§4.7.1 二倍角的正弦、余弦、正切教案
●教学目标
(一)知识目标
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式：
(1)sin2α＝2sinαcosα (α为任意角)
(2)cos2α＝cos2α－sin2α (α为任意角)
＝2cos2α－1＝1－2sin2α
(3)tan2α＝ ),24,2(tan1
tan2
2 Z k
kk
(二)能力目标
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.
(三)德育目标
1.引导学生发现数学规律；
2.让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用；
3.培养学生的创新意识.
●教学重点
1.二倍角公式的推导；
2.二倍角公式的简单应用.
●教学难点
理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.
●教学方法
让学生推导倍角公式，从而了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，从而
加深对倍角公式的理解，同时培养逻辑推理能力.(启发诱导式)
●教具准备
投影片二张
第一张（§4.7.1 A）：二倍角公式：
sin2α＝2sinαcosα(α为任意角)
cos2α＝cos2α－sin2α(α为任意角)
24
2
tan1
tan22tan 2
k
k
k Z
利用sin2α＋cos2α＝1，公式C2α还可变形为：
cos2α＝2cos2α－1或cos2α＝1－2sin2α
第二张（§4.7.1 B）：
练习题：
—47—
1.已知cosα＝ｍ，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.
2.化简cos（θ＋15°）＋cos（θ－15°）－ 2cos2
3
●教学过程
Ⅰ.课题导入
师：前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍
角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为
此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.
生：先回忆和角公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
当α＝β时，sin（α＋β）＝sin2α＝2sinαcosα
即：sin2α＝2sinαcosα(S2α)
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
当α＝β时cos（α＋β）＝cos2α＝cos2α－sin2α
即：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α )
tan（α＋β）＝
tantan1
tantan
当α＝β时 tan2α＝
2tan1
tan2
(打出投影片§4.7.1 A，让学生对照).
Ⅱ.讲授新课
师：同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α＋cos2α＝1，公式C2α
还可以变形为：cos2α＝2cos2α－1或：cos2α＝1－2sin2α
同学们是否也考虑到了呢?
另外运用这些公式要注意如下几点：
(1)公式Ｓ 2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式 T2α只有当α≠ 2
＋ｋπ及α≠
4
＋ 2
k （ｋ∈Ｚ）时才成立，否则不成立(因为当α＝ 2
＋ｋπ，ｋ∈Ｚ时，tanα
的值不存在；当α＝ 4
＋ 2
k ，ｋ∈Ｚ时tan2α的值不存在).
当α＝ 2
＋ｋπ（ｋ∈Ｚ）时，虽然 tanα的值不存在，但 tan2α的值是存在的，
这时求tan2α的值可利用诱导公式：
即：tan2α＝tan2（ 2
＋ｋπ）＝tan（π＋2ｋπ）＝tanπ＝0
(2)在一般情况下，sin2α≠2sinα
例如： 16sin22
3
3sin
；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅
当α＝ｋπ（ｋ∈Ｚ)时，sin2α＝2sinα＝0成立］.
同样在一般情况下cos2α≠2cosα tan2 α≠2tanα
(3)倍角公式不仅可运用于将 2α作为α的 2倍的情况，还可以运用于诸如将 4α作
为
—48—
2α的2倍，将α作为 2
的2倍，将 2
作为 4
的2倍，将3α作为 2
3 的2倍等等.
下面，来看一些例子：
［例1］已知sinα＝13
5 ，α∈（ 2
，π），求sin2α，cos2α，tan2α的值.
解：∵sinα＝13
5 ，α∈（ 2
，π）
∴cosα＝－ .13
12)13
5(1sin1 22
∴sin2α＝2sinαcosα＝2× 169
120)13
12(13
5 ，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2× 169
119)13
5( 2 ，
tan2α＝ .119
120
119
169
169
120
2cos
2sin
(打出投影片§4.7.1 B，师生共同完成).
师：1.题中 cosα＝ｍ，由此虽不能确定 sinα的值，但由于已知α所在象限，所以
也可确定其符号，从而求解.
生：解：∵cosα＝ｍ，α在第二象限.
∴sinα＝ 22 1cos1 m
∴sin2α＝2sinαcosα＝2 21 m ·ｍ＝2ｍ 21 m
cos2α＝2cos2α－1＝2ｍ 2－1
tan2α＝ 12
12
2cos
2sin
2
2
m
mm
或由tanα＝ m
m21
cos
sin
tan2α＝ 12
12
tan1
tan2
2
2
2
m
mm
师：2.分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了
二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.
生：解：cos（θ＋15°）＋cos（θ－15°）－ 2
3 cos2θ
＝ 2cos2
3
2
)]15(2cos[1
2
)15(2cos[1
=1＋ 2
1 ［cos（2θ＋30°）＋cos（2θ－30°）］－ 2
3 cos2θ
=1＋ 2
1 ［cos2θcos30°–sin2θsin30°+cos2θcos30°+sin2θsin30°］
—49—
－ 2
3 cos2θ
＝1＋ 2
1 ×2cos2θcos30°－ 2
3 cos2θ
＝1＋ 2
3 cos2θ－ 2
3 cos2θ＝1
评述：二倍角公式的等价变形：
2
2cos1cos,2
2cos1sin 22 ，可以进行“升（降）幂”的变换，即可将
“二次式”与“一次式”互化.
Ⅲ.课堂练习
生：(板演练习)课本 P44 1、3、4.
解： 1.(1)2sin67°30′cos67°30′＝sin135°＝ 2
2
(2)cos2 8
－sin2 8
＝cos 4
＝ 2
3
(3)2cos212
－1＝cos 6
＝ 2
3
(4)1－2sin275°＝cos150°＝－ 2
3
(5)
5.22tan1
5.22tan2
2 ＝tan45°＝1
(6)sin15°cos15°＝ 2
1 sin30°＝ 4
1
(7)1－2sin2750°＝cos1500°＝cos（4×360°＋60°）＝cos60°＝ 2
1
(8) 3300tan150tan1
150tan2
2
3.解：∵sinα＝0.8 α∈（0， 2
）
∴cosα＝0.6
∴sin2α＝2sinαcosα＝0.96
cos2α＝1－2sin2α＝－0.28
4.解：∵tanα＝ 2
1
∴tan2α＝ 3
4
tan1
tan2
2
Ⅳ.课时小结
要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简
单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，
学会怎样去发现数学规律.
—50—
Ⅴ.课后作业
(一)课本 P47习题4.7 1、2.
(二)1.预习课本 P43例2、例3
2.预习提纲
如何灵活应用二倍角公式进行化简、求值、证明?
●板书设计
课题
二倍角公式及推导 例题
●备课资料
1.若 270°＜α＜360°，则 2cos2
1
2
1
2
1
2
1 等于 ( )
A.sin 2
B.cos 2
C.－sin 2
Ｄ.－cos 2
解：∵cos2α＝2cos2α－1
cosα＝2cos2 2
－1
∴ 22 cos2
1
2
1)1cos2(2
1
2
1
2
1
2
12cos2
1
2
1
2
1
2
1
又∵270°＜α＜360° 135°＜ 2
＜180°
∴原式＝ 2cos2cos)12cos2(2
1
2
1cos2
1
2
1 22
答案：Ｄ
2.求 sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40° sin70°＝cos20°
∴原式＝ 2
1 cos80°cos40°cos20°＝ 2
1 ×
20sin
20sin20cos40cos80cos
20sin
2
1
2
180sin80cos
2
1
20sin
2
140sin40cos80cos
2
1
16
1
20sin
2
1
2
1
2
1160sin
2
1
3.求证：8cos4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3
证明：8cos4θ＝8（cos2θ）2＝8( 2
2cos1 )2
＝2（cos22θ＋2cos2θ＋1）
＝2（ 4
4cos1 ）＋4cos2θ＋2
—51—
＝cos4θ＋4cos2θ＋3
●教学后记
—52—
/6
