0 0 类别 : 教案

曲线和方程教案 2 　　教学目的 　　 (1)使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，从而 初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念． 　　 (2)在形成曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的 逻辑思维能力；强化“形”“数”一致并相互转化的思想方法． 　　教学过程 　 一、以旧带新，提出课题 　 　　师：在本节课之前，我们已多次用一个方程F(x，y)=0 [或 y=f(x)]来表示一条曲线C，这里，先看几个例子． 　　 [例 1] (1)画出方程x－y=0表示的曲线； 　　 　　学生给出解答如图1． 　　 师：这节课就是要在此基础上，明确地建立曲线和方程之间的对 应关系，也就是要弄清楚：符合怎样条件的方程才能完整地表示一条曲 线，同时这曲线也完整地表示着一个方程．大家知道，平面上建立了直 角坐标系之后，就把点和一对有序实数联系起来了，这有序实数就是点 的坐标．曲线是由点组成的，二元方程的任一个解恰是一对有序实数， 这就为曲线与方程建立对应关系奠定了基础．现在请大家思考一个问题： 　　“方程F(x，y)=0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系，就 能用方程F(x，y)=0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程F(x，y)=0？ 为什么要具备这些条件？” 　　 (将问题重复一遍，使每个学生听清楚．学生思考，讨论，口 答．) 　　 [运用学生熟知的旧知识，既提出了课题，又为形成曲线和方程的 概念提供了实际模型．但是如果就此而由教师直接给出结论，那就不仅 会失去开发学生思维的机会，影响学生的理解，而且会使教学变得枯燥 乏味，抑制学生学习的主动性与积极性． 　　要启动学生的思维，就要有一个明确的可供思考的问题，使学生的 思维有明确的指向．这里提出的思考题是以相信学生对用方程表示曲线 的事实已有初步的认识为前提的，它可以说是本节课的中心议题，应引 导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”．在思考 题的后面加上了“为什么”的问题，是为了给那些还记着“直线的方 程”的定义的学生提供思考余地，增大思考题的跨度．] 　 二、运用反例，揭示内涵 　 　　师：刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的 坐标都是方程的解”；有的同学提出应具备关系：“以方程的解为坐标 的点都在曲线上”；有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个． 现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一个事实？ 有何区别？究竟用怎样的关系才能把例1中曲线和方程的这种对应关系 完整地表述出来？为了弄清这些问题，我们来研究以下例题． 　　 [在讨论中，学生会有各种不同的意见，教师应予鼓励，并随时补 正纠错，但不要急着把两个关系并列起来抛出定义，中断学生的探索性 思维，而是再提出问题，深入探索．] 　　 [例 2] 用下列方程表示如图2所示的直线C，对吗？为什么？ 　　 　　 (3)|x|－y=0． 　　 (学生思考，口答．) 　　 师：方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲线C的方程．第(1)题中，曲 线C上的点的坐 　　 　　符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第(2)题中， 尽管“曲线C上的 　　 　　上”这一结论；第(3)题中，则既有以方程|x|－y=0的解为坐标的 点，如 G(－3，3)、 　　 　　该是图 3所示的三种情况． 　　 师：上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示 方程的例1；又观察、分析了例2中所出现的方程与曲线间所建立的不完 整的对应关系．假如我们把例1中这种能完整地表示曲线的方程称为 “曲线的方程”的话，我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义 了． 　　 [在概念教学中，通过反例的反衬，常常起着帮助学生理解概念的 作用．反例一般应用在学生对概念有了初步的正面理解之后，这里却用 在给出概念的定义之前，那是出于这样的考虑：(1)相信学生已经有了 用方程表示曲线的经验，已能从直觉上识别哪个方程能表示哪条曲线 (当然是简单的例子)，哪个方程不能表示哪条曲线，缺少的只是用逻辑 形式确切地加以陈述，给概念以定义；(2)将反例中出现的不完整性与 直观引起矛盾，产生有针对性的思维．为了解决这种矛盾，避免曲线和 方程之间关系的不完整性，寻求作出必要的规定，这就是产生“曲线的 方程”和“方程的曲线”的定义的过程．] 　　 三、讨论归纳，得出定义 　 　　师：在下定义时，针对例2(1)中“曲线上混有其坐标不是方程的 解的点”，以及(2)中“以方程解为坐标的点不在曲线上”的情况，对 “曲线的方程”应作何规定？ 　　 (学生口答．) 　　 师：为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点，必须规定 “曲线上的点的坐标都是这个方程的解”(板书)；为了防止曲线上缺漏 坐标是方程解的点，必须规定“以方程的解为坐标的点都是曲线上的 点．”(板书．) 　　这样，我们可以对“曲线的方程”、“方程的曲线”下这样的定义： 在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的 实数解建立了如下的关系： 　　 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 　　 (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程 叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 　　 [在辨析反例之后，有了关于对象所共有的本质属性的正确认识， 给对象以明确的定义已是水到渠成了，这里单独列出作为一个教学步骤， 是想突出这个中心环节，并有意识地训练学生依据直觉的分散的已知知 识给概念下定义的创造能力．] 　　 四、集合表述，强化理解 　 　　师：大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作 C；一个二 元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集， 记作 F．请大家思考：如何用集合C和F间的关系来表述“曲线的方 程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述“曲线的方 程”和“方程的曲线”的定义． 　　 [这是本节课第二个思维的“热点”，将促使学生对曲线和方程关 系的理解得到强化，是认识上的再一次抽象，其结果将使学生对曲线和 方程的关系的理解与记忆都趋于简化．] 　　 (学生思考、口答．) 　　 师：关系(1)指点集 C是点集 F的子集；关系(2)指点集 F是点集 C 的子集．这样，根据集合的性质，我们可以用集合相等的概念来定义 “曲线的方程”与“方程的曲线”，即(板书．) 　　 　　 五、初步运用，反复辨析 　 　　 [数学概念是要在运用中得以巩固的，通过运用与练习，可以纠正 错误的认识，促使对概念的正确理解，通过反复重现，可以不断领悟， 加强识记．这里安排的“初步运用”，目的也在于帮助学生正确理解概 念，通过解题辨析“两个关系”，实现本节课的教学目标，为此，题目 中的“曲线”与“方程”都力求简单．] 　　 [例 3] 下列各题中，图所示的曲线C的方程为所列方程，对吗？ 如果不对，那是不符合“曲线的方程”定义中的关系(1)，还是关系 (2)？ 　　(1) 　　曲线C为一折线． 　　方程(x－y＋1)(x＋y－1)＝0． 　　(2) 　　曲线C是顶点为原点的二次函数图像． 　　 　　(3) 　　曲线C是过点(4，1)的反比例函数图像． 　　 　　(4) 　　曲线C为△ABC的中线 AO． 　　方程 x＝0． 　　(5) 　　曲线C是以原点为圆心，半径为 5的圆． 　　方程 x2＋y2＝25． 　　 　　 [例 4] 解答下列问题，且说出各依据了曲线的方程和方程的曲线 定义中的哪一个关系？ 　　 　　 　　 　　线上？ 　　 (学生练习、口答．) 　　师：(纠错、小结．) 　　依据关系(2)，可知点 M1在圆上；依据关系(1)，可知点 M2不在圆上； 　　 　　 　　 师：在解答例 3(5)时，已经对此结论作出判定，因此只需把判定 的过程书面表达出来． 　　 x2+y2=25， 　　 　　例 3与例 4中，例 5的要求集中在“证明”上．这样安排的意图是 先集中注意力于概念的领会上，对证明过程中在表述上遇到的一些困难， 留在这里解决，层层深入．] 　　请两位同学在黑板上板演，其余同学自己练习． 　　 师：(学生练习过程中，适时插话．) 　　与刚才判定时一样，证明也要紧扣定义分两步进行；关系(1)、(2) 中，“点”与“解”指的都是有关集合中的全体元素，我们只要用 (x0，y0)表示“任意一个”，以此代表“全体”即可，这种方法为数学 证明中常用． 　　 六、小结 　 　　师：本节课我们通过对实例的研究，掌握了“曲线的方程”、“方 程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可， 它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了， “曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性． 　　曲线与方程之间一一对应关系的确立，进一步把“曲线”与“方 程”统一了起来．在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几 何问题，即“就数论形”，这是解析几何的基本思想和基本方法，我们 在阅读、思考、解题时，应更自觉地“由形及数”，“由数及形”，在观 念上把曲线和方程统一起来． 　　 (小结时才提出“必要性”与“充分性”的问题，因为“充要条 件”的知识在本节教材之后，如果过早提出，反而会干扰学生的理解． 小结的另一点，意在建立曲线的方程和方程的曲线概念之后，“画龙点 睛”，不失时机地“点”一下“解析几何”的基本思想，使之逐渐转变 为学生的思想．) 　　 七、布置作业 　 　　 1．举出一个曲线的方程的例子． 　　 2．举出一个方程与一条曲线，使它们之间符合关系(1)而不符合 关系(2)． 　　 3．举出一个方程与一条曲线，使它们间符合关系(2)而不符合关 系(1)． 　　课本习题(略)． 　　教案说明 　　 1．对教材地位与作用的认识 　　“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的 关系，为“依形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体 现了解析几何这门课的基本思想，对全部解析几何教学有着深远的影响． 学生只有透彻理解了曲线和方程的意义，才算是寻得了解析几何学习的 入门之径．如果以为学生不真正领悟曲线和方程的关系照样能求出方程， 照样能计算某些难题，因而可以忽视这个基本概念的教学，这不能不说 是一种“舍本逐题”的偏见，应该认识到这节“曲线和方程”的开头课 是解析几何教学的“重头戏”！ 　　 2．对教学目标的确定 　　此前，学生已有了用方程(有时用函数式的形式出现)表示曲线的感 性认识，在本节教学中要充分发挥这些感性认识的作用．但由于曲线和 方程的概念比较抽象，由直观表象到抽象概念仍有相当难度，对学生理 解上可能遇到的困难应予足够的估计．容易产生的问题是学生不理解 “曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以这个方程的解为坐标的点都 是曲线上的点”这两句话在揭示“曲线和方程”关系时各自所起的作用． 有的学生只从字句上死记硬背；有的学生甚至误为这两句话是同义反复． 针对这种情况，本节课的教学目标只能定在“初步领会”的水平上．但 “初步”绝不等同于“含糊”，“初步领会”反映在学生的学习行为上， 即要求学生能答出曲线与方程间必须满足两个关系才能称作“曲线的方 程”和“方程的曲线”，两者缺一不可，并能借助实例指出这两个关系 的区别． 　　 3．如何突破难点 　　如上所述，本节课的难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生 困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延．由于学生已经具备 了用方程表示直线、双曲线、抛物线的实际模型，积累了感性认识的基础， 据此决定用举反例的方法来突破难点．通过反例，揭示“两者缺一”与 直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严格性进行探索，自然地得 出定义．为了在难点有所突破后强化其认识，又决定用集合相等的概念 来解释曲线与方程的对应关系，并以此为工具来分析实例，这将有助于 学生的理解，有助于学生通其法、知其理． 　　 4．对能力培养的考虑 　　知识学习与能力培养是同步的．每一节课应根据教学内容、教材特 点、教学过程所展开的逻辑联系来确定能力训练的侧重点．本节课要结 合图形分析反例，来辨析“两个关系”间的区别，从认识特例到归纳出 曲线的方程和方程的曲线的一般概念，因此能力培养的侧重点应在训练 分析、归纳的逻辑思维能力上，同时强化“形”、“数”相互转化的思想 方法． 　　 5．对教学过程的设计 　　根据以上考虑，确定了教学过程的基本线索是：以旧带新，提出课 题→运用反例，揭示内涵→讨论归纳，得出定义→集合表述，强化理解 →初步运用，反复辨析． 　　 6．对学生学习活动的引导与组织 　　本节课有着概念性强，思维量大，例题与练习题不多的特点，这就 决定了整节课将以学生的观察、思考、讨论为主．这样的教学形式很可能 会遇到一个问题，那就是如果学生在讨论或口答中“出了轨”，偏离了 教师的计划怎么办？在课堂上置学生的回答于不顾，我讲我的，这违反 教学规律，当然不行．而面对“曲线和方程”这样的概念，学生的回答 将千差万别，多出意外，教案中又如何能穷尽各种可能作好“应变”准 备．对此，我以为教师的“应变”决非在语言技巧上，而是要把握学生 的思维规律与数学思维的基本方法．例如，当学生观察了例2回答不清 “为什么”时，可以举出几个点的坐标作检验，这就是“从特殊到一 般”的方法；或引导学生看图，比比划划，这就是“从直观到抽象”的 方法；或引导学生回到例1看x－y＝0，“由简到繁”、“正反对比”． 只要我们的启发方法符合学生的认识规律，学生的认识活动就会顺利进 展，而且在认知的过程中训练了探索的能力．