线性规划应用问题教案 1
教学目标 (1)帮助学生掌握用线性规划的方法解决一些简单的应
用问题的基本思路和主要方法．在应用中培养学生的分析能力，判断能
力，作图能力，计算能力．同时通过对线性规划方法的实际应用，进一
步加深对线性规划有关知识的理解．
(2)通过把简单的实际问题转化为数学问题的实践，逐步培养学生
用数学的意识和能力．
教学重点和难点
重点：用线性规划的方法解决一些简单的实际问题．解题的主要步
骤和基本思路．
难点：把实际问题转化为数学问题．具体说如何根据实际问题的条
件，转化为线性约束条件；如何把实际问题中要的结果转化为线性目标
函数．如何根据实际问题的要求确定最优解．
教学过程设计
(一)教师提出问题，与学生边议边讲边示范．
线性规划这种数学方法在人们的生产、生活活动中有着重要的作用．
下面我们通过两个简单的实际问题，来看一下，如何把实际问题转化为
数学问题，然后用数学方法去解决实际问题．把实际问题转化为数学问
题是对同学的数学能力的考验，有一定难度，大家在学习中要特别重视
这种转化．
例 1 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种
矿石10t，B种矿石5t，煤4t；生产乙种产品1t，需耗A种矿石4t，B
种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利
润是1000元．工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗A种矿石不
超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲、乙两种产品应各
生产多少(精确到1t)，能使利润总额达到最大？
分析 首先必须反复认真看题，把问题中的条件，结论，已知量，
要求量彻底搞清，这样才能顺利地把实际问题转化为数学问题．
这个问题的结论是：甲、乙两种产品各生产多少，利润总额最大．
这里有三个未知量，我们用符号表示出来．
设甲种产品生产xt，乙种产品生产yt，总利润为z元．
则 z＝600x＋1000y
这个问题是求z的最大值，而又提出一堆限制条件，即约束条件．
因条件比较多，容易混淆，我们把它们列为一张表，可以较明显地看清
楚．
显然问题是在表中列出的限制条件下，求函数z＝600x＋1000y的
最大值，是一个线性规划问题．
解 设甲种产品生产xt，乙种产品生产yt，利润总额为z元．
则 z＝600x＋1000y
这个函数中，对x、y是有限制的，其约束条件是：
作出可行域(如图)
作直线l0：600x＋1000y＝0 即 l0：3x＋5y＝0
把直线l0向右上方平移至l1的位置，直线过M点与原点距离最大，
z有最大值．
答：应生产甲种产品约12t，乙种产品约34t，能使利润总额达到
最大．
例 2 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C三种规格，每张钢板可
同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示．
今需要A、B、C三种规格的成品各15、18、27块，问各截这两种钢板
多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
分析 首先认真分析问题中的条件，已知量，未知量和结论．
这个问题的结论是：两种钢板各用多少张，既达到问题的限制条件，
且所用钢板的总数最少．这里有三个未知量，我们用符号表示出来．
设第一种钢板用x张，第二种钢板用y张，所用钢板总数为z，则z
＝x＋y．
在截钢板时，提出一堆限制条件，即约束条件，已反映在给出的表
中．我们可把它用不等式组表示出来．
显然问题是在表中所列的限制条件下，求z＝x＋y的最小值，是一
个线性规划问题．
解 设需截第一种钢板 x张，需截第二种钢板 y张，约束条件为：
目标函数 z＝x＋y，
作直线l0：x＋y＝0，
优解．这时A点所在的直线为x＋y＝11．
找一条与x＋y＝11平行而且离原点最近的直线x＋y＝12，在这条
直线上的整点有(0，12)，(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，
(5，7)，(6，6)，(7，5)，(8，4)，(9，3)，
(10，2)，(11，1)，(12，0)等等．但在可行域内的整点只有
B(3，9)和 C(4，8)．
这样B(3，9)，C(4，8)是这个问题的最优解．
答：符合要求的截法有两种：
第一种截法是截第一种钢板 3张，第二种钢板 9张；
第二种截法是截第一种钢板 4张，第二种钢板8张．
(二)教师指导学生课堂练习
课本练习题2
解 设每天应配制甲种饮料 x杯，乙种饮料 y杯，咖啡馆每天获利
z＝0.7x＋1.2y(元)
x，y满足约束条件
在平面直角坐标系内作出可行域，作直线l：0.7x＋1.2y＝0，把
直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点 C，且与原
点距离最大，此时，
z＝0.7x＋1.2y 取最大值，
得点 C的坐标为(200，240)，所以，每天应配制甲种饮料 200杯，
乙种饮料 240杯，获利最大．
(三)小结
我们这里研究的简单的线性规划应用题属于两类：第一类：给定一
定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务
量最大，收到的效益最大．第二类：给定一项任务，问怎样统筹安排，
能使完成这项任务的人力、物力资源量最小．
一般步骤是：
(1)仔细分析问题的条件和结论．确定变量和目标函数．
(2)把题中的限制条件，用不等式组表示为线性约束条件．
(3)在直角坐标平面上作出可行域．
(4)用线性规划的作图方法，找出最优解．
(5)看实际问题要求最优解为整点，而边界直线的交点不是整点，
则还需再找平行于过原点的直线且距原点最远或最近的直线，在这条直
线上找在可行域内的整点，把这些整点确定为最优解．
作业 习题 7．4 3、4
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