曲线和方程教案
●教学目标
（一）教学知识点
根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤.
（二）能力训练要求
1.会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程.
2.会判断曲线和方程的关系.
（三）德育渗透目标
1.提高学生的分析问题能力.
2.提高学生的解决问题能力.
3.培养学生的数学修养.
4.增强学生的数学素质.
●教学重点
求曲线方程的步骤：
（1）依据题目特点，恰当选择坐标系；
（2）用M（x,y)表示所求曲线上任意一点的坐标；
（3）用坐标表示条件，列出方程F(x,y)=0；
（4）化方程F(x,y)=0为最简形式；
（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
●教学难点
依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性.
●教学方法
启发引导法
启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线两个基本概念，借助坐标系，用坐标表示点，
把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y)所满足的方程
f(x,y)=0.表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.
●教具准备
投影片两张
第一张：记作§7.6.2 A
第二张：记作§7.6.2 B
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上节课，咱们一起探讨了曲线的方程和方程的曲线的关系，下面请一位同学叙
述一下，大家一起来回顾.
［生］（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
Ⅱ.讲授新课
不难发现，利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把满足某种
条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上点的坐标（x,y)所满足的方程 f(x,y)=0表示
曲线.那么我们就可以通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质.
而且，我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.
当今，在数学中，用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何.
所以说，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.
它主要研究的是：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
（2）通过方程，研究平面曲线的性质.
［师］下面我们首先讨论求曲线的方程.
［例2］设A、B两点的坐标是（-1，-1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.
分析：线段AB的垂直平分线上的任一点M应满足条件：｜MA｜=｜MB｜
（打出投影片§7.6.2 A)
解：（1）设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点，则｜MA｜=｜MB｜
即 2222 )7()3()1()1( yxyx
整理得，x+2y-7=0 ①
由此可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解；
（2）设点M1的坐标(x1,y)是方程①的解，
即x1+2y1-7=0,
x1=7-2y1
点M1到A、B的距离分别是
｜M1A｜= 2121 )1()1( yx
.)136(5)7()24(
)7()3(
;)136(5)1()28(
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
11
1
2
1
2
1
2
1
yyyy
yxBM
yyyy
∴｜M1A｜=｜M1B｜
即点M1在线段AB的垂直平分线上.
由（1）、（2）可知，方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
［例3］点M与互相垂直的直线的距离的积是常数k(k＞0)，求点M的轨迹.
分析：应建立适当的坐标系，不妨就取互相垂直的直线为坐标轴.
解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系.
（打出投影片§7.6.2 B)
设点M的坐标为(x,y)，点M的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数k的点的集合：
P={M｜｜MR｜·｜MQ｜=k},
(其中 Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足）
因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，
∴｜x｜·｜y｜=k
即 x·y=±k①
(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；
（2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解，那么x1y1=±k,
即｜x1｜·｜y1｜=k.
而｜x1｜、｜y1｜正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是
常数k，点M1是曲线上的点.
由（1）、（2）可知，方程①是所求轨迹的方程.
下面，请同学们打开课本 P72.
Ⅲ.课堂练习
［生］（板演练习）练习 1、2.
［生甲］1.解：设点M（x,y)是到坐标原点的距离等于2的任意一点，则点M属于集合
P={M｜｜OM｜=2}
∴ 22 yx =2
即 x2+y2=4 ①
(1)由求方程的过程可知，到坐标原点的距离等于2的点 M的坐标都是方程 x2+y2=4的
解.
（2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解，
即x12+y12=4
整理得y12=4-x12
点M1到坐标原点的距离为：
｜OM1｜= 2121 yx
即｜OM1｜=2
∴M1到坐标原点的距离为 2，也就是说以方程 x12+y12=4的解为坐标的点到坐标原点的
距离为2.
由（1）、（2）可知，方程x2+y2=4是到坐标原点的距离等于2的点的轨迹方程.
［生乙］2.解：设点M的坐标为（x,y)
则，点M属于集合：
P={M｜｜y｜=｜MF｜}
即｜y｜= 22 )4( yx
整理得：x2-8y+16=0.
(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；
（2）过点M1的坐标（x1,y1)是方程①的解，
那么，x12-8y1+16=0
即 x12+(y12-8y1+16)=y12
2
1
2
1 )4( yx =｜y1｜
而｜y1｜正是点M1到x轴的距离 2121 )4( yx 正是点M1到点F（0，4）的距离.
因此点M1到x轴的距离和点M1与点F（0，4）的距离相等.
由（1）、（2）可知，x2-8y+16=0是到x轴的距离和到点F（0，4）距离相等的点的轨
迹方程.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要掌握求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件 P的点M的集合
P={M｜P(M)};
（3）用坐标表示条件 P（M），列出方程f(x,y)=0;
（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，
可适当予以说明.
另外，根据情况，也可省略步骤（2），直接列出曲线方程.
Ⅴ.课后作业
（一）课本 P72习题7.6 3,4,5,6
（二）1.预习内容：课本 P71～72.
2.预习提纲：
（1）怎样求一些较复杂的曲线的方程？
（2）怎样通过曲线的方程求两条曲线的交点？
●板书设计
课 题
求曲线的方程 ［例2］
1.坐标法 课时小结
2.解析几何 ［例3］
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