函数的奇偶性教案
教学目标
1．从形与数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的概
念．
2．通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽
象的能力，渗透数形结合的数学思想方法．
3．培养学生从特殊到一般的概括能力．
教学重点与难点
函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定．
教学过程设计
师：同学们，“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”
在数学中也有大量的反映．让我们看看下列各函数有什么共性？
(幻灯．翻折片．)
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性(图1)．
生：函数f(x)=x2是定义域为全体实数的抛物线；函数
f(x)=|x|－1是定义域为全体
图象关于y轴对称．
师：那么究竟什么叫关于y轴对称？
师：(幻灯演示)将f(x)=x2在y轴右侧的图象，沿y轴折过来，
我们发现它与左侧的图象重合了，这说明我们刚才的观察结果是
正确的．既然图形是由点组成的，那么，让我们在直角坐标系中，
观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？
(幻灯演示)我们在函数f(x)=x2位于y轴右侧的图象上任取一
点(x，f(x))，通过沿
标有什么关系？
对应的函数值相等．
师：看来具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义
的形式对这类函数做出刻划呢？
生：如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(－
x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(当学生的表述不完整，不准确时，教师可做适当的提示和补
充．)
师：下面我们来分析一下这个定义．定义中“任意一个
x∈D，都有f(－x)=f(x)成立”说明了什么？
生：这说明f(－x)与 f(x)都有意义，即－x，x同时属于定义
域，因此偶函数的定义域是关于原点对称的．
师：定义域关于原点对称是函数为偶函数的什么条件？
生：定义域关于原点对称是函数为偶函数的必要条件．
师：那么定义的实质是什么呢？同学们能不能用自己的语言
来表述一下偶函数的定义．
生：当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值恰
好相等．
师：下面我们看几个习题．
(幻灯)
1．判断下列函数是否是偶函数．
(1)f(x)=x2，x∈[－1，2]；
生：函数f(x)=x2，x∈[－1，2]不是偶函数．因为它的定义
域关于原点不对称．
于原点对称．
(对于本题，学生很容易提取分子中的公因式x2，进而化简成
f(x)=x2，从而得出该函数是偶函数的错误结论．)
(多重复合幻灯)
2．判断下列图象(图2)是否是偶函数的图象？
师：首先，我们取几对相反数检验一下(复片1)．当自变量
取±1这对相反数时，对应的函数值f(1)与 f(－1)恰好相等；当
自变量取±3这对相反数时，对应的函数值f(3)与 f(－3)也恰好
相等；当自变量取±4时，也得到了相同的结果．类似的相反数
还可以举出很多对．由此，是否就能判断该图象是偶函数的图象
呢？
(有的学生认为能判断，有的学生认为不能，当学生发表完意
见后，教师总结．)
师：当自变量取±2这对相反数时，我们观察到f(2)与 f(－
2)并不相等，这就违背了偶函数定义中，自变量取值的任意性，
即不能使函数定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，所以该
图象不是偶函数的图象．
同学们，让我们再来观察一组函数的图象，看看它们之间有
什么共性？
(幻灯．旋转片)
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．
生：各函数之间的共性是它们的图象都关于原点对称．
师：那么究竟什么叫做关于原点对称呢？
师：(幻灯演示)将f(x)=x3在第一象限内的图象，绕着原点旋
转 180°，我们发现它与f(x)=x3在第三象限内的图象重合了．这
说明我们刚才的观察结果是正确的．那么一对关于原点对称的点
的坐标又有什么关系呢？
生：一对关于原点对称的点，它们的横坐标互为相反数，纵
坐标也互为相反数．即：当自变量任取定义域中的两个相反数时，
对应的函数值也互为相反数．
师：我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？
生：如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－
f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
师：定义中“任意一个x∈D，都有f(－x)=f(x)成立”说明
了什么？
生：这说明f(－x)与 f(x)都有意义，即－x，x同时属于定义
域，因此奇函数的定义域是关于原点对称的．
师：由此可见，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必
要条件．那么这个定义的实质是什么呢？
生：当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时，对应的
函数值也互为相反数．
师：我们现在已接触过偶函数、奇函数、既不是奇函数也不是
偶函数，即非奇非偶的函数，那么有没有既是奇函数又是偶函数
的函数呢？
生：有．函数f(x)=0，x∈R就是一个．
师：那么这样的函数有多少个呢？
生：只有函数f(x)=0，x∈R一个．
师：再想一想．函数的三要素是什么呢？
生：函数的三要素是对应法则、定义域和值域．
师：对．可见三要素不同的函数就是不同的函数．
生：既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个．虽然解析式
都为f(x)=0，但取关于原点对称的不同的定义域，就可得到不同
的函数，例如：f(x)=0，x∈[－3，－1]∪[1，3]；
f(x)=0，x∈[－5，－2]∪[－2，－5]等等．
师：所以函数按奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既奇且
偶函数和非奇非偶函数．
例 1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=lg(4＋x)＋lg(4－x)；
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f(－x)是否等于
f(x)或－f(x)．
解(1) f(x)的定义域是｛x|4＋x＞0且 4－x＞0｝=｛x|－4＜
x＜4｝，它具有对称性．
因为 f(－x)=lg(4－x)＋lg(4＋x)=f(x)，
所以f(x)是偶函数，不是奇函数．
(2)解法一：当x＞0时，－x＜0，于是
当x＜0时，－x＞0，于是
综上可知，在 R-∪R+上，g(x)是奇函数．
这两条曲线(图4)关于原点对称，因此函数 g(x)在 R-∪R+上
是奇函数．
例 2 设 F(x)是定义在 R上的奇函数，且当x＞0时，F(x)的
解析式是 ex，求F(x)在 R上的表达式．
解 任取x∈(－∞，0)，设 P(x，y)是函数 F(x)图象上的一
个点．由于 F(x)是奇函数,
－y＝e-x→y＝－e-x．
上式就是点 P(x，y)的坐标满足的关系式，即x＜0时 F(x)的
解析式．
当x=0时，F(－0)=－F(0)，即 F(0)=0．所以奇函数
(今后遇到函数奇偶性这类的问题时，要善于选择恰当的方法，
“定义法”是基本方法．)
练习 (幻灯)判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
1．f(x)=x2＋3，x∈[－10，20]；
2．f(x)=x3＋x，x∈[－2，2)；
3．f(x)=0，x∈[－6，－2]∪[2，6]；
5．f(x)=|x－2|＋|x＋2|；
6．f(x)=|x－2|－|x＋2|；
7．f(x)=5；
生：1．f(x)=x2＋3，x∈[－10，20)的定义域关于原点不对称，因
此是非奇非偶函数．
2．f(x)=x3＋x，x∈[－2，2)的定义域关于原点也不对称，因此是
非奇非偶函数．
3．f(x)=0，x∈[－6，－2]∪[2，6]是既奇且偶函数．这是因为
f(－x)=f(x)且 f(－x)=－f(x)，定义域关于原点也对称，所以是既奇且
偶函数．
点也对称，所以是奇函数．
5．f(x)=|x－2|＋|x＋2|是偶函数．这是因为f(－x)=|－x－2|＋|
－x＋2|=|x＋2|＋|x－2|=f(x)，且 x∈R，所以是偶函数．
6．f(x)=|x－2|－|x＋2|是奇函数．这是因为f(－x)=|－x－2|－|
－x＋2|=|x＋2|－|x－2|=－(|x－2|－|x＋2|)=－f(x)，且 x∈R，所以
是奇函数．
7．f(x)=5是偶函数．这是因为f(－x)=5=f(x)，且 x∈R，所以是
偶函数．
=lg1=0，即f(－x)=－f(x)，且 x∈R，所以是奇函数．
师：函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，注意要与函数的
单调性加以区分．我们在记忆奇函数与偶函数定义的基础上，还应加以
理解，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的必要条件．
作业
课本 P52练习第 2题，P59习题五第8，9，10题．其中第 10题加
一问“为什么？”
补充题：
1．设f(x)在 R上是奇函数，当x＞0时，f(x)=x(1－x)．试问：当
x＜0时，f(x)的表达式是什么？
(解 当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)=－x(1＋x)．又因为f(x)是
奇函数，所以f(x)=
－f(－x)=－[－x(1＋x)]=x(1＋x)．)
2．若奇函数f(x)在[3，7]上是增函数且最小值为 5，那么f(x)在
[－7，－3]上是( )．
A．增函数且最小值为－5
B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
(答B．)
课堂教学设计说明
我们可以根据定义来判断一个函数的奇偶性，也可以根据一个函数
的图象关于原点或 y轴对称的特征来判断它的奇偶性．反过来，我们若
已知一个函数的奇偶性，也可以推断它在整个定义域内的图象和性质．
可见，在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系．
所以，我没有一上来就给出定义，而先给出一组图形，让学生们在观察
中寻找它们的共性，目的是让学生先有个直观上的认识．为了引导学生
由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述，先提示学生图形是由点
组成的，找出其间的关系后，再提示学生“具备此种特征的函数还有很
多，我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？”然后，引导学
生表述定义，目的是为了培养学生从特殊到一般的概括能力．最后，通
过例题和练习进一步加深学生对定义的理解．
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