数学中的基本概念，集合论的主要研究对象。一定范围的、确定的、可区别的事物，当作
一个整体来看待 就叫作集合，简称集，其中各事物叫作集合的元素或简称元。如①北京、天
津、上海三城市；②全体英文大写字母；③《阿Q正传》中出现的不同汉字;④全体自然数；
⑤平面上的所有直线,都是集合的例。但池子中的水,古今著名小说就不算集合，因为不满足
确定与可区别的条件。事物m是集合 s的元素有时也说成m属于 s s或含有m，记为m∈s。
如果集合只含有有限个元素，便称为有穷集合，否则称为无穷集合。在上面的例中，前三个
是有穷集合，后两个是无穷集合。
按照集合的定义，当一个集合的所有元素都已知时，这个集合就确定了。这时如果它是
有穷集，便可将其元素部列出，置于括弧之内来表示(什么顺序都无关系)。如①｛北京、天
津、上海｝，②｛A,B,C,…,Z｝，对于③虽有困难，但原则上还是办得到的。但是，如果集
合是无穷集，那么，上面的方法就行不通了。这时只好利用能够刻画所有元素 x的某一性质
P(x)来加以概括。如例 ④中的集合可表示为｛x｜x 是自然数｝。这种表示也适用于有穷集，
如｛北京、天津、上海｝=｛x｜x =北京或 x=天津或 x =上海｝=｛x｜x为中国现有直辖市｝。
一个集合可以没有任何元素，这种集合只有一个，叫作空集,通常用北欧字母 来记它。如
果集合 B的元素都是 A的元素,就称 B为A的子集,或A包含 B,记为 。例如，偶数全
体 自然数全体。空集 被看作是任何集合的子集。任一集合 A都是它自己的子集,即
。A的异于自己的子集 B称为 A的真子集,记为 。两集合的相等（即含有同样的
元素）可用包含关系来表达:A=B当且仅当 A B且 B A 。包含关系还具备传递性：即由
A B,B C可得 A C要注意的是,属于关系∈与包含关系 是有区别的：∈是元素对
集合的关系，而 是集合对集合的关系。可以有 ，但 ∈ 不成立。
从任意两个集合 A与 B可以得到一些新的集合。以属于 A或属于 B的元素为元素的集
合称为A与 B的并(集)，记A B∪ （A与 B中的相同元素在并集中出现一次）。以属于 A且
属于 B的元素为元素的集合称为 A与 B的交(集)，记为A∩B。以属于A而不属于 B 的元素
为元素的集合称为 A与 B的差（集），记为 A\B；特别,当 B A时,可记为 CAB，称为 B
关 于 A 的 补 （ 集 ） 。 例 如 A= ｛ 0,1,3 ｝ ,B= ｛ 0,3,5,10 ｝ ， 则 A B∪ ＝
｛0,1,3,5,10｝,A∩B={0,3},A\B={1}。并与交的运算分别服从交换律，结合律且共同服从分
配律，即对任意的A，B，C，有
A B=B A∪ ∪ ，(A B) C=A (B C)∪ ∪ ∪ ∪ ，
A∩B=B∩A，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，
A∩(B C)=(A∩B) (A∩C)∪ ∪ ，
A (B∩C)=(A B)∩(A C)∪ ∪ ∪ 。
它们与差运算一起服从德·摩根定律：
S\(A∪B)=(S\A)∩(S\B)，
S\(A∩B)=(S\A) (∪ S\B)。
这里 S为任一集合，特别当 S包含A与 B时，有一个集合也可以以其他集合为元素。这就
是所谓集合的集合，如上面例⑤就是一个集合的集合，如果把直线看做是点的集合的话。一
个集合 A的所有子集组成的集合是一个很重要的集合的集合，称为 A的幂集,记为 P(A)。例
如,当 A=｛1,2,3｝时，P(A)={ ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。集合的集合是所谓集
合族的特殊情形。一般而论,如果对于某一集合 I(≠ )的每一个元素 i∈I，都指定有一个确
定的集合 Ai，那么，这些 Ai的全体就称为一个集合族,记为{Ai,i∈I}。例如,当 I=N即自然数
全体时,{Ai,i∈N}就是集合序列：A1,A2,A3,…。集合族的成员一般允许有重复，如果没有重复
时，它就是一个集合的集合。对于集合族{Ai,i∈I},可定义它的并为｛x｜对某 i∈I,x∈A1｝，
记为。仿此,可定义它的交为｛x｜对一切 i∈I,x∈A1｝,记为 。特别当 I=｛1,2,…,n｝时，
通常将并写成,将交写成；当 n=2时，就是上面的 A1∪A1和 A1∩A2。当 I=N时，通常将并写成
将交写成。两个对象 a，b按一定次序（譬如 a在前,b在后）排列起来,称为一个序对，记为
<a,b>，a称为它的第一坐标 ,b 称为第二坐标。两个序对<a,b>，<ab,a'b'>当且仅当 a=
a',b=b'即各坐标分别相等时，规定它们是相等的。因此,除非 a=b,<a,b>≠<b, a>。也可直接定义
<a,b>为｛｛a｝,｛a,b｝｝,虽不大自然,却很精确。同样可定义一般的有序 n组。设 A，B为两
个集合，从 A，B中各取一个元素 a，b所作序对<a,b>的全体组成一个集合 ,即｛<a,b>｜
a∈A且 b∈B｝,它称为 A与 B（按这次序）的直积或笛卡儿积，记为 A×B。直积概念也可从
两个因子推广到 n个因子，A1×A2×…×An，记为，特别当各 Ai均等于A时，称为 A的 n次
直幂,记为 An，它相当于所有从｛0,1,…,n-1｝到A的映射全体组成的集。推而广之，所有从
B到A的映射全体组成的集可以记为 AB。
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