0 0 类别 : 试卷

北京市海淀区 2005 年高级中等学校招生考试 数学试题 选择题：（本题共78分，每小题3分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的。 1.  3的相反数是（ ） A.  13 B.  3 C. 3 D.  | |3 2. 计算 ( )  3 0的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. 3   D.   3 3. 若   30 ，则 的补角为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 4. 羊年话“羊”，“羊”字象征着美好和吉祥，下列图案都与“羊”字有关，其中 是轴对称图形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 函数 y x  3的自变量x的取值范围是（ ） A. x 3 B. x  3 C. x 3 D. x 3 6. 2003 年 5月 19日，国家邮政局特别发行“万众一心 抗击‘非典’”邮票，收 入全部捐赠给卫生部门，用以支持抗击“非典”斗争，其邮票发行量为 12500000 枚，用 科学记数法表示正确的是（ ） A. 125 105.  枚 B. 125 106.  枚 C. 125 107.  枚 D. 125 108.  枚 7. 如图，在 ABC中，D、E分别是 AB、AC边上的中点，若 DE＝4，则 BC等于（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 8. 用换元法解方程 ( ) ( )x x x x    2 2 12 ，设 y x x  2 ，则原方程可化为（ ） A. y y2 1 0   B. y y2 1 0   C. y y2 1 0   D. y y2 1 0   9. 如图，直线 c 与直线 a、b 相交，且 a//b，则下列结论：(1) 1 2；(2)  1 3；(3) 3 2中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 点 P( ) 2 3， 关于x轴对称的点的坐标为（ ） 1 A. ( ) 2 3， B. ( )2 3， C. ( )2 3，  D. ( ) 2 3， 11. 下列各式中正确的是（ ） A. 2 42  B. ( )3 33 2 5 C. 12 1 2 1   D. x x x8 4 2  12. 若两圆相交，则这两圆的公切线（ ） A. 只有一条 B. 有两条 C. 有三条 D. 有四条 13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在 BC延长线上，若  A 50 ，则DCE 等 于（ ） A. 40 B. 50 C. 70 D. 130 14. 不等式组 2 6 0 5 3 x x       的解集是（ ） A. 2 3 x B.    8 3x C.   8 3x D. x   8或 x  3 15. 在下列二次根式中与 2 是同类二次根式的是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 27 16. 在ABC中，     C B A90 2， ，则cosA等于（ ） A. 32 B. 1 2 C. 3 D. 3 3 17. 方程 x x2 2 0   根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 18. 已知反比例函数 y kx 的图象经过点（1，2），则函数 y kx 可确定为（ ） A. y x 2 B. y x 12 C. y x 1 2 D. y x2 19. 如图，在方格纸中有四个图形<1>、<2>、<3>、<4>，其中面积相等的图形是（ ） A. <1>和<2> B. <2>和<3> C. <2>和<4> D. <1>和<4> 20. 若 y y x y2 4 4 1 0      ，则xy的值等于（ ） A.  6 B.  2 C. 2 D. 6 21. 如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A. 10 2cm B. 10 2cm C. 20 2cm D. 20 2cm 2 22. 二次函数 y ax bx c  2 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. a b c  0 0 0， ， B. a b c  0 0 0， ， C. a b c  0 0 0， ， D. a b c  0 0 0， ， 23. 如图，PA 切⊙O于点 A，PO交⊙O于点 B，若 PA＝6，BP＝4，则⊙O的半径为（ ） A. 54 B. 5 2 C. 2 D. 5 24. 某同学在测量体温时意识到体温计的读数与水银柱的长度之间可能存在着某种函 数关系，就此他与同学们选择了一种类型的体温计，经历了收集数据、分析数据、得出结论 的探索过程，他们收集到的数据如下： 体温计的读数 t（℃） 35 36 37 38 39 40 41 42 水银柱的长度 l（mm） 56.5 62.5 68.5 74.5 80.5 86.5 92.5 98.5 请你根据上述数据分析判断，水银柱的长度 l（mm）与体温计的读数 t（℃）（ 35 42 t ）之间存在的函数关系是（ ） A. l t 110 66 2 B. l t11370 C. l t 6 307 2 D. l t 3955 2 25. 如图，把 ABC纸片沿 DE折叠，当点 A落在四边形 BCDE内部时，则A与  1 2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是 （ ） A.    A 1 2 B. 2 1 2   A C. 3 2 1 2    A D. 3 2 1 2    A ( ) 26. 甲、乙两同学约定游泳比赛规则：甲先游自由泳到泳道中点后改为蛙泳，而乙则 是先游蛙泳到泳道中点后改为自由泳，两人同时从泳道起点出发，最后两人同时游到泳道 终点。又知甲游自由泳比乙游自由泳速度快，并且二人自由泳均比蛙泳速度快，若某人离 开泳道起点的距离 s与所用时间 t的函数关系可用图象表示，则下列选项中正确的是（ ） 3 A. 甲是图<1>，乙是图<2> B. 甲是图<3>，乙是图<2> C. 甲是图<1>，乙是图<4> D. 甲是图<3>，乙是图<4> 填空题：（本题共21分，每空 3分） 27. 如图，点 D在 AB上，点 E在 AC上，CD与 BE相交于点O，且 AD＝AE，AB＝AC，若   B 20 ，则  C 28. 分解因式：a b a b2 2   _________ 29. 若三角形的两边长分别为6、7，则第三边长a的取值范围是_______ 30. 今年 5月海淀区教育网开通了网上教学，某校初三年级（8）班班主任为了了解 学生上网学习时间，对本班 40名学生某天上网学习时间进行了调查，将数据（取整数） 整理后，绘制出如图所示频率分布直方图。已知从左至右各个小组的频率分别是 0.15 、0.25、0.35、0.20、0.05，则根据直方图所提供的信息，这一天上网学习时间在 100~119分钟之间的学生人数是_________人。如果只用这40名学生这一天上网学习时间作 为样本去推断该校初三年级全体学生该天上网学习时间，这样的推断是否合理？_______ （填“合理”或“不合理”） 31. 如图，在矩形 ABCD 中，E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，若 tan AEH 43 ，四边形EFGH的周长为40cm，则矩形ABCD的面积为_______ cm2。 32. 已知二次函数 y kx k x   2 2 1 1( ) 与x轴交点的横坐标为 x x x x1 2 1 2、 ( ) ， 4 则对于下列结论： <1>当 x  2时， y 1； <2>当 x x 2时， y  0； <3> 方程 kx k x2 2 1 1 0   ( ) 有两个不相等的实数根 x x1 2、 ；<4> x x1 21 1   ， ；<5> x x kk2 1 21 4   ，其中所有正确的结论是________（只需填写序号） 解答题：（本题共21分，第 33 题 5分，第 34 题 7分，第 35 题 9分） 33. 某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身 听和书包单价之和是452 元，且随身听的单价比书包单价的 4倍少 8元。 （1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ （2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市 A所有商品打八折销售，超市B全 场购物满 100元返购物券 30元销售（不足 100元不返券，购物券全场通用），但他只带了 400 元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买 吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 34. 已知：以 Rt ABC 的直角边 AB为直径作⊙O，与斜边 AC交于点 D，E为 BC边上 的中点，连结DE。 （1）如图，求证：DE是⊙O的切线； （2）连结OE，AE，当CAB为何值时，四边形 AOED是平行四边形，并在此条件下 求 sinCAE 的值。 （第（2）问答题要求：不要求写出解题过程，只需将结果填写在答题卡相应题号的 横线上。） 35. 已知：如图，点A在 y轴上，⊙A与 x轴交于B、C两点，与y轴交于点D（0，3） 和点 E( )0 1，  （1）求经过B、E、C三点的二次函数的解析式； （2）若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙A于点P（s，t），与x轴交于点 M，连 结PA并延长与⊙A交于点 Q，设 Q点的纵坐标为 y，求 y关于 t的函数关系式，并观察图形 写出自变量 t的取值范围； （3）在（2）的条件下，当 y＝0时，求切线 PM的解析式，并借助函数图象，求出 （1）中抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围。 5 参考答案 选择题：（本题共78分，每小题3分） 1. C 2. B 3. D 4. B 5. A 6. C 7. C 8. A 9. D 10. D 11. C 12. B 13. B 14. C 15. A 16. A 17. D 18. A 19. A 20. A 21. D 22. D 23. B 24. C 25. B 26. C 填空题：（本题共21分，每空 3分） 27. 20 28. ( )( )a b a b  1 29. 1 13 a 30. 14，不合理 31. 192 32. <1><3><4> 解答题：（本题共21分，第 33 题 5分，第 34 题 7分，第 35 题 9分） 33. 解：（1）解法一：设书包的单价为x元，则随身听的单价为 ( )4 8x  元 根据题意，得4 8 452x x   ……1分 解这个方程，得 x 92 4 8 4 92 8 360x      答：该同学看中的随身听单价为 360元，书包单价为92元。 ……2分 解法二：设书包的单价为x元，随身听的单价为y元 根据题意，得 x y y x      452 4 8 ……1分 解这个方程组，得 x y    92 360 答：该同学看中的随身听单价为 360元，书包单价为92元。 ……2分 （2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金： 452 80% 3616  . （元） 因为3616 400.  ，所以可以选择超市A购买。 ……3分 在超市B可先花费现金 360 元购买随身听，再利用得到的 90元返券，加上 2元现金购 买书包，总计共花费现金： 360 2 362  （元） 6 因为362 400 ，所以也可以选择在超市B购买。 ……4分 因为362 3616 . ，所以在超市A购买更省钱。 ……5分 34. （1）证法一：连结OD、DB  AB是⊙O的直径    ADB 90    CDB 90  E为 BC边上的中点   CE EB DE   1 2 ……1分  OB OD   3 4       1 4 2 3 ……2分  在Rt ABC 中，     ABC 2 3 90       EDO 1 4 90  D为⊙O上的点  DE是⊙O的切线 ……3分 证法二：连结OD、OE  OA OD   1 2  E为 BC边上的中点，O为AB边上的中点  OE AC/ /     1 3 2 4，   3 4 ……1分  OD OB OE OE ， 7   EDO EBO   EDO EBO ……2分  ABC为直角三角形        EBO EDO 90 90  D为⊙O上的点  DE是⊙O的切线 ……3分 （2）解：  CAB 45 ……4分 sin CAE 1010 ……7分 35. 解：（1）解法一：连结AC  DE为⊙A的直径，DE BC  BO CO  D E( )0 3 0 1， ， （ ， ）           DE OE AO AC DE | ( )|3 1 4 1 1 12 2 ， ， 在 Rt AOC 中， AC AO OC2 2 2      OC C B 3 3 0 3 0( ) ( )， ， ， 设经过B、E、C三点的抛物线的解析式为 y a x x  ( )( )3 3 ，则    1 0 3 0 3a( )( ) 解得 a 13      y x x x13 3 3 1 3 1 2( )( ) ……2分 解法二： DE为⊙A的直径，DE BC 8          BO CO OC OD OE D E DO OE 2 0 3 0 1 3 1  ( )， ， （ ， ） ，         OC OC C B 2 3 1 3 3 3 0 3 0（ ， ）， （ ， ） 以下同解法一 （2）解法一：过点P作 PF y 轴于 F，过点 Q作QN y 轴于 N     PFA QNA 90 ，F点的纵坐标为 t N点的纵坐标为y                 PAF QAN PA QA PFA QNA FA NA AO A t y ， ，   1 0 1 1 1 ( ) | | |  动切线PM经过第一、二、三象限 观察图形可得1 3 1 1    t y，    t y1 1 即 y t  2  y关于 t的函数关系式为 y t t   2 1 3( ) ……5分 解法二：（i）当经过一、二、三象限的切线PM 运动到使得Q点与C点重合时， y 0 连结PB 9  PC是直径    PBC 90  PB x轴  PB t  PA AC BO OC AO PB AO t         ， ， 1 2 2 2 即 t 2时， y 0 （ii）当经过一、二、三象限的切线 PM运动使得Q点在x轴上方时， y  0 观察图形可得1 2 t 过 P作 PS x 轴于 S，过 Q作QT x 轴于 T 则 PS//AO//QT  点A为线段 PQ的中点  点O为线段ST的中点  AO为梯形 QTSP的中位线               AO QT PS y t y t y t t 2 1 2 2 2 1 2( ) （iii）当经过一、二、三象限的切线PM运动使得Q点在x轴下方时， y  0，观察图 形可得2 3 t 过 P作 PS x 轴于 S，过 Q作QT x 轴于 T，设PQ交x轴于 R 10 则 QT//PS     QRT PRS QT PS QR PR ~ 设 AR m ，则    y t m m 2 2 1( ) 又 AO x 轴， AO PS/ /   ROA RSP~      AO PS RA RP t m m 1 2 2( ) 由(1)、(2)得 y t  2     y t t2 2 3( ) 综上所述：y与 t的函数关系式为 y t t   2 1 3( ) ……5分 （3）解法一：当 y 0时，Q点与C点重合，连结PB  PC为⊙A的直径    PBC 90 即 PB x 轴  s 3 将 y 0代入 y t t   2 1 3( )，得 0 2 t  t 2 11  P( )3 2， 设切线PM与y轴交于点 I，则 AP PI    API 90 在API 与AOC中       API AOC PAI OAC90 ，           API AOC AP AO AI AC AI AI OI ~ 2 1 2 4 5  I点坐标为（0，5） 设切线PM的解析式为 y kx k  5 0( )  P点的坐标为 ( ) 3 2，   2 3 5k 解得 k  3  切线PM的解析式为 y x 3 5 ……7分 设切线PM与抛物线 y x 13 1 2 交于 G、H两点 由 y x y x        1 3 1 3 5 2 可得 x x1 23 3 3 112 3 3 3 11 2   ， 因此，G、H的横坐标分别为 3 3 3 112 3 3 3 11 2  、 根据图象可得抛物线在切线 PM下方的点的横坐标x的取值范围是 3 3 3 112 3 3 3 11 2    x ……9分 解法二：同（3）解法一 可得 P( ) 3 2，  直线PM为⊙A的切线，PC为⊙A的直径  PC PM 在 Rt CPM 与Rt CBP 中 12 cos         PCM PCCM CB PC CB PC CM PCCB  2 3 4 16 2 3 8 3 3 2 ， 设 M点的坐标为（m，0） 则CM m  3 8 33  m 5 33 即 M ( ) 5 33 0， 设切线PM的解析式为 y kx b k  ( )0 ，得 0 5 33 2 3        k b k b 解得 k b      3 5  切线PM的解析式为 y x 3 5 ……7分 以下同解法一。 13