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四 形 总 结 复 习 (1) 边 任意四边形 平行四边形 矩形 菱 形 正方形 梯形 等腰梯形 直角梯形 两组对边平行 一个 角是 直角 邻边相等 邻边相等 一个角 是 直角 一个角是直角 两腰相等 一组对边平行 另一组对边不平行 一、四边形的分类及转化 项目 四边形 对边 角 对角线 对称性 平行四边 形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 平行且相等 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 两底平行 两腰相等 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 同一底上 的角相等 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分，且每一 条对角线平分一组对角 相等 互相垂直平分且相等，每 一条对角线平分一组对角 中心对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 轴对称图形 二、几种特殊四边形的性质： 四边形 条件 平行 四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 三、几种特殊四边形的常用判定方法 ： 1、定义：两组对边分别平行 2、两组对 边分别相等 3、一组对边平行且相等 4、对 角线互相平分1、定义：有一外角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形 1、定义：一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直 角的菱形1、两腰相等的梯形 2、在同一底上的 两角相等的梯形 3、对角线相等的梯形 四、中心对称图形与中心对称的区别和联 系中心对称图形： 中心对称： 如果把一个图形绕着某一 点旋转 180°后与原来的图 形重合，那么这个图形叫 做中心对称图形，这个点 叫做对称中心。 如果把一个图形绕着某一 点旋转 180°后与另一个图 形重合，那么这两个图形 关于这个点中心对称，这 个点叫做对称中心。 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B CD A B CD A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A BC D C′ A′ B′ A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C AB C AB C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C 1、中心对称的两个图形是全等图形 2、中心对称的两个图形的对称点连线通过对称中心，且被对称中心平分 中心对称图形的对称点连线通过 对称中心，且被对称中心平分 o o 五、有关定理： 1、四边形的内角和等于 ，外角和等于 。 n边形的内角和等于 ，外角和等 于 。 2、梯形的中位线 于两底，且等于 。 平行 360° （ n - 2） 180° 360° 两底和的一半 360° 条件：在梯形 ABCD中， EF是中位线 3、两条平行线之间的距离以及性质： 平行线段 两条平行线 夹在两条平行线间的 相等 夹在 间的垂线段相等 A B两条平行线中，一条直线上任 意一点到另一条直线的距离， 叫这两条平行线的距离。 A B FE D C 如： A B C D L1 L2 如： A B C D L1 L2 如： 结论： EF AB CD∥ ∥ ， EF= （ AB+CD） 1 2 4、一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 则在其它直线上截得的线段也 。 5、过三角形一边的中点，且平行于另一边 的直线，必过 。 6、过梯形一腰的中点，且平行于底边 的直线，必过 。 A B C D E F 条件： AD BE CF∥ ∥ ， AB=BC 结论： DE=EF A B C D E条件：在△ ABC中， AD= BD ， DE BC∥ 结论： AE=EC A B FE D C 条件：在梯形 ABCD中， AE=DE ， AB EF DC∥ ∥ 结论： BF=FC 相等 第三边的中点 另一腰的中点 例 1：如图，在梯形 ABCD中， AB CD∥ ，中位线 EF=7cm，对角线 AC BD⊥ ，∠ BDC=30°，求梯形的高 线 AH AB C H D FE 析：求解有关梯形类的题目，常需添加辅助 线，把问题转化为三角形或四边形来求解， 添加辅助线一般有下列所示的几种情况： 平移一腰 作两高 平移一对角线 过梯形一腰中点和上底一端作直线 延长两腰 六、典型举例： 例 1：如图，在梯形 ABCD中， AB CD∥ ，中位线 EF=7cm，对角线 AC BD⊥ ，∠ BDC=30°，求梯形的高 线 AH AB C H D FE M 解 : 过 A作 AM BD∥ ，交 CD 的延长线于M 又∵ AB CD∥ ∴四边形 ABDM是平行四边形 ，∴DM=AB，∠ AMC= BDC=30°∠ 又∵中位线 EF=7cm， ∴CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm 又 AC BD⊥ ， ∴AC AM⊥ ， ∵AH CD⊥ ，∠ ACD=60° ∴AC= CM=7cm12 ∴AH=AC·sin60°= √3(cm)72 注：①解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对 称轴，会形成轴对称图形。 ②本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方 法，是数学中常用的“方程思想”。 例 2：已知，如图，矩形纸片长为 8cm，宽为 6cm, 把纸 对折使相对两顶点 A， C重合，求折痕的长。 A B C DF E O D解：设折痕为 EF，连结 AC， AE， CF，若 A， C两点重 合，它们必关于 EF对称，则 EF是 AC的中垂线 ，故 AF=FC，设 AC 与 EF交于点 O， AF=FC=xcm 25 4解得 x= ∴AF=FC= ,FD=8 – x=254 7 4 答：折痕的长为 7.5cm 则 FD=AD – AF=8 - x ∵在 Rt CDF△ 中， FC = FD + CD22 2 ∴ x = （ 8 - x） + 62 2 2 H 在 Rt FEH△ 中， EF = FH + EH22 2 ∴EF =6 + （ - ） 2 2 225 4 7 4 ∴EF=±7.5(负根舍去） 作 FH BC⊥ 于 H 例 2：已知，如图，矩形纸片长为 8cm，宽为 6cm, 把纸 对折使相对两顶点 A， C重合，求折痕的长。 A B C DF E O FO CD AO AD= FO 6 5 8= FO= 154 FE= 152 解法 2