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数列通项公式的求法   na nn cos1  注： ① 有的数列没有通项公式 ，如： 3， π， e， 6；②有的 数列有多个通项公式 ,如： 数列的通项公式 :是一 个数列的第 n项（即 an）与 项数 n之间的函数关系 下面我就谈一谈数列通 项公式的常用求法： 一、观察法（又叫猜想法，不完全归 纳法）：观察数列中各项与其序号间 的关系，分解各项中的变化部分与不 变部分，再探索各项中变化部分与序 号间的关系，从而归纳出构成规律写 出通项公式 例 1：数列 9， 99， 999， 9999，…… 110  nna 解：变形为： 101－ 1， 102―1， 103―1， 104―1，…… ∴通项公式为： 例 2 ， 求 数 列 3， 5， 9， 17， 33，……解 ： 变 形 为 ： 21+1 ， 22+1 ， 23+1 ， 24+1 ， 25+1 ，…… ∴通项公式为： 12  nna 可见联想与转化是由已知认识未知的 两种有效的思维方法。 注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项 来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠 的，如 2， 4， 8，……。可归纳成 或 者 两个不同的数列（ 便 不同） n na 222  nnan 4a 二、迭加法（又叫加减法，逐加法） 当所给数列每依次相邻两项之间 的差组成等差或等比数列时，就可用迭 加法进行消元 例 3 ， 求 数 列 ： 1 ， 3 ， 6 ， 10 ， 15 ， 21 ，……的通项公 式 }{ na解： ∴ 两边相 加得： …… ∴ 212  aa 323  aa 4 3 4  a a 545  aa naa nn   1 naan  4321 )1(2 1  nnan 三、迭积法（逐积法） 当一个数列每依次相邻两项 之商构成一个等比数列时，就可用迭 积法进行消元 例 4、已知数列中 ， ， ，求通项公式 。 }{ na 21 a nnn aa 31  na 解：由已知 ， ， 得： 把 1， 2…， n分别代入上式得： ， ，…， 21 a nnn aa 31  n n n a a 31  1 1 2 3a a 2 2 3 3a a 1 1 3    n n n a a 例 4、已知数列中 ， ， ，求通项公式 。 21 a nnn aa 31  na 解：由已知 ， ， 得： 把 1， 2…， n分别代入上式得： ， ，…， 21 a nnn aa 31  n n n a a 31  1 1 2 3a a 2 2 3 3a a 1 1 3    n n n a a }{ na 把上面 n-1条式子左右两边同时相乘得 ： ∴ 2 )1(33 )1(321 1   nna a nn  2 )1(32   nn na 练习 :①用迭加法推导等差数列的通项公式 ②用迭积法推导等比数列的通项 公式 四、待定系数法： 用待定系数法解题时，常先假定通项公 式或前 n项和公式为某一多项式，一般 地，若数列 为等差数列：则 ， 或是 （ b、ｃ为常数），若数列 为等比数列，则 ，或 。 }{ na cbnan  cnbnsn  2}{ na 1 nn Aqa )1,0(  qAqAAqs nn 例 5．已知数列 的前 n项和为 ，若 为等差数列，求 p与 。 }{ na3 ) 1 ( 2    p n p Pn s n }{ na na 例 5．已知数列 的前 n项和为 ，若 为等差数列，求 p与 。 }{ na3 ) 1 ( 2    p n p Pn s n }{ na na 解：∵ 为等差数列 ∴ }{ na ndanddnnnasn )2(22 )1( 1 2 1  3)1(2  pnPPn ∴ ∴                   5 6 3 30 12 2 1 1 a d P P Pda pd ndnaan 61)1(1  例 6．设数列 的各项是一个等 差数列与一个等比数列对应项的和，若 c1=2， c2=4， c3=7， c4=12，求通项公 式 cn }{ nc 解：设 1)1(  nn bqdnac 1 3 2 2 1 1 1 2 123 72 4 2                      nn nc a b d q bqda bqda bqda ba 一、   已知数列的前 n项和公式，求通 项公式的基本方法是： 注意：要先分 n=1和 两种情况分别 进行运算，然后验证能否统一。      )2( )1( 1 1 nss nsa nn n 2n 例 7．已知下列两数列 的前 n项和 sn的公式，求 的通项公式。 （ 1） （ 2） }{ na }{ na nnsn 32 2 12 nsn 例 7．已知下列两数列 的前 n项和 sn的公式，求 的通项公式。 （ 1） （ 2） }{ na }{ na nnsn 32 2 12 nsn 解： （ 1） ，当 时 由于 也适合于此等式 ∴ 111 sa 2n 54)]1(3)1(2[)32( 221   nnnnnssa nnn 1a 54  nan （ 2） ，当 时 由于 不适合于此等式 ∴ 011 sa 2n 12]1)1[()1( 221   nnnssa nnn 1a     )2(12 )1(0 nn nan 六、   换元法 当给出递推关系求 时，主要掌握通过 引进辅助数列能转化成等差或等比数列的形 式。 na 例 8，已知数列 的递推关系为 ，且 求通项公式 。 }{ na 121  nn aa11 a na解：∵ ∴ 121  nn aa )1(211  nn aa 令 则辅助数列 是公比为 2的等比数 列 ∴ 即 ∴ 1 nn ab }{ nb 1 1  nn qbb nn n qaa 2)1(1 11  12  nna 例 9，已知数列 的递推关系 为 ，且 ， ，求通项公式 。 }{ na42 12   nnn aaa 11 a 32 a na 解：∵ ∴ 42 12   nnn aaa 4)()( 112   nnnn aaaa 令 则数列 是以 4为公 差的等差数列 ∴ ∴ ∴ …… nnn aab  1 }{ nb 2)1( 1211  aabdnbbn 241   naab nnn 21412  aa 22423  aa 23434  aa 2)1(41   naa nn 两边分别相加得： ∴ )1(2 )]1(321[41   n naan  342 2  naan 例 10，已知 ， ， 且 ，求 。 21 a 0na)(2 11 Nnaaaa nnnn   na 解：∵ ∴ 即 02 11   nnnnn aaaaa 且 211 1  nn aa 7 11 1   nn aa 令 ，则数列 是公差为 - 2的等差数列 因此 n n ab 1 }{ nb dnbbn )1(1  ∴ ∴ 2 45)1(211 1 nnaan  nan 45 2 