0 0 类别 : 教案

映射教案 教学过程 一、课题引入 两个集合之间的内在联系是通过两个集合中元素与元素的对应关系揭示的． 课本上举出了三个不同的对应关系可做为引入新课的例子，但要强调这三个对 应关系的构成，都是是由两个集合A、B(为了简单二者都是有限集)和一个从集A 到集B的对应法则f组成．然后再对这三个对应关系逐个进行分析、比较． 二、知识讲解 两个集合A、B，从集A到集B的对应法则如下： f：开平方 f：求余弦 f： 求平方 A B A B A B （ 1 ） （ 2 ） （3） 图1-14 上述三个图显示从集合A到集合B的对应关系． 图1－1(1)，对应法则f是“开平方”，在 f的作用下，集A中一个元素对 应着集B中的2个元素，简称为一对多的对应． 图1－1(2)，对应法则f是“求余弦”，在 f的作用下，集A中的一个元素 对应着集B中的一个元素，简称为一对一的对应． 图1－1(3)，对应法则 f是“求平方”，在 f的作用下，集 A中 2个元素对 0 － 1 1 － 2 2 － 3 3 3 － 3 2 － 2 1 -1 － 1 9 4 1 1 4 9 30° 45° 60° 90° 应着集B中的一个元素，简称为多对一的对应． 上面3个例子中，对于集合 A中的任何一个元素，按照某种对应法则 f，在 集合B中都有确定的(一个或几个)元素和它对应． 观察图1－1(2)、(3)，这两个对应的共同特点是：对于第一个集合A中的任 何一个元素，在第二个集合 B中都有唯一的元素和它对应．这个特殊的对应(一 对一和多对一)叫做“从集合A到集合B的映射”． 一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任 何一个元素，在集合 B中都有唯一的元素和它对应，那么这个对应(包括集合 A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B 如果给定一个从集合 A到集合B的映射f，那么在f的作用下，和A中的元 素a对应的B中的元素 b叫做 a的象，a叫做 b的原象．即给定一个集合 A到集 合B的映射f，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么，把元素 b叫做 元素a的象，元素a叫做元素b的原象．集合A叫做原象集合，集合B或B的真 子集(有的映射集合B中的元素在集合A中没有原象)叫做象集合． 关于映射的定义，必须给学生讲清楚以下几个要点： (1)在映射f：A→B中，必须具备三个要素，即集合A、B，对应法则(对应关 系)f，三位一体缺一不可，也就是说一个映射必须是由两个集合 A、B及对应关 系f所确定的． (2)两个集合A、B中的元素具体是什么事物无关紧要，它们可以是数集、也 可以是点集，也可以是其它集合． (3)判断从集合 A到集合 B的对应是否是 A到 B映射，就是看对于集合 A的 任一元素a，在法则f的作用下在集合 B中有象且有唯一的一个象，二者缺一不 可． 为了学生便于理解映射定义的实质，可以用下述形象的比喻进行说明，把 从A到 B的映射f：A→B，比作“射箭”，A中的元素是箭，B中的元素是雕，f 是人拉弓用A中的箭射中B中的某些雕． (1)可以“一对一”，也可以“多对一”，但不能“一对多”，也不能“多 对多”．即可以“一箭一雕”、“多箭一雕”，但不能“一箭双雕”、“一箭多 雕”、“多箭多雕”； (2)A中任一元素，在 B中均有唯一的一个元素与之对应，但允许 B中有一 些元素不是 A中任何元素的象，即“鞘中的箭必须射完，而且箭箭中雕，但有 些雕可以不是瞄准的目标”． 注：根据教学的实际情况，可以补充一一映射的概念，这样对用逆映射定 义反函数大有好处． 三、例题分析 选讲以下例题的目的是理解和巩固有关映射、原象、象的概念． 1．映射的判断与辨析，理解概念和运用概念． 例1．下列的对应，是否是集合A到集合B的映射？说明理由． (1) A={x|x∈R}，B={y|y∈R＋}，对应法则f：x→y= 2 1 x ． (2) A={x|x∈R}，B={y|y∈R＋}，对应法则f：x→y=|x|． (3) A={x|x∈R＋}，B={y|y∈R}，对应法则f：x→y= x． (4) A={(x，y)|x，y∈R}，B={x|x∈R}，对应法则 f：(x，y)→x，其中 (x，y)∈A，x∈B． 注：(1)、(2)不是映射，(3)、(4)是映射． 例2．下列对应，哪些是A到B的映射？ (1) A={x|x≥0}，B={0，1}，对应法则f：x→y=x0． (2) A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤1}，对应法则f：x→y= x3 1 ． (3) A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤1}，对应法则f：x→y=(x－2)2． (4) A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，对应法则f：x→y= 28 1 x ． 注：(1)、(3)不是映射，(2)、(4)是映射． 2．给定映射，求指定元素的象和原象，理解和运用概念． 例 3．已知 f：A→B 是 A 到 B 的映射，其中 A=B={(x，y)|x，y∈R}，f： (x，y)→(x－y，x＋y)，那么集合 A中的元素(1，3)的象是__________，集合 B中的元素(1，3)的原象是__________． 注：象是(－2，4)，原象是(2，1)． 例 4．已知 A=R，B={(x，y)|x，y∈R}，f：A→B 是 A 到 B 的映射，f： x→(x＋1，x2＋1)，则B中的元素( 2 3 ， 4 5 )的原象是__________． 注：原象是 2 1 ． 四、小结或总结 ——A ——三要素 ——B 映射—— ——f ——象、原象 五、思　考　题 如果集合A、B各有 m、n个元素，从A到B可能建立的映射的个数是 ( ) (A) m＋n (B) mn (C) mn (D) nm —— 一对一 — — —— 多对一 — — —— 一对多 —— 多对多 对应— —