同角三角函数的基本关系式(二)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．进一步理解和掌握同角三角函数的关系式．
2．灵活运用同角三角函数关系式化简三角函数式，证明三角恒等式以及三
角求值．
(二)能力训练点
1．进一步深入理解和掌握同角三角函数关系式并能灵活运用于解题，不断
提高数学思维能力．
2．掌握化归思想方法，灵活运用同角三角函数关系式进行三角恒等变形．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．重点：运用同角三角函数关系式化简三角函数式及证明三角恒等式．
2．难点：“1”的代换在三角恒等变形中的应用，三角恒等式的证明中公
式，方法的选择及应用．
3．疑点：根据角的范围选择确定该角三角函数的符号．
三、课时安排
本课题安排2课时，本节课是第2课时．
四、教与学过程设计
(一)复习同角三角函数定义
师：上节课我们已经学习了同角三角函数关系式，请一位同学叙述出同角
三角函数的八个关系式．
生：同角三角函数关系式有：
(2)倒数关系式：sinα·cscα=1，cosα·secα=1，tgα·ctgα=1．
(3)平方关系式：sin2α+cos2α=1，1+tg2α=sec2α，1+ctg2α=csc2α．
师：这位同学答得非常正确！上述恒等式都是指当α取使等式两边有意义
的任意值时，关系式两边的值都相等，同时要注意“同角”的前提条件．本节
课．我们进一步学习同角三角函数关系式的应用．
(二)同角三角函数关系式的应用
例1 化简下列各式
=-1+2=1．
总结：在运用同角三角函数关系式解题时要特别注意弄清楚角所在象限及
其对应的三角函数的符号．
总结：当一个函数式里含有弦、切、割中的两类以上的函数，化简证明时常
将“切割”函数化为“弦”函数．
解：(1)分析1，为了直接利用tgα=3，注意所求值式的分子，分母均为一
次齐次式(sinα、cosα的次数相同)，把分子，分母同除以cosα(cosα≠0)，
将分子、分母转化为tgα为元的代数式．
(2)∵ tgα=3，
分析2 可利用平方关系sin2α+cos2α=1将分子、分母都变为二次齐次式
再利用商数关系化归为关于tgα的分式求值．
师总结：化简三角函数式，化简的一般要求是：①尽量使函数种类最少、项
数最少、次数最低；②尽量使分母不含三角函数式；③根号内的三角函数式尽量
开出来，④能求得数值的应计算出来．其次要注意在三角函数变形时，常常将
式子中的“1”作巧妙的变形，如1=sin2α+cos2α=sec2α-tg2α=csc2α-
ctg2α=tgα·ctgα=cscα·sinα=secα·cosα=…，适当变换“1”，可使
问题得到便利的解决．
[证一]分析1：证明等式时可根据需要更换命题，如欲证A=B，可
0)，此种方法称为变更命题法．
∵(1-secα＋tgα)(secα+tgα+1)=(1+tgα)2-sec2α=1+2tgα+tg2α-
sec2α=2tgα，
又∵(secα+tgα-1)(1+secα-tgα)=sec2α-(tgα-1)2=sec2α-(tg2α-
2tgα+1)=sec2α-tg2α+2tgα-1=2tgα．
∴(1-secα+tgα)(secα+tgα+1)=(secα+tgα-1)(1+secα-tgα)．
[证二]分析2：考虑对“1”进行变换，再对分子、分母进行因式分解．
师：证明三角恒等式常从较繁的一边变换到另一边，若两边都比较繁，可
分别从两边推向同一个式子，从而证得命题．
例3 当sinθ+sin2θ=1，求cos2θ+cos6θ值．
分析：本题关键是灵活地多次运用条件等式sinθ+sin2θ=1从而结合同角
三角函数关系式达到降次求解的目标．
∵sinθ+sin2θ=1，∴sinθ=1-sin2θ=cos2θ．
∴cos2θ+cos6θ=sinθ+sin3θ=sinθ+(1-cos2θ)sinθ
=sinθ+(1-sinθ)sinθ=2sinθ-sin2θ=2sinθ-(1-sinθ)
sin2θ+cos2θ=1，
(三)练习
练习1 化简(cscα-sinα)·(secα-cosα)·(tgα+ctgα)
∴2sin2α-3sinα+1=0．
当sinα=1时，原式无意义，∴sinα=1不合题意，舍去．
(四)总结
本节课我们重点研究了同角三角函数关系式在化简三角函数式，证明三角
恒等式及三角求值中的应用．在化简三角函数式时，常使用“化弦法”，以利
于化简．在证明三角恒等式时，一般是从较繁的一边推向较简的一边，也可将
等式两边同时变形推向同一个中间结果，无论是三角式的化简或恒等式的证明
中，要注意“1”的变形运用．
五、作业
P．150-151中 15—20．
六、板书设计
七、参考资料
《高中数学精讲精练》(一)
《中学题典》高一代数分册
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