正弦函数、余弦函数的图象教案 2
教学目标
1．掌握正弦函数、余弦函数图象的画法．
2．通过学习正弦函数、余弦函数图象的画法培养学生分析问题、解
决问题的能力．
教学重点与难点
五点法画正弦函数的图象．
教学过程设计
一、复习准备
为了学习正弦函数、余弦函数图象的画法，首先复习以前所学的相
关知识．
1．复习学过的函数．
(1)一次函数 y=kx＋b(k≠0)．它的图象为直线，如图 1．
(2)二次函数 y=ax2＋bx＋c(a≠0)．它的图象是抛物线．如图 2．
(3)幂函数 y=xa，a≠0，其图象为下表．
(4)指数函数 y=ax(a＞0且 a≠1)，其图象如图 3．
(5)对数函数 y=logax(a＞0且 a≠1)，其图象如图 4．
2．复习图象变换知识．
(1)平移变换
(2)对称变换
3．复习相关的诱导公式．
sin(α＋2π)=sinα，sin(α＋π)=－sinα
cos(α＋2π)=cosα cos(α＋π)=－cosα
以上基础知识的复习为下面的新课教学做好了准备工作．
二、新课讲授
1．正弦函数图象的画法．
(1)(板书)画出 y=sinx，x∈[0，2π]的图象．
师：画函数图象的步骤是：第一步列表；第二步，根据表中每组
x，y的取值逐一在直角坐标系下找到相应的点；第三步，用平滑曲线将
所描各点连接．
此题函数定义域为[0，2π]，所以表中自变量 x可选择此范围内的
特殊角，依
(在完成此表时，当 x∈[π，2π)时，也可使用诱导公式 sin(π＋
α)=－sinα来计算．)
根据此表在直角坐标系下描出相应的点．再用平滑曲线连接．如图
5．
在这里应该提醒学生注意以下两点：
(i)在建立直角坐标系时，x轴的刻度应以π为单位长取值，而 y轴
单位长 1的选
由此可见，这种描点法是对函数值取近似值后画的函数图象，不是
准确图象．这种画法也叫代数描点法．
(2)(板书)画出 y=sinx的图象．
请学生比较(1)与(2)两个小题：
生：这两个题的定义域不同．第(1)题定义域为[0，2π]，第(2)题的
定义域为R．
师：这一点非常重要，在函数三要素(即定义域，对应法则，值域)
中，定义域是基础，是函数的决定因素之一．定义域不同，函数不同，
函数图象也不同．但有区别也有联系．这种联系对函数图象的画法有什
么影响呢？
学生：[0，2π]是R的真子集．所以第(2)题当 x∈[0，2π]时的函
数图象就是第一题的结果．所以面临的新问题实质上只需考虑 x∈(－
∞，0)∪(2π，＋∞)时的函数图象即可．
师：对 x∈(－∞，0)∪(2π，＋∞)的函数图象的思考可以分为
x∈(2π，＋∞)和 x∈(－∞，0)两部分．因为 sin(x＋2π)=sinx，所以
x∈(2π，＋∞)时，sinx=sin(x－2π)，即 y=sinx，x∈[2π，4π]的图象
是把 y=sinx，x∈[0，2π]的图象右移 2π个单位长，
y=sinx，x∈[4π，6π]的图象是 y=sin x，x∈[2π，4π]右移 2π个单位
长的结果……依此类推下去，就可得到 y=sinx(x≥0)时的函数图象．下
面只需考虑 x＜0时 y=sinx的图象．(请学生思考．)
生：由于 sin(－x)=－sin x，所以 x≤0时，y=sin x的图象是
y=sinx(x≥0)的图象关于原点中心对称的结果，它的理论根据是函数
y=f(x)与 y=－f(－x)之间图象变换的特点．
师：这样我们就得到了 y=sinx，x∈R时的完整的图象．
(板书)
由此可见，画出 y=sinx的图象关键是首先要画出 y=sinx在[0，2π]
内的图象．而
分别是函数图象的最高、最低点．所以这五个点是确定 y=sin x图象
的基本点．
因此，代数描点法也可简称为“五点法”，以后再画 y=sinx图象时，
就可直接使用五点法了．
(板书)
(“五点法”作图往往是在精度要求不太高时的作函数简图的方
法．)
下面再学习一种函数图象的画法——几何描点法．
请学生阅读课本 P167，从第 7行开始，边阅读边讲解．
师：几何描点法是利用单位圆中的三角函数线来作图．先建立一个
直角坐标系，
按这种方法，每取到一个角的终边位置都将正弦线平移至右侧坐标
系的相应位置后，就可得到正弦函数图象上的点．(如图 8)
用平滑曲线将各正弦线的端点连结．便可得正弦函数图象．(如图
9)
师：比较代数描点法与几何描点法的区别在于：代数描点法所取的
各点的纵坐标都是近似值，不能描出对应点的精确位置，因此作出的图
象不够准确；而几何描点法作图准确，但真正画图却较难实现．
2．余弦函数图象的画法．
师：正弦函数图象是我们遇到的第一个三角函数图象．所以对它的
画法的研究需从最基本的描点法开始．而余弦函数图象是继正弦函数图
象之后的第二个函数图象，对它的画法的研究可以借鉴正弦函数图象的
画法．
方法 1：代数描点法．(可由学生完成)
列表后描点，用平滑曲线相连得到 y=cosx，x∈[0，2π]的图象．
再根据 cosx=cos(x－2π)，cos(－x)=cosx可得到完整的 y=cosx的图
象．
当精确度要求不很高时，也可用“五点法”画出 y=cosx的简图．
五个基本点为(0，
方法 2：几何描点法．基本思路同正弦函数图象．
方法 3：平移交换法．
其中方法 3表明了正弦函数与余弦函数图象之间的关系．
3．课堂练习．
画出下列函数的图象．
(1)y=2sinx (2)y=－cosx
(3)y=sinx＋1(4)y=sinx＋cosx，x∈[0，2π]
解答过程如下：
(1)y=2sinx．先用“五点法”画出 y=sinx图象，再纵向伸至 2倍．
(2)y=－cosx是把 y=cosx图象作关于 x轴的对称变换．
(3)y=sinx＋1的图象可将 y=sinx图象向上平移 1个单位．
师：此题 y=sinx＋cosx是否还有其它作法？
4．课堂小结．
这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法．除了它们共同的代
数描点法、几何描点法之外，余弦函数图象还可由平移变换法得出．
这节课讲授的“五点法”是比较常用的方法，应重点掌握．
通过学习正弦函数、余弦函数图象的画法，学生应学会遇到新问题
时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，才能提高
分析问题、解决问题的能力．
作业：课本 P169练习．P177练习第 1～7题．
课堂教学设计说明
这节课的教学设计可概括为：
1．复习相关知识．
(1)以前学过的函数；
(2)图象变换知识；
(3)诱导公式．
2．新课．
(1)正弦函数图象(代数描点法、几何描点法)；(2)余弦函数图象(代数
描点法、几何描点法、平移变换法)．
重点突出“五点法”．
3．小结．
这节课涉及到过去所学的知识较多，可利用这个机会对它们加以巩
固复习．也可采用启发式教学，引导学生思考要解决的正弦函数图象的
画法．先回顾我们以前所学到函数图象是如何得到的，引出描点法，而
正弦函数是建立在角到角的正弦值之间的对应关系上，所以要解决
y=sinx，x∈R时的图象可先从 y=sinx，x∈[0，2π]的图象研究起，即
遵从从特殊到一般的认识规律，由 y=sinx，x∈[0，2π]的图象，再根
据 sin(x＋2π)=sinx得到 y=sinx(x≥0)时的图象，体现了知识间的联系．
而后得到的 y=sinx，x∈R图象，是借用对称变换的知识．使学生看到
一个新问题的解决并不是深不可测，关键在于我们能否较好地恰当地调
动学过的旧知识．这种对知识的调动、迁移能力是需要学生在学习的过
程中不断领悟、不断实践、不断提高的．在调动、迁移的过程中需要学生
分析新旧知识的联系，利用旧知识解决新问题．
而余弦函数图象的画法的解决可以以 y=sinx的图象为起点，利用
y=cosx与 y=sinx
新问题的又一很好的例证．
另外，这节课讲述了代数描点法，几何描点，它们都是通过描点得
到函数图象．但又有所区别，这点应让学生给予注意．在解决数学问题
时，既要有代数思想又要有几何思想，这种意识应在教学过程中加以培
养．
本节课讲授了两个三角函数图象的画法．这两个图象不妨可以按如
下方法加以比较：
同一个内容采用不同的方法加以比较，从不同角度去认识，一定可
以帮助学生加深对知识的认识程度，培养灵活的思维方式．
本节课最后出了四个练习题，都是正弦函数、余弦函数图象与图象
变换知识的综合题．既是为了巩固本节课的知识，使学生能较熟练地画
出 y=sinx，y=cosx图象，强化了“五点法”画图，又为后续课程讲正弦
型曲线打下了基础．从开始画 y=sinx，x∈[0，2π]的图象，到画出
y=sinx，x∈R图象，再到这四个练习题，体现了从特殊到一般，再由一
般到特殊的认识事物的规律．在这种螺旋式上升的过程中，学生不仅学
到了本节课的知识，而且还提高了思维水平和认知能力．
这节课图形多，涉及的知识点多，尤其在复习时，学生对一次函数、
二次函数掌握得较熟练，对指数函数．对数函数和幂函数可能记忆得不
很准确，既然遇到了还是应该帮学生复习一下．为了节省时间，可课前
写成投影片的形式．
对于函数图象的几何描点法，学生能理解，可不必在此耽误时间．
“五点法”应是重点掌握的．
对于余弦函数图象的画法，基础好的学生可以直接用“五点法”画
出 y=cosx，x∈[0，2π]的图象，再利用 cosx=cox(x－2π)和
cosx=cos(－x)的性质得到出 y=cosx，x∈R的图象．对于基础较差的学
生最好是从基本的列表描点开始慢慢来，不要急于求成．
这节课所画的图象很多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说
是一个较高的要求．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开
始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确找到，然后迅速画
出图象．
最后，应向学生介绍今后在物理课上还要学习正弦函数、余弦函数
图象的应用．提醒学生注意各学科相关知识间的联系．
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