极限的四则运算教案
教学目标
1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限．
2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类
讨论的思想解决数列极限问题的能力．
3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从
量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想．
教学重点与难点
使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件．
教学过程设计
（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限
师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求
极限转化成三个常用极限：
例1 求下列极限：
师：（1）中的式子如何转化才能求出极限．
生：可以分子、分母同除以n3，就能够求出极限．
师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？
师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？
生：结果应该一样．
师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限？
（二）先求和再求极限
例2 求下列极限：
由学生自己先做，教师巡视．
判断正误．
生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此
题当n→∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的．
师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运
算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？
生：用等比数列的求和公式先求出分母的和．
=12．
师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限
项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件．
例3求下列极限：
师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数
列的特点，想出对策．
生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形．
生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形．
例4设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为Sn，
师：等比数列的前n项和Sn怎样表示？
师：看来此题要分情况讨论了．
师：综合两位同学的讨论结果，解法如下：
师：本例重点体现了分类讨论思想的运用能够使复杂问题条理化．同
（三）公比绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项和的极限
师：利用无穷等比数列所有各项和的概念以及求极限的知识，我们已经得
到了公比的绝对值小于1的无穷等比数列各项和的公式：
例5计算：
题目不难，可由学生自己做．
师：（1）中的数列有什么特点？
师：（2）中求所有奇数项的和实质是求什么？
（1）所给数列是等比数列；
（2）公比的绝对值小于1；
（四）利用极限的概念求数的取值范围
师：（1）中a在一个等式中，如何求出它的值．
生：只要得到一个含有a的方程就可以求出来了．
师：同学能够想到用方程的思想解决问题非常好，怎样得到这个方程？
生：先求极限．
师：（2）中要求m的取值范围，如何利用所给的等式？
|q|＜1，正好能得到一个含有m的不等式，解不等式就能求出m的范围．
解得0＜m＜4．
师：请同学归纳一下本课中求极限有哪些类型？
生：主要有三种类型：
（1）利用极限运算法则和三个常用极限，求数列的极限；
（2）先求数列的前n项和，再求数列的极限；
（3）求公比绝对值小于1的无穷等比数列的极限．
师：求数列极限应注意的问题是什么？
生甲：要注意公式使用的条件．
生乙：要注意有限项和与无限项和的区别与联系．
上述问答，教师应根据学生回答的情况，及时进行引导和必要的补充．
（五）布置作业
1．填空题：
2．选择题：
则 x的取值范围是[ ]．
的值是[ ]．
A．2 B．-2 C．1
D．-1
作业答案或提示
（7）a．
2．选择题：
（2）由于所给两个极限存在，所以an与 bn的极限必存在，得方程
以上习题教师可以根据学生的状况，酌情选用．
课堂教学设计说明
1．掌握常用方法，深化学生思维．
数学中对解题的要求，首先是学生能够按部就班地进行逻辑推理，寻找最
常见的解题思路，当问题解决以后，教师要引导学生立即反思，为什么要这么
做？对常用方法只停留在会用是不够的，应该对常用方法所体现的思维方式进
行深入探讨，内化为自身的认知结构，然后把这种思维方式加以运用．例1的
设计就是以此为目的的．
2．展示典型错误，培养严谨思维．
求数列极限的基本方法，学生并不难掌握，因此，例2采取让学生自己做
的方式，有针对性地展示出此类题目在解题中容易出现的典型错误，让学生从
正确与谬误的对比中，辨明是非、正误，强化求极限时应注意的条件，培养思维
的严谨性．这种做法，会给学生留下难忘的印象，收到较好的教学效果．
3．贯穿数学思想，提高解题能力．
本课从始至终贯穿着转化的思想．而例4中的分类讨论思想，例 6中的方
程思想的应用，都对问题的解决，起到了决定性的作用，使复杂问题条理化，
隐藏的问题明朗化．因此，只有培养学生良好的思维品质，在教学过程中不断
渗透和深化数学思想方法，才能达到系统概括知识内容，沟通各类知识的纵横
联系，提高解题能力的要求．
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