换元积分法教案 1
教学目的
为熟练掌握换元积分法，先作一点准备工作．即将复合函数的微分法用在被积式
的变换上．
教学重点和难点
如何将被积式 f(x)dx看作是 F[g(x)]g '(x)dx，从而化作 F[g(x)]dg(x)，即 F(u)du．而
F(u)du是可以求得原函数的被积式．
说明：本教案的设计意图在于分散难点．将换元法的精髓抽出来先与学生见面，
待熟悉之后再求不定积分，这对中学生来说是易于接受的．因而可以就换元中的常用
方法作较全面的介绍和练习．
教学过程
一、提问式的复习
将下列的被积式 F(u)du，其中 u=g(x)，化成 f(x)dx的形式．
1．sin(2x＋1)d(2x＋1)； 2．ln(x2＋1)d(x2＋1)；
请学生到黑板上板演，核对之后用双向箭头将结果 f(x)dx与 F(u)du联结起来表示
互推：
二、在上述十例的关系建立之后，引导学生得到如下的两条结论：
1．上面十例中，右边的被积式较复杂，而左边各式将积分变量看作 u，则被积式
相应化简(让大家自己动手化简)，(可顺次得到：
2．若用得好，则左边换元后的 F(u)du可以看作被积式而得到原函数(即求得不定
积分)
三、引入新课
面对较复杂的被积式 f(x)dx可否将 f(x)中的一部分与 dx相结合，凑成一个新函数
的微分，而这个新函数 u(x)又与 f(x)的另一部分有关．
例 1 化 2xsin(x2＋1)dx为 F(u)du形式，要求 F(u)为基本积分公式中的被积函数．
解：因 2xdx=d(x2)，故上式可化成
sin(x2＋1)dx2=sin(u＋1)du
(会有人说，这式子仍不简单．)
另解：2xdx=d(x2＋1)，则上式化作 sinudu
较前一解法简单．
解：sinxdx=d(－cosx)，故原式可化作
此题说明在“化”法上是有多条渠道可行的，目的是使被积式变简单．
四、课堂讨论式的练习
(可讨论也可以个人先试解之后，再讨论．目的是学会凑微分法．)
将下列各被积式，按例 1、2的办法“化简”．
(在引导学生讨论中，一定要调动学生的积极性与创造性，不应对错误的设想表
示出丝毫的轻蔑，这样会挫伤学生的积极性．)
或 sinxcosxdx=sinxd(sinx)=udu(u=sinx)；
8．(x3－3x2＋3x－1)dx=(x－1)3d(x－1)=u3du(u=x－1)；
(对上述解法，凡学生未想到的，教师应启发．对更好的换元法应一起写出，以
作比较．)
五、引导学生，归纳出几条行之有效的换元法，然后在下次课上由教师加以总结
2．2xdx=dx2=d(x2＋m)(m为实常数)，
cosxdx=d(sinx)．
5．exdx=d(ex)．
六、小结
凑微分法的实质是把被积函数中的一部分“吸收”到积分变量之中，形成新的积
分变量，从而使原被积式简单．
七、本节的作业
本节为换元积分法的预备工作，可以不留书面作业，而让同学总结常用的凑微分
的方法(即五的内容由学生完成)．
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