解不等式复习课教案 1
教学目标
1．通过复习小结，学生系统地掌握不等式的解法及其内在联系，
提高学生的解题技能．
2．通过对各类不等式内在联系的揭示，加深学生对等价转化的认
识，为今后进一步学习数学打好基础．
教学重点和难点
解不等式变形过程中等价变换思想的理解和进一步应用．
教学过程
师：我们已对哪些不等式的解法做了研究？
生：一元一次不等式；一元二次不等式；简单的一元高次不等式；
简单的分式不等式；简单的无理不等式；简单的指数不等式；简单的对
数不等式；含有绝对值的不等式．
师：好．请先看几道题目．
(教师板书，请三位学生到黑板上做，其余学生在笔记本上做题)
解下列不等式：
3．log2(x＋1)＋log0.25(x－1)＞log4(2x－1)．
(学生板书)
所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，3］．
2．解；原不等式
3．解：原不等式
所以原不等式的解集为(1，5)．
(待三位学生写完后，教师开始讲评)
师：好，这三个题解得都很正确．请问做第 3题的同学，原题中的
底数有 2，0.25，4这三个，换底时你为什么选择以 4为底呢？
生：都用大于 1的底其单调性看起来比较方便，所以不选 0.25；如
果用 2为底，那么以 0.25，4为底的对数换底时真数中都要出现根号，
而最后还要把根式变成整式，太麻烦．
师：那为什么又要把左边减的一项挪到右边去呢？
生：如果不移过去而直接运算的话，不等号左边的真数将是个分式，
最后也得变成整式，同样麻烦．
师：好．还有，左移项之后不等号右边对数运算时，为什么又多出
两个条件 x－1＞0和 2x－1＞0呢？在不等式中不是有 log4(x－1)(2x－1)
一项在，它已包含了(x－1)(2x－1)＞0吗？
生：是因为 x－1＞0且 2x－1＞0和(x－1)(2x－1)＞0这两个条件是
不等价的．如果略去 x－1＞0和 2x－1＞0这两个条件将会扩大解的范
围．
师：很好．这些问题都是我们在解不等式的过程中应该注意的．刚
才我们分别回顾了简单的分式不等式、无理不等式和对数不等式．在我
们学习过的八类不等式中，一元一次不等式和一元二次不等式是最简单、
最基本的不等式，而像我们刚才做的这些其他类型的不等式，我们是如
何解决的呢？
生：把它们转化为一元一次或一元二次不等式．
师：具体来说这个转化的目标是怎样实现的呢？
生：逐级转化：超越不等式代数化；无理不等式有理化；分式不等
式整式化；高次不等式低次化．
师：实现这些转化的理论依据是什么？
生：第一个是利用函数的单调性，后三者是根据不等式的性质．
师：在这个转化的过程中，最应该注意的是什么？
生：每一次变换必须是等价变换．
师：为什么要求这样？
生：为了保证得到的解集与原不等式的解集相同．
师：我们在处理方程求解的问题时也遇到过这个问题．那时并不要
求等价变换，只要验一下根就可以了．这里不行吗？
生；不行．因为一般方程的根只有有限的几个，增根可以通过检验
的方式找出来．而不等式的解集一般都是无限集，因此非等价变换产生
的增根无法由检验来剔除．
师：说得好．我们来通过几个例题来看看如何用等价变换解不等式．
师：这道题中的 x参与了分式运算，还参与了无理运算．也就是说，
我们要做两次变换．应该先进行哪个变换呢？
生：无所谓．
师：那就请两位同学来说说这两种做法．
(学生口述，教师板书)
所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪［2，＋∞)．
所以原不等式的解集为［2，＋∞)．
师：为什么这两种解法得到的解集不一样呢？
故第一种解法是正确的．
师：对．我们在刚才的练习第三题中也遇到过这个问题，两式均大
于 0与它们的积(或商)式大于 0是不等价的，这是我们在处理等价变换
时应该注意的．对于这道题，我们就只能把它看作无理不等式．对复杂
不等式的题型选择离不开不等式的等价性．请再看这道题．
师：这道题看上去和例 1很像，如何处理？
生甲：当然是先把绝对值号去掉，变成一个分式不等式，剩下的就
和例 1差不多了．
师：好，把你的方法写到黑板上．
(学生板书)
所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
师：正确．这个解法是把题目看成了绝对值不等式，它和例 1的解
法类似，都是把根号或绝对值号中的式子先看成一个整体来考虑它的范
围，这样做比较容易保证等价性．这道题是否还有别的解法呢？
＜1，把分母乘过去就成了绝对值不等式．
师：在例 1中这样做不对，这里会对吗？
师：好，写出你的解法．
(学生板书)
所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
这个不等式可以当作分式不等式来解．那么这两种解法哪个更好呢？
生：第二种更好算一些．
师：因此我们解决不等式问题时应先观察题目，在等价转化的前提
下尽量选择简捷的途径．请再看一道题．
师：这道题中的 x也参加了对数运算和分式运算．应把它看作哪类
不等式？
生：x参与的对数运算只有 logax，把这个整体看成一个未知数，就
可以转化成分式不等式了．
师：好，说说你的解法．
(学生口述，教师板书)
又 0＜a＜1，则原不等式
师：对．在解集的端点中含有字母系数时，要特别注意它们大小的
比较．下面大家自己做几个题目．
(教师板书，学生在笔记本上做题)
练习：解下列不等式：
(教师观察学生完成情况，视学生解题状况做出点评)
师：那如果把题目中的“≥”号改成“＞”号就可以直接去掉了吗？
生：是．这样不会漏掉解．
师：试想，即使不影响结论，也是因为忽略的情况凑巧不在解集内．
虽然我们要求等价变换的目的是为了保证同解，但不能因为凑巧同解就
忽视等价变换．
师：有的同学对于第 2题无从下手．对于题中的字母 a我们如何处
理呢？
师：那如果 a＞1呢？
师：因此对于这种题目我们就要对字母系数和范围进行分类讨论．
试着说说刚才提到的两种情况下的解法．
(学生口述，教师板书)
师：很好．对于含有字母系数的不等式，我们需要在必要时对字母
系数的范围进行讨论；并且在最后确定解集时，要注意对含有字母系数
的区间端点的大小比较．
师：我看到有的同学处理第 3题时下手就把两边平方，这样做可以
吗？
生：可以，但不好．如果一平方，不等号右侧就成了四次式，那样
过于麻烦了．
师：那又如何处理呢？
生：观察不等式，根号内、外的 x的二次项、一次项的系数对应成比
例，由这可以想到使用换无法．
师：很好．这个方法我们在处理方程问题时就用过．把你的解法写
出来．
(学生板书)
所以原不等式的解集为(－3，－2)∪[1，2)．
师：很好．当我们处理一些复杂的不等式时，有时可借助换元法使
问题简化．
师：解不等式要立足基本题型，通过等价变换，把它们最终归结为
一元一次不等式或一元二次不等式的求解．
作业：
解下列不等式：
1．|2 lgx－3|＜1；
作业答案或提示：
1．{x|10＜x＜100}．
3．{x|0≤x＜1}．可用换元法将根式当作一个整体．
课堂教学设计说明
1．作为不等式解法的复习课，我们把等价变换放在突出位置．也
就是说，要求每一次变形所得到的不等式和变形前的不等式是等价的．
这与课本中有所不同，课本原意是用同解不等式的观点作统帅．这样做
有这样做的道理，但操作上有困难．因为两个不等式是否同解，要等解
出来以后，从结果才能看清楚，用作为指导性的东西显得有些困难．我
们强调等价变换是从过程看，这样做既好操作，也符合逻辑，还容易看
清楚，可以引导学生从逻辑上把解不等式理论认识清楚．
2．在本节课中，没有给出不等式的这种分类(见分类表)．因为我们
认为应该淡化形式，注重实质，而且表中的不等式也并没有全部涉及到．
我们对于各类不等式的要求是不完全相同的，其中一元一次不等式、一
元二次不等式分类表：
的解法是最基本的，它是解各类不等式的基础．而解其他类型的不
等式，关键在于利用不等式的性质或相关函数的单调性，将其等价变换
成一元一次或一元二次不等式(组)再求解．
对于已分类学习研究过的不等式解法，复习并不是简单地罗列各种
解法，堆砌各类题型，这只是形式上的表面文章，冲淡了学生对其本质
——等价变换的认识．像 3道例题，它们并不纯属于哪一类不等式，对
于这类问题的讲解，就要引导学生在立足基本题型、基本方法的基础上，
抓住内在联系，把握基本思想，有的要通过换元、分类讨论等手段，问
题得以解决．
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