用分析法证明不等式教案
教学目标
通过教学，学生掌握和应用分析法证明不等式．
教学重点和难点
理解分析法的证题格式并能熟练应用．
教学过程设计
师：我们已经学习了综合法证明不等式．综合法是从已知条件入手
去探明解题途径，概括地说，就是“从已知，看已知，逐步推向未知”．
综合法的思路如下：(从上往下看)
(用投影片)
师：其中，A表示已知条件，由A可以得到它的许多性质，如
B，B1，B2，而由 B又可以得到 C，由 B1还可以得到 C1，C2，由 B2又可
以得到 C3，…，而到达结D的只有 C，于是我们便找到了A→B→C→D
这条通路．当然，有时也可以有其他的途径达到D，比如
A→B1→C1→D等．
但是有许多不等式的证明题，已知条件很隐蔽，使用综合法证明有
一定困难．
这一命题若用综合法证明就不知应从何处下手，今天我们介绍用分
析法证明不等式，来解决这个问题．
(复习了旧知识，并指出单一用综合法证明的不足之处，说明了学
习分析法的必要性)
分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件
沟通为止，从而找出解题途径．概括地说，就是“从未知，看需知，逐
步靠拢已知”．
分析法的思路如下：(从下往上看)
(用投影片)
师：欲使结论D成立，可能有 C，C1，C2三条途径，而欲使 C成立，
又有 B这条途径，欲使 C1成立，又有 B1这条途径，欲使 C2成立，又有
B2，B3两条途径，在 B，B1，B2，B3中，只有 B可以从A得到，于是便
找到了A→B→C→D这条解题途径．
(对比综合法叙述分析法及其思路，便于学生深刻理解分析法的实
质及其与综合法的关系)
师：用分析法论证“若A到 B”这个命题的模式是：
(用投影片)
欲证命题 B为真，
只需证命题 B1为真，
只需证命题 B2为真，
只需证命题A为真，
今已知A真，
故 B必真．
师：在运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，
这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途径．
下面举例说明如何用分析法证明不等式．首先解决刚才提出的问题．
(板书)
(此题以教师讲解，板书为主，主要讲清证题格式)
师：请看投影，这个题还有一种证法．
(投影片)
师：这种证法是综合法．可以看出，综合法有时正好是分析过程的
逆推．证法 2虽然用综合法表述，但若不先用分析法思索，显然用综合
法时无从入手，有时综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分
析法的优越性正体现在此．
师：若此题改为
下面的证法是否有错？
(投影片)
①
②
③
④
⑤
⑥
只需证 63＜64，
⑦
因为 63＜64成立，
⑧
⑨
(学生自由讨论后，请一位同学回答)
生：我认为第②步到⑦步有错，不等式①两边都是负的，不能平方．
师：这位同学找到了证明过程中的错误，但错误原因叙述得不够准
确．这种证法错在违背了不等式的性质．
若 a＞b＞0，则 a2＞b2；若 a＜b＜0，则 a2＞b2．
(不失时机地联系旧知识，在以新代旧的过程中，数学知识可以不
断得到深化，学生的思维能力可以得到提高)
师：下面看第二个例题．(板书)
(学生推证，教师巡视，请－学生口答)
因为 c＞1，
故只需证 c2－1＜c2，
即证 －1＜0，
因为 －1＜0显然成立，
师：以上两个例题充分显示了分析法的优越性．
师：这个题目我们曾经用比较法进行过证明，请同学们考虑用分析
法如何证明？
(学生讨论，请一学生回答)
生：因为 b＞0，所以 b＋1＞0，去分母，化为 a(b＋1)＜b(a＋1)，
就是 a＜b，这个式子就是已知条件，所以求证的不等式成立．
(学生理解了分析法的原理，应予以肯定，但这个回答不能作为证
明过程，学生往往忽略分析法证明的格式，要及时纠正)
师：这位同学“执果索因”，逐步逆找结论成立的充分条件，直至
找到明显成立的不等式为止．很明显，逆找的过程正是把“欲证”由繁
化简的过程，因而分析法对于形式复杂的证明题是一种行之有效的方法．
但是作为证明过程，这位同学的回答不符合要求．应该如何证明呢？
(请一位同学板书)
因为 b＞0，b＋1＞0，
故只需证 a(b＋1)＜b(a＋1)，
即证 ab＋a＜ab＋b，
即证 a＜b，
师：如果将这个题变化为
其证明方法与例 3相同．此题表明：分子、分母都是正的真分数，
分子、分母同加上正数m，分数值变大——但不超过 1，这是分数的一个
重要性质．若 a，b
(讲完一个例题后，将例题引伸是教学中常做的一件事，它可以使
学生的认识得到“升华”，发展学生的思维，并起到触类旁通，举一反
三的效果)
例 4 已知：a，h∈R+，且 a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2．
生甲：我用求差比较法可以证明．
(学生口答，教师板书简单过程)
证法 1：(a3＋b3)－(a2b＋ab2)
=(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)
=(a＋b)(a2－2ab＋b2)
=(a＋b)(a－b)2．
由 a，b∈R+，知 a＋b＞0，又 a≠b，则(a－b)2＞0，进而(a＋b)(a－
b)2＞0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，所以 a3＋b3＞a2b－ab2．
生乙：我是用分析法证明的．
证法 2：
欲证 a3＋b3＞a2b＋ab2，
即证 (a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，
因为 a＋b＞0，
故只需证 a2－ab＋b2＞ab，
即证 a2－2ab＋b2＞0，
即证 (a－b)2＞0，
因为 a≠b，
所以 (a－b)2＞0成立，
所以 a3＋b3＞a2b＋ab2成立．
生丙：那我可以用综合法证明．
证法 3：
由 a≠b，知(a－b)2＞0，即 a2－2ab＋b2＞0，则 a2－ab＋b2＞ab，又
a＋b＞0，则(a＋b)·(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，即 a3＋b3＞a2b＋ab2．
师：以上三位同学熟练地应用学过的证明方法，对同一命题用三种
方法进行了证明，开阔了思路．同学们应学会针对具体题目，灵活地选
取方法．
(分析法和综合法是对立统一的两个方法，对同一命题分别用这两
种方法证明，便于对比，在教学中，应着眼于培养学生的能力，使学生
能针对具体问题，进行具体分析，灵活地运用各种证法)
例 5 若 a，b，c是不全相等的正数，
(师生共同进行分析)
证明：
且上述三式中的等号不全成立，所以
师：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法，
由此看出
课堂练习：(投影片)
3．若 a，b∈R+，求证：a5＋b5＞a3b2＋a2b3．
(第 3题是例 4的推广．所谓推广，就是把真命题放在更广的范围内
考查，因而是一种创造性的思维活动．要想做出推广，认清式子的“结
构特征”是突破口．就例 4中的 a3＋b3＞a2b＋ab2而言，不等号两边都
是二元的三次齐次式，推广至少有两个方向：(i)次数能否提高？
(ii)“元”能否增多？对学有余力的同学不妨试试看)
(请同学做以上三个练习，巩固本节课所学内容．教师巡视，发现
问题，当堂指正)
小结：
师：这节课主要学习了用分析法证明不等式．分析法是证明不等式
时一种常用的基本方法，在证题不知从何下手时，有时可以运用分析法
而获得解决．在“执果索因”逆推过程中，请同学们小结常用技巧．
生：可以通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母、两边乘方、开方．
师：使用这些技巧变形时，注意遵循不等式性质，还有什么补充？
生：还有指数，对数性质．
师：(再补充)以及三角公式等等，运用同学们总结出的这些技巧，
目的是将“求证”由繁化简，直至逆推出已知或显然成立的结论．另外，
分析法和综合法是对立统一的两个方面．有时我们可以用分析法思索，
而用综合法书写证明过程，或者分析法，综合法相结合，共同完成证明
过程．
作业：
此题为一重要不等式的变形：正数 a，b的调和平均数不大于这两
个数的几何平均
根据三角函数的有界性，sin22α≤1成立，所以原不等式成立)
课堂教学设计说明
教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程．因此，教师应及
时提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，
求得问题的解决．一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思
维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的
思维步步引向深入，直至完成本节课的教学任务．总之，本节课的教学
安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态．
本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合．在讲与练的相互作用下，
使学生的思维逐步深化．教师提出的问题和例题，先由学生自己解答，
然后教师分析与概括．在教师讲解中，又不断提出问题让学生解答和练
习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包办代替的做法．
在安排本节课教学内容时，我注意按认识规律，由浅入深，由易及
难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构．
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