圆的方程复习提高课教案 1
教学目标
通过对圆的方程这一单元典型问题的研究，帮助学生进一步深化和
掌握有关圆的问题，把基础知识进行综合应用，培养学生的数学思维能
力，分析综合能力，提高学生的解题技能．
教学重点和难点
重 点：圆的方程的三种形式，圆的切线，直线和圆，圆和圆间
的位置关系，和圆有关的数值问题．
难 点：基础知识的灵活应用．数学知识间的相互连系，联想和
迁移能力的养成．
教学过程设计
本节课是一节复习提高课，以新的探索发现，研究为主线，教师向
学生说明目的和问题后，就充分地让学生去思考，设计，试解，教师最
后对学生的解法进行归纳，总结．注意从多个角度去启发培养学生的创
造能力．
同学们，本节课就“圆的方程”“圆的切线”“与圆有关的数值问
题”进行研究，老师列举一些典型的问题，请同学们展开思路去探索，
老师最后进行归纳总结．
问题1．选择题．
(1)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1=0表示圆，则a的取值范围
是
[ ]
[ ]
A．一
个圆，．
B．两
个圆，
C．半
个圆，
D．两个
半圆，
(3)圆 x2＋y2－4x＋4y＋6=0截直线x－y－5=0所得弦长等于
[ ]
(4)圆 x2＋y2－2x=0和圆x2＋y2＋4y=0的位置关系是
[ ]
A．相离，B，外切，C．内切，D．内切．
[分析与解答]
(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件D2＋E2－4F＞0．
即a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，3a2＋4a－4＜0．
(2)方程成立的条件是|x|－1≥0，即|x|≥1∴x≥1或 x≤－1．在
x≥1或x≤－1的条件下，平方．x2－2|x|＋1=1－(y－1)2
整理 x2＋y2－2|x|－2y＋1=0．
当x≥1时，|x|=x．
x2＋y2－2x－2y＋1=0，(x－1)2＋(y－1)2=1．
当|x|≤－1时，|x|=－x．
x2＋y2＋2x－2y＋1=0，(x＋1)2＋(y－1)2=1．
故应选(D)．
(3)x2＋y2－4x＋4y＋6=0．即(x－2)2＋(y＋2)2．
(4)x2＋y2－2x=0，(x－1)2＋y2=1．圆心O1(1，0)，半径r1=1．
x2＋y2＋4y=0，x2＋(y＋2)2=4．圆心O2(0，－2)，半径r1=2．
两圆相交，故应选(C)．
[分析与解答] 依题题作出草图，进行分析思考．
A：x2＋y2－2x=0 (x－1)2＋y2=1．
圆A的圆心(1，0)，半径r=1．
设所求圆C的圆心为(a，b)，半径R由A、C两圆相切，连心线AC的
长等于1＋R=1＋CQ．
显然第一个方案计算量要大于第二个方案，我们采用第二个方案．
问题3．从圆(x－1)2＋(y－1)2=1外一点P(2，3)向这个圆到切线，
求切线的方程，(课本第108页 25题)
[汇集同学们的各种创见]
[解法一] 若切线的斜率K存在，设切线方程为y－3=K(x－2)
即Kx－y＋3－2K=0，已知圆的圆心为(1，1)，半径为1．
若切线的斜率不存在，则x=2，直线x=2过(2，3)点与圆相切，故
所求切线方程为3x－4y＋6=0或 x=2．
[解法二] 当 k存在时，设切线方程为y－3=K(x－2)．
得 (1＋k2)x2－2(2k2－2k＋1)x＋4(k2－1)=0
令判别式△=4(2k2－2k＋1)2－4·(1＋k2)·4(k2－1)=0
当k不存在时，另一条切线为x=2，
故所求切线方程为3x－4y＋6=0，或x=2，
[解法三] 设切点为Q(x0，y0)，过P的切线为PQ，圆C的圆心为
(1，1),半径r=1．
∵△PQC为直角三角形，
CQ2＋PQ2=CP2
(x0－1)2＋(y0－1)2＋(x0－2)2＋(y0－3)2=(2－1)2＋(3－1)2
化简得 x0＋2y0－4=0 (1)
又切点Q在圆上，(x0－1)2＋(y0－1)2=1 (2)
故所求切线方程为3x－4y＋6=0或 x=2．
以PC为直径的圆的方程为
(x－1)(x－2)＋(y－1)(y－3)=0
它与圆(x－1)2＋(y－1)2=1相交，设两圆交点为Q，由于PQ⊥CQ，
因此交点Q即为切点．
故所求切线方程为3x－4y＋6=0或 x=2．
[分析与解答]
过(1，2)点的直线 l：y－2=k(x－1)，
即kx－y－k＋2=0．
过(1，2)点向圆C作两条切线，两条切线的斜率的最大，最小值，
就是k的最
sinθ－tcosθ=2－3t
问题 5 已知点A(3，0)，B为圆x2＋y2=1上的一点，∠AOB的平分
线OP交 AB于 P点，求P点的轨迹方程．
[分析与解答]
设交点P的坐标为(x，y)．
B点的坐标为(x0，y0)．
因 B点在已知曲线上运动，我们考虑“转化法”
∵OP为∠AOB的平分线，利用角平分线定理．
B点在圆x2＋y2=1上，代入
经讨论，当∠AOB=0时，∠AOB的平分线与AB的交点在线段 AB上，
应把这一情况扩充进去．
/10
