●教学目标
（一）教学知识点
1.抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率.
2.抛物线的通径及画法.
（二）能力训练要求
1.使学生掌握抛物线的几何性质.
2.掌握抛物线的画法.
（三）德育渗透目标
1.培养学生数形结合及方程的思想.
2.训练学生分析问题、解决问题的能力.
●教学重点
1.抛物线的几何性质.
2.抛物线几何性质的应用.
●教学难点
抛物线几何性质的应用.
●教学方法
启发引导式
●教具准备
投影片三张
第一张：抛物线的几何性质（记作§8.6.1 A）
第二张：例题（记作§8.6.1 B）
第三张：练习题（记作§8.6.1 C）
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］前面我们已经学过椭圆与双曲线的几何性质，它们都是通过标准方程的形式研
究的.现在需要大家想想抛物线的标准方程.
［生］共四种形式，分别是 y2=2px(p＞0),y2=-2px(p＞0),x2=2py(p＞0),x2=-2py(p＞
0).
Ⅱ.讲授新课
［师］下面我们根据第一种抛物线的标准方程，也就是 y2=2px(p＞0)来研究其几何性
质：
1.范围
因为p＞0，由方程可知 x≥0，所以抛物线在 y轴的右侧，当 x的值增大时，|y|也增
大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
2.对称性
可根据求椭圆与双曲线对称性的方法得到，在 y2=2px(p＞0)，以-y代 y，方程不变，
所以抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
3.顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当 y=0时 x=0，因此抛物线的
顶点就是坐标原点.这与椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点不同.
4.离心率
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线
的定义可知e=1.
抛物线的几何性质是从以上四方面来体现的，下面请大家得出其余三种标准方程抛物
线的几何性质.
(打出投影片§8.6.1 A)
标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率
y2=2px
(p>0)
(0,0) x轴 ( 2
p ,0) x=- 2
p e=1
y2=-2px
(p>0)
(0,0) x轴 (- 2
p ,0) x= 2
p e=1
x2=2px
(p>0)
(0,0) y轴 (0, 2
p ) y=- 2
p e=1
x2=-2px
(p>0)
(0,0) y轴 (0,- 2
p
)
y= 2
p e=1
［师］结合椭圆与双曲线的几何性质对抛物线进行小结：
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
（3）抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
（4）抛物线的离心率是确定的，为1.
下面开始讲例题，（打出投影片§8.6.1 B)
［例 1］已知抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M（2，-2 2
），求它的标准方程，并用描点法画出图形.
分析：根据抛物线关于 x轴对称，其顶点在坐标原点，可知抛物线标准方程为 y2=2px
或 y2=-2px，又M点横坐标为2，是大于0的数，所以方程只能是y2=2px的这种.
解：由题意可设标准方程形式为y2=2py
∵过点M（2，-2 2 ）
∴（-2 2 ）2=2p·２
则p=2
因此所求方程是y2=4x.
将方程变形为 y=±2 x ，根据 y=2 x 计算抛物线在 x≥0的范围内几个点的坐标，
得
x 0 1 2 3 4 …
y 0 2 2.8 3.5 4 …
如图描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分.
在抛物线的标准方程 y2=2px 中，令 x= 2
p ,则 y=±p.这就是说，
通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为( 2
p ,p)、( 2
p ,-p).连结这两
点的线段叫做抛物线的通径，它的长为 2p，这就是标准方程中 2p的几何意义.利用通径可
画抛物线的草图.
［例2］探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯
口圆的直径为60 cm,灯深 40 cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置.
分析：该题虽然是求抛物线的标准方程，但是没有直角坐标系，所以首先得建立一适
当的坐标系，使反光镜的顶点做为坐标原点，接着再选择一坐标轴，才能用待定系数法求
抛物线的标准方程.
解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使
反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于灯口直径.
设抛物线的标准方程是 y2=2px(p＞0)，由已知条件可得点 A的坐
标是（40，30），代入方程得
302=2p×40
∴p= 4
45
则所求抛物线的标准方程是y2= 2
25 x，焦点坐标是（ 8
45 ，0）.
Ⅲ.课堂练习
（打出投影片§8.6.1 C)
1.顶点在原点，焦点在 x轴正半轴上的抛物线有一个内接直角三角形，直角顶点在原
点，一条直角边OA所在的直线方程为y=2x，斜边 AB的长为5 3 ，求抛物线方程.
分析：可先设出抛物线方程，然后用待定系数法求p，其中还要用到两点间距离公式.
解：如图所示，设抛物线方程为y2=2px(p＞0)
由
pxy
xy
2
2
2 得：A（ 2
p ,p)
∵OA⊥OB
∴直线 OB的方程为y=- 2
1 x
由
pxy
xy
2
2
1
2
得：B（8p,-4p）
∵|AB|=5 3
∴|AB|= 35)4()28( 22 pppp
∴p= 3913
2
所求抛物线方程为y2= x13
394 .
2.已知直线 l过原点，抛物线 C的顶点在原点，焦点在 x轴的正半轴上，若点 A（-
1，0）和点B（0，8）关于直线 l的对称点都在C上，求直线 l和抛物线C的方程.
分析：可先设出直线方程与抛物线方程，由点 A、B关于直线 l对称，可求出对称点坐
标，分别代入抛物线方程.
解：由题可设抛物线C的方程为y2=2px(p＞0)，直线 l的方程为y=kx(k≠0).
设点A（-1，0），点B（0，8）关于直线 l的对称点A′(x1,y1)、B′(x2,y2).
1
)1(8
1
16
1
2
1
1
18
22
8
11
2
1
2
2
2
2
22
21
2
2
1
2
2
22
1
1
11
k
ky
kx
k
ky
k
kx
kx
y
xky
kx
y
xky
与解得
且则
∵A′、B′在抛物线上
∴
1
162)1(
)1(64
1
12)1(
4
222
22
2
2
22
2
k
kpk
k
k
kpk
k
两式相除，消去 p，整理得：
k2-k-1=0
∴k= 2
51
∵当 k= 2
51 时，x1= 1
1
2
2
k
k =- 5
5 [SX（）[KF（）5[KF]][]5[SX]]＜0
∴k= 2
51 不合题意，应舍去.
把 k= 2
51 代入得p= 5
52 .
∴直线 l的方程为y= 2
51 x，抛物线C的方程为y2= 5
54 x.
Ⅳ.课时小结
抛物线标准方程的形式较多，它们的几何性质一定不能混淆，所以应用时应注意抛物
线的形式.而根据性质求抛物线方程时，一般是采用待定系数法.
Ⅴ.课后作业
课本P123习题8.6 1、2、3
●板书设计
§8.6.1 抛物线的简单几何性质
抛物线的 例题 练习 课时小结
几何性质
/5
