0 0 类别 : 教案

双曲线及其标准方程教案 1 教学内容 1．运用双曲线的定义及两类标准方程解题． 2．双曲线的简单实际应用 教学目标 1．进一步理解双曲线的定义及有关概念 2．进一步掌握双曲线两类标准方程的应用，明确椭圆与双曲线中a、b、c三 个量及它们之间关系的区别 3．了解双曲线的简单实际应用，培养学生的应用意识 设计思想 上节课着重给出双曲线的定义和推导它的标准方程．本课将在上一节的基 础上，通过例题，介绍双曲线定义的应用．两类标准方程选取的依据，在对比 中分清双曲线与椭圆中a、b、c及其关系式的区别．通过例题介绍双曲线的简单 实际应用，培养学生的应用意识． 教学过程 一、课题引入 先复习上节课所讲过的双曲线的定义及两类标准方程．然后提出，本课将 通过例题介绍它们的应用，在应用中进一步深化对它们的理解． 知识讲解 通过例题讲解 1．双曲线定义中“绝对值”不可忽略，否则得到的是双曲线的一支． 2．双曲线中，c＞a＞0，c＞b＞0，c2＝a2＋b2，c最大，a、b大小不定，而 椭圆中a＞b＞0，a＞c＞0，a2＝b2＋c2，a最大，b、c大小不定． 3．双曲线中，判断焦点在哪条轴上，当方程化为标准形式以后，等号右边 为1，左边哪项为正，焦点就在哪条轴上． 二、例题分析 例1．若动圆M恒过定点B（－2，0）且和定圆 (x－2)2＋y2＝4相切，求动 圆圆心M的轨迹方程． 分析：先列出动圆圆心满足的几何条件，恰好符合双曲线定义，注意内切 与外切两种情况． 解：（1）当两圆外切时，如图2-8（1）．设动圆M与定圆C外切于T，则 |MC|＝|MT|＋|TC| ， 即 |MC|－|MB|＝2． （2）当两圆内切时，如图2-8（2），设动圆M与定圆C内切于T，则 |MB|＝|MC|＋|CT| ， 即 |MB|－|MC|＝2． 综合（1）、（2）知，|MB|－|MC|＝±2，符合双曲线的定义．2a＝2，2c＝ 4， 22 acb  ＝3 ， ∴动点M（x，y）的轨迹方程为： 13 2 2  yx ． 例2．求焦点在y轴上，焦距为6，过定点A（1，4）的双曲线的标准方程． 分析：已知焦点和双曲线上一点，可利用定义求出 2a，再根据 22 acb  求出b． 解：焦点F1（0，－3），F2（0，3）． ∵ 2411712 222221  AFAFa ， ∴ 22a ，c＝3， 18922  acb ， ∴所求双曲线方程为 18 2 2  xy ， 也可直接设所求方程为 19 2 2 2 2  a x a y ， 将（1，4）代入 a2＝8． 例3．椭圆 19 22  m yx 与双曲线 12 2  ym x 有相同的焦点，求m的值． 分析：由双曲线方程可以看出焦点在 x轴上．这样在椭圆和双曲线中各自 的a、b值可以定下来了．再分别求c，列出等式可解得m值． 解：双曲线 12 2  ym x 的焦点在 x轴上，所以 1 mc ，椭圆的焦点也在 x轴上，所以 mc  9 ，依题意 有 mm  91 ，解得m＝4． 例4．已知双曲线的焦点在 y轴上，并且双曲线上两点 P1、P2的坐标分别为 （3， 24 ）、（ 4 9 、5），求双曲线的标准方程． 分析：双曲线的标准方程中有 a、b两个参数，给出两个独立条件，就可以 确定它们的值，写出双曲线的标准方程。本例给了双曲线上两点的坐标，因此能 用待定系数法求a、b的值． 解：设双曲线标准方程为 12 2 2 2  b x a y （a＞0，b＞0）①．将（3， 24 ）、（ 4 9 ，5）分别代入①中，得 13)24( 2 2 2 2  ba 14 9 5 2 2 2 2      ba 解这个方程组，得a2＝16，b2＝9 ∴所求双曲线的标准方程为 1916 22  yx ． 例5．设F1、F2为双曲线 14 2 2  yx 的两个焦点，点 P在双曲线上，且满足 ∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积． 分析：由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝±4，两边平方，再由△F1PF2是 Rt△，利用勾股定理可求|PF1|·|PF2|的值，进而求 21PFFS 的值． 解：由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝±4，两边平方， 得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝1 ， 又 ∠F1PF2＝90°，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝20 ， ∴|PF1|·|PF2|＝ 2 1620  ＝2 ， ∴ 21PFFS ＝ 2 1 |PF1||PF2|＝1． 例6．一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚 2s， （1）爆炸点应在什么样的曲线上？ （2）已知A、B两地相距800m，并且此时声速为34m/s，求曲线的方程． 分析：依条件可利用双曲线定义来解．本例可培养学生的应用意识． 解：（1）爆炸点一定位于以A、B为焦点，且靠近 B处的双曲线的一支上． （2）如图2-9建立直角坐标系，设P点坐标（x，y）， 则|PA|－|PB|＝2×340＝680 即 2a＝680，a＝340，a2＝115600 又 |AB|＝2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝ 44400 ∴所求曲线的方程为 144400115600 22  yx （ x ＞ 0） 例 7．过A（2，1）作直线 l交双曲线 12 2 2  yx 于P、Q两点，若A是线段 PQ的中点，求直线 l的方程． 分析：注意到点A（2，1）在直线 l上，欲求 l的方程，关键是求出 l的斜 率 k．思路一是设 l的斜率为 k，则 l的方程为 y＝k（x－2）＋1．此时 l与双 曲 线 12 2 2  yx 的 两 个 交 点 A 、 B 的 坐 标 必 为 k 的 函 数 ． 即 A（f1(k)，g1(k)），B（f2(k)，g2(k)），由中点公式 kkfkf  22 )()( 21 ． 也可以先求出点A（x，y） 2 1   x yk 还可以设A（x＋△x，y＋△y），B（x－△x，y－△y） x ykyx yx       2)1()2(2 2)1()2(2 22 22 解一：设 l的斜率为 k，则 l的方程为y－1＝k（x－2） 由     1)2( 22 22 xky yx 消去 y，得 （2－k2）x2＋2（2k－1）kx－4k2＋4k－3＝0 由韦达定理，得 221 2 )12(2 k kkxx   ， ∴ 22 2 2 2 2 21   k kkxx 解得 k＝4 ∴所求直线 l的方程为y－1＝4（x－2），即4x－y－7＝0 解法二：设A（2＋△x，1＋△y），B（2－△x，1－△y） 则          2)1()2(2 2)1()2(2 22 22 x yk yx yx ， k＝4 所求直线 l的方程为4x－y－7＝0 三、练习与讲评 1．求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）焦点为（0，－6），（0，6）经过点（2，－5） （2）焦点在x轴上，经过点（ 2 ， 3 ），（ 3 15 ， 2） 2．填空 （1）双曲线 1925 22  yx 上的点 P到一个焦点的距离为 12，则到另一个焦点的 距离 是 （2）已知方程 132 22  m y m x 表示双曲线，则m的取值范围是 3．求证椭圆 11625 22  yx 与双曲线x2－8y2＝8有相同的焦点． 4．已知定点 A（3，0），定圆 (x＋3)2＋y2＝9，求过点 A且与定圆相切的动圆 圆心的轨迹方程． 答　案 1．（1） 11620 22  xy （2） 13 2 2  yx 2．（1）2或 22 （2）－2＜m＜3 3．证两者 c值相等． 4． 1 4 27 4 9 22  yx （x＞0） 讲评：练习时，注意（1）运用双曲线定义；（2）根据焦点所在坐标轴， 正确选择双曲线标准方程的类型；（3）利用待定系数法求参数 a、b的值； （4）区分椭圆与双曲线中a、b、c关系的不同点． 四、小结与总结 本节课通过例题与练习，深化了对双曲线的定义与两类标准方程的理解与 掌握，特别是对双曲线与椭圆中易混的a、b、c间的关系进行了对比练习，强化 了对这几个参数几何意义的理解．