0 0 类别 : 教案

二面角教案 教学目标 1．使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能 初步运用它解决实际问题； 2．引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的 过程中，发展学生的思维能力． 教学重点和难点 本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念； 本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程． 教学设计过程 教师：在平面几何中“角”是怎样定义的？ 学生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角． 教师：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又 是怎样定义的？它们有什么共同的特征？ 学生；直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a ′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b所成的角． 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平 面所成的角． 它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角． 教师：请同学们观察下面的几个问题． （当教师说完上述话后，利用多媒体技术，让学生通过计算机看两个例 子） 例子之一： 镜头一：淡蓝色的地球．（图片） 镜头二：火箭发射人造地球卫星．（录相） 镜头三：人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球赤道 平面． 让学生观察这两个平面相交成一定的角度． 例子之二： 镜头一：人走在坡度不太大的桥上．（录相） 镜头二：人在爬山．（录相） 镜头三：攀岩运动．（录相） 镜头四：演示下面动态图象．（让水平面静止不动，坡面在不断变化，目 的是让学生看到，在生活实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角 的情形） （注意：四个镜头要连续编排在一起进行演示，时间一分钟） 教师：如何给二面角下定义呢？下面我们用类比的办法，与角的概念对比， 探讨二面角的定义． 这一段教学采用计算机辅助手段，每一个问题分三步完成，首先给出平面 角的问题，然后请学生思考并回答二面角的问题，最后计算机显示正确结果． 这部分共有四个问题，全部研究完毕后，将整个过程列成一个总表，显示在屏 幕上． 教师：请看角的图形，思考二面角的图形． 学生可以将自己画的图展示给大家． 计算机显示：二面角的图形． 教师：（给出平面角的定义）请同学们给二面角下定义． 显示：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形． 学生：（口答） 计算机显示：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形． 教师：平面角由射线—点—射线构成．二面角呢？ 学生：二面角由半平面—线—半平面构成． 教师：平面角表示法：∠AOB． 二面角表示法 α-a-β或α-AB-β． 最后计算机显示整个过程． 教师：经过上面的研究我们已经看到，平面上的角，可以看作是一条射线 绕其端点旋转形成的图形；类似地，一个半平面绕其界线旋转到一定位置所得 到的图形，就是二面角． 教师：二面角与平面内的角一样，是可以比较大小的，其比较方法，与平 面内的角的大小的比较方法类似． （教师让学生打开书本） 打开书本的过程，给我们一种二面角的大小连续变化的形象．（前面看到 的爬山问题也是如此） 教师：用量角器可以量出平面内的角的大小，能否也能用量角器直接去量 出二面角的大小呢？ 比如，这里有一个对顶量角器和一个三角木块（直三棱柱）模型，你们能 用我们自制的对顶量角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗？比如平面 α与β的夹角？ 教师：一般地说，量角器只能测量“平面角”（指两条相交直线所成的角． 相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空 间角）那么，如何去度量二面角的大小呢？我们以往是如何度量某些角的？ 学生：分别通过“取点、平移（相交）”（对异面直线所成的角）与“斜线 的射影（相交）”（对斜线与平面所成的角）去度量的． 教师：这些做法的共同点是什么？ 学生：都是将空间角化为平面角． 教师：对！再回到刚才的量角操作，你是怎样用对顶量角器去量二面角 α-l-β的大小呢？ 学生：将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面，角的顶点则在 二面角的棱上． 教师：大家注意，实际上同学们量的是一个平面内的角：∠BAC．这个角的 顶点在二面角的棱上，它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直．而且对 于确定的二面角，这样的角的大小是唯一的，确定的，我们把它叫做二面角的 平面角． （对于训练有素，肯于思考的学生可能会提出下面的问题） 学生：若以棱 a上任意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ′（0° ＜θ′＜90°）的两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′也是 存在且唯一的，为什么不用这样的角定义二面角的平面角？ 教师：记∠AOB=θ，∠A′OB′= ．当OA′，OB′在平面 AOB同侧时θ＞ ；当OA′，OB′在平面 AOB异侧时θ＜ ．请看图 6： 设 A′P′=a，A′P=b，A′B′=x 由余弦定理，得： x2=b2+b2-2b2cos =2b2（1-cos ）， x2=a2+a2-2a2cosθ=2a2（1-cosθ）， 当OA′，OB′在平面 AOB的同侧时，若用∠A′OB′= 表示二面角的大小， 由（*）知， 与θ之间会有常数关系，这将给表示，尤其是计算、应用带来诸 多不便；另外，若用∠A′OB′= 表示二面角的大小，当平面α⊥平面β时； ≠90°，当半平面α与半平面β在同一平面时， =2θ′≠180°，都与已 有知识和经验不符，不能直观反映出空间两个相交平面的相对位置关系。 教师板书二面角的平面角的定义． 定义 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两 条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 教师：“二面角的平面角”的定义三个主要特征是什么？ 学生：过棱上任意一点（0∈a），分别在两个面内作射线（OA α，OB β），射线垂直于棱（OA⊥a，OB⊥a）． 教师：经过上面的研究我们看到，二面角的大小，可以用它的平面角来度 量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度． 教师：许多立体几何问题，若能正确地作出图形，则问题就便于解决．若 能正确地作出二面角的平面角乃是解决这类问题的关键步骤．下面我们总结一 下作二面角平面角的几种基本方法．如何利用定义作二面角的平面角呢？ 学生：在二面角的棱 a上任意取一点O为端点，在面α，β内分别引垂直 于棱 a的两条射线OA，OB，则∠AOB为该二面角的平面角． 教师：如何利用三垂线定理作二面角的平面角呢？ 学生：在二面角α-a-β的面α上任取一点 A，过 A分别作棱 a和另一面 β的垂线 AO和 AB（O，B分别是垂足），连 BO；或者过 A作面β的垂线 AB， 又过垂足B引棱 a的垂线 BO，连 AO；则∠AOB为该二面角的平面角． 教师：能否用作垂面的办法作二面角的平面角呢？ 学生：过二面角的棱 a上任一点O，作平面γ与该棱垂直（作棱的垂面）， 平面γ与α，β分别交于 OA，OB，则可用∠AOB来度量二面角α-a-β的大小． 教师：下面我们研究一道例题． 题目：如图11，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是 60°，山坡上有一条直道 CD，它和坡脚的水平线 AB的夹角是 30°，沿这条路 上山，行走100米后升高多少米？ （投影打出下图） （此例是一个实际应用问题，难度较低，一般不易引起人们的注意，但教 师应深入思考，讲清下面几点） 分析： 1．建模过程 此例的求解首先要对实际图形作出想象理解，然后在教学中 抽象出数学模型．虽然建模过程难度较低，但教学中应主要向学生渗透建模的 思想和增强学生对立体几何中一些基本图形的认识与理解． 设过 AB的水平面为α，坡面 DAB所在的平面为β，CD=100m． 本题要求“升高了多少米”？即是求点 D到水平面α的距离DH．这自然会 想到解直角三角形 DHC，但该直角三角形不可解，故必须另寻途径．（如图， 利用计算机显示在屏幕上） 再看看给出的条件，已知二面角α-AB-β是 60°，如何作出它的平面角呢？ 过 D在平面β内作DG⊥AB，G是垂足，再连结 HG，则根据三垂线定理，可得 HG⊥AB，则∠DGH就是该二面角的平面角，即∠DGH=60°．再根据∠DCH=30° 及直角三角形 DGH和 DCG的边角关系，就可以求出 DH． 2．提炼方法 此例的求解是应用三垂线定理作二面角的平面角的典型例子， 也是立体几何的一个基本方法．为了强化此法，应在本节练习中配套出相应的 题目．这表明在教学中加强对基本方法的提炼、理解是很有必要的，也是加强通 法教学的具体表现． 练习： ①在 30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是a，求它到 棱的距离． ②把边长为a的正方形 ABCD以 BD为轴折叠，使二面角 A-BD-C成 60°的二 面角，求A、C两点的距离． 3．导出等式 在图12中，不妨从一般性出发，记 ∠DCH=θ1，∠DCG=θ2，∠HCG=θ3，∠DGH=θ．引导学生从例题图形中推导出 等式： ①sinθ1=sinθ2sinθ； ②cosθ2=cosθ1cosθ3． 这样的练习既锻炼了学生的动手能力，还揭示了例题的引申功能，使例题 的作用突出，导向明确，极有利于学生对知识串联、累积、加工，从而达到举一 反三的作用． sinθ1=sinθ2sinθ． cosθ2=cosθ1cosθ3． 4．挖掘引申 教师在学生导出等式①，②后，把课堂教学进一步引向深入， 对等式①，②作出说明与解释． 由等式①可得sinθ1≤sinθ，即θ1≤θ，说明沿山坡直道 CD上山时与水 平面所成的角θ1不大于山坡的倾斜度，这使例题的实际性增强，又使学生在教 学过程中对数学知识与实际生活进行比较、联系、评价，突出了数学应用的广泛 性，进一步强化了学生的应用意识，从而有利于学生数学素养的提高． 小结 1．空间的“二面角”，是平面几何中角的概念在空间中的拓广．处理问题 的思想方法是将“空间的角”转化为“平面的角”来处理．定义的原则是：这 个“平面角”的大小必须是由空间的角完全确定而且是唯一的． 2．凡是涉及到二面角的几何问题，都要根据题目的条件，在图形的恰当位 置作出二面角的平面角，主要方法有“定义法”，“应用三垂线定理”和“作 垂面”的方法．我们将在下一课做进一步的研究． 布置作业 1．阅读课本． 2．正四面体 ABCD，求侧面与底面所成二面角的大小的余弦值． 3．如果两个二面角的两个面对应平行，那么这两个二面角相等或互补． 课堂教学设计说明 本节课属于新授课型．应主要把握下述几个方面． 1．要有良好的铺垫．数学教学的过程，实质上就是原有认知结构不断地同 化或顺应的能动过程．学生原有的认知结构，始终是关系迁移功能的一个关键 的因素．为了有效迁移和建构，就应认真寻找和了解学生的原认知，及时组织 改造和唤起这些关键因素，为学习新的知识提供基础．主要要做到三个方面的 铺垫：（1）知识性铺垫．（2）技能性铺垫．（3）原理性铺垫． 2．抓着新知识的导入点．新课导入就是在新旧问题之间架起一座“认知桥 梁”，从而顺利实现迁移．导入时要寻求新旧问题的最短距离，要瞄准新旧关 系的最佳方位，要把握新旧转换的最精确表达． 3．新授课的重点是新授．新授是一堂课的重要环节，也是学生思维最活跃、 最紧张、最有效的认知高潮．因此，新授过程应确保在教学中的最佳时域进行． 要让学生有观察、动手、表达、思考、交流、表现等时机，让学生真正成为学习的主 人，主动地和生动地进行认知建构． 4．做好课堂巩固．巩固的主要目的就是帮助学生建立起关于某道范例的思 维模式，形成积极有益的认知定势作为学习优势去解决实际问题．这样的巩固 练习，不能单纯停留于对范例的模仿上，而应恰当地变换形式或角度，集中突 破教学难点和重点． 5．做好作业的选题、批改、订正、讲评，进一步提高学习质量．