 10 课 题：7.5圆周角（3） 教学目标： 　　（1）掌握圆周角定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明； 　　（2）进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力； 　　（3）培养添加辅助线的能力和思维的广阔性． 教学重点：圆周角定理的三个推论的应用． 教学难点：三个推论的灵活应用以及辅助线的添加． 教学活动设计： 复习练习： 1．如图，已知 AB是⊙O的直径， D是圆上任意一点（不与 A、B 重合），连结 BD，并延长到 C，使 DC=BD，连结 AC，则 △ABC的形状是______三角形. 2．如图，A、B、C为⊙O上三点，如果∠OAB=46°，则∠ACB=______. 3．一条弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的 3倍，则这条弦所对圆周角为___ ___________________. 典型例题： 例 1如图，已知在⊙O中，直径 AB为 10cm，弦 AC为 6cm，∠ACB的平分线交⊙O 于 D，求 BC、AD和 BD 的长. 例 2已知：如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为 D，A是 BF的中点，BF和 AD相交于 E，求证： AE=BE. 例 3已知：如图在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC，求证： OE= AD2 1 . 课内练习： 1．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦 AD、BC相交于点 P，那么 AB CD 等于∠BPD的（ ） A.正弦 B.余弦 C.正切 D.余切 2．已知：如图，⊙O1的圆心O1在⊙O2上，且两圆交A、B 两点，O1D为⊙O2的弦，交⊙O1于 C，求证：O1C 2 =O1E·O1D. 3．已知；如图，AB是⊙O的直径，半径 OC⊥AB，弦 CE 交AB于 F，⊙O的半径为 5cm，求 CE·CF. 作业：P85 11 12 课 题：7．6圆的内接四边形 教学目标： 　　（1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；掌握圆内接四边形的概念及其性 质定理； 　　（2）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明． 　　（3）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观 察、分析、概括的能力； 　　（4）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点． 教学重点：圆内接四边形的性质定理． 教学难点：定理的灵活运用． 教学过程设计 　　（一）基本概念 　　如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个 圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做 四边形ABCD的外接圆． 　　（二）创设研究情境 　　问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？ 　　研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形） 　　教师组织、引导学生研究． 　　性质及应用 　　定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于 它的内对角． 　　（对A层学生应知，逆定理成立， 4点共圆） 典型例题： 1．已知：如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AC，E是 CD延长线 上的一点，求证：EDA=ADB. 2、已知：如图，AD是 ABC外角EAC的平分线，AD与 ABC外接圆交 于点D，DFBC，交外接圆于F，求证：DF是外接圆的直径. 3、已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1 交于点C，与⊙O2交于点D．过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交 于点F． 　　求证： CE∥DF． 　　 （分析与证明学生自主完成） 　　说明：①连结AB这是一种常见的引辅助线的方法．对于这道例题，连结AB以后， 可以构造出两个圆内接四边形，然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决． 　　 ②教师在课堂教学中，善于调动学生对例题、重点习题的剖析，多进行一点 一题多变，一题多解的训练，培养学生发散思维，勇于创新． 内练习课： 1．如图，四边形ABCD为 O的内接四边形，已知BOD为 100，求BAD及 BCD的度数. 2．求证：圆内接平行四边形是矩形. 3．经过任意四点能不能作圆？ 4．在圆内接四边形ABCD中，A、B、C=3：4：5，则D= 小结 　　知识：圆内接多边形——圆内接四边形——圆内接四边形的性 质． 　　思想方法：①“特殊——一般”研究问题的方法；②构造圆内 接四边形；③一题多解，一题多变． 作业：P86 15 16 17 课 题：直线和圆的位置关系 教学目标： 　　1、使学生理解直线和圆的三种位置关系，掌握其判定方法和性质； 　　2、通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透分类、数形结合的思想，培养学生 观察、分析和概括的能力； 　　3、使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩证唯 物主义观点． 教学重点：直线和圆的位置关系的判定方法和性质． 教学难点：直线和圆的三种位置关系的研究及运用． 教学过程： 1、观 察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识） 2、归纳：（引导学生完成） 　　 （1）直线与圆有两个公共点；（2）直线和圆有唯一公共点（3）直线和圆没有公 共点 3、概念：（指导学生完成） 　由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系： (1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆________，这时直线叫做圆的_________ _。 (2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 _______，这时直线叫做圆的_________ _，唯一的公共点叫做 __________。 (3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆__________。 直线与圆的位置关系的数量特征 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线ｌ的距离为d，则 (1)直线ｌ和⊙O相交________________________ (2)直线ｌ和⊙O相切________________________ (3)直线ｌ和⊙O相离________________________ 例题分析： 1、在 Rt△ABC中，∠C=900，AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心，r为半径的圆与AB 有怎样的 位置关系？为什么？ (1)r=2cm (2)r=2.4cm (3)r=3cm 2、如图，正方形 ABCD，边长为 4，AC与 BD交于点 O，过点 O作 EF//AB分别交AD、BC与点E、F。以A为圆心，为半径作圆，则 ⊙A与直线BD、EF、BC的位置关系怎样？说明理由。 课内训练： 1、已知圆的直径为 13cm，如果直线和圆心的距离为（1）4.5cm （2）6.5cm （3）8cm,那么直线和圆有几个公共点？为什么？ 2、在 Rt△ABC中∠C=900，AC=3，AB=5，若以C为圆心，r为半径作圆，那么： （1）当直线AB与⊙O相切时，r的取值范围是__________； （2）当直线AB与⊙O相离时，r的取值范围是__________； （3）当直线AB与⊙O相交时，r的取值范围是__________。 3、已知⊙O的半径为r，圆心O到直线ｌ的距离为d,d和 r是方程 x-11x+30=0的两根， 则直线ｌ和⊙O 的位置关系是_______________。 4.在△ABC中，∠B=600，∠C=450，BC=10cm ,以A为圆心作圆，求出半径多少时，所作 的圆和BC相切？相交？相离？ 小结：（指导学生归纳） 直线和圆的位置关 系 相交 相切 相离 公共点的个数 2 1 0 圆心到直线距离d与 半径r的关系 d<r d=r d>r 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 作业：P100 2、3 课 题：7.8切线的判定和性质（一） 教学目标： 　　1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题； 　　2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力； 　　3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性． 教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法； 教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经 过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视． 教学过程设计 （1） 复习、发现问题 　1．直线与圆的三种位置关系 已知⊙O 的直径为13cm，圆心O到直线AB的距离为5cm，则直线AB和⊙O的位置关系是 _______________. 如果这个距离是10cm，则直线AB和⊙O的位置关系是________________. 如果这个距离是6.5cm，则直线AB和⊙O的位置关系是_______________. 请你想一想，圆心O到一条直线的距离等于多少时，这条直线就是圆的切线 2、做一做、观察、分析发现 （教师引导） （1）已知⊙ O上一点A，请你根据圆的切线的定义，过点A作⊙ O的切线 （2）观察你所作的切线，对圆的半径OA来说，这条切线它具有什么特征？ （3）如果一条直线符合上面两个特征，这条直线是圆的切线吗？ （二）切线的判定定理： 　1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 　2、对定理的理解： 　　引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径． 如图所示，根据图形，哪个图形可判定直线ｌ是⊙ O的切线？ 典型例题 1 ． 已 知 ： 直 线 AB 经 过 ⊙ O 上 的 点 C ， 并 且 OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. 2．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥L，BD⊥L，C、D为垂足， 且AC+BD=AB. 求证：直线 L与⊙O相切. 课堂练习： 1．如图，A是⊙O上一点，⊙O的半径为 3，若 OB=5，则 AB=_______时，AB是⊙O的切线. 2．已知：如图，C是⊙O的直径 AB延长线上一点，D是⊙O 上一点，且AD=CD，∠C=30°，求证：DC是⊙O的切线. 3．如图，PO平分∠APC，作OB⊥PA，垂足为 B，以 OB为 半径，O为圆心作⊙O， 求证：PA、PC为⊙O的切线. 学习小结： 通过这节课的学习，我们知道了切线的一般判定方法： ____________________________________________________ ____________________________________________________ 证明一条直线是圆的切线，常常要添加辅助线，通常有两种情况： 1．如果已知直线与圆有一个公共点，则连结____________________， 证明____________________________________. 2．如果直线与圆的公共点没有确定，则过圆心作_______________， 证明____________________________________. 作业：P100 A 组 4 5 选做 B组 1