二项式定理通项公式的应用教案
教学目标
1．加深对二项式定理通项公式的认识，熟练地运用通项公式求指定项或有
关系数．
2．通过对例题的分析、讨论，解答，进一步培养学生抽象思维和分析问题
的能力，以及运算能力．
3．进一步渗透转化及方程（组）的数学思想方法．
教学重点与难点
认识通项公式中字母的含义，熟练地运用通项公式．
教学过程设计
（一）引入新课
师：请同学们回忆表示二项式定理的公式：
（板书）
师：其中n是任意自然数，右边的多项式称为（a+b）n的二项展开
r+1项，即
（板书）
展开式任意项的代表，所以我们可以利用它研究项数与项的有关问题．
（板书 二项式定理通项公式的应用）
数．
如何解决？
师：我们有了两个不同的答案，哪个对呢？我们来看通项公式Tr+1
项与a，b，n，r相关，其中a，b是二项式的两项，n是指数，r是项数减
一，这是十分重要的．当项数是4时，r+1=4，此时r=3，所以
生：不是，因为a，b所含字母系数不是1，二项式系数一般不是这一项的
系数．
师：那么如何求项的系数呢？
生：利用通项公式，求出T4就能看出系数了．
师：我们有了方法，还要注意规范表述．
（板书）
解：展开式的第4项
师：二项展开式项的系数与二项式系数是两个不同的概念，这两个系数的
数值一般情况下是不相等的，一定要区分所求是哪一种系数．另
由于二项式中的两项可以交换位置，但（b+a）n与（a+b）n的对应项一般
是不相同的，所以更多的题型是求一些指定的、具有某些性质的项．
即这一项具有什么性质？
生：不含x的项是常数项，x的指数是零．
师：求这一项用什么方法？
生：把二项式展开，然后从中找出常数项．
师：这样的办法在理论上是可以的，但在解决每一个具体问题时，是否都
可操作呢？
生：如果n比较小，写出的项数不多，写出所有项还可以，但如果n太大
了，比如n=100，根本不可能写出101项来．
师：那么如何处理更合理更简捷、更准确呢？
生：应该利用通项公式．
师：对，因为通项公式是二项展开式每一项的代表，展开式某一项具有的
性质，从这一项的表达式也能反映出来．如何利用通项公式求常数项？
生：知道第r+1项是常数项，把r代入通项公式的右端，就能求出常数项
了．
师：现在的问题转化成了第几项是常数项了，谁能看出哪一项是常数项？
（学生不语，摇头）
师：看不出哪一些是常数项，怎么办？
生：列关于项数的方程，求出项数．
师：如果没第r+1项是常数项．我们要设法找到关于r的等量关系，得到
关于r的方程，已知中有等量关系吗？
生：就是第r+1项是常数项，也就是这一项x的指数应该等于零，这应该
是所要的等量关系．
师：那么x的指数从哪里去找呢？
生：当然还是利用通项公式．
师：通过研究我们找到了解决问题的思路．先设第r+1项为不含x
解出r后，再代回通项公式中，便可得到常数项，下面请同学们注意表述．
（板书）
令24-3r=0，解得r=8．所以展开式的第9项是不含x的项．因此T9
师：当得知第9项是常数项之后，求第9项的问题就与例1类似了．归纳
起来判断第几项是常数项，运用了方程的思想；找到这一项的项数后，就实现
了转化，体现了转化的数学思想．
例3 求（1+x+x2）（1-x）10的展开式中，x4的系数．
师：问题提出后，我们看从什么地方入手？
生：这个题与例2类似，也是不知道含x4的项是第几项，肯定得想办法求
出项数．
师：例2我们是从通项公式得出r的，这个已知式子的展开式的通项公式
会求吗？
生：（摇头）
师：看来我们遇到的式子不是简单的二项式了，其实难以处理的是因式
1+x+x2．我们能研究的是二项式（1-x）10，应该考虑如何转化为我们能处理的
式子．
生：把（1-x）10看作单项式，将所给式子展开，得（1+x+x2）（1-
x）10=（1-x）10+x（1-x）10+x2（1-x）10．在这个多项式中，每一项都含有x4
的项，分别求出相加就行了．
师：具体地说说如何求每项中含x4的系数．
生：（1-x）10的展开式中的x4的系数的求法跟例2一样，x（1-x）10的展
开式中x4的系数等于（1-x）10的展开式中x3的系数，同理x2（1-x）10的展开式
中x4的系数等于（1-x）10的展开式中x2的系数．
师：很好！将原式局部展开之后，利用加法原理，便可得到展开式中x4的
系数．
（板书）
解：由于（1+x+x2）（1-x）10=（1-x）10+x（1-x）10+x2（1-x）10，则
（1+x+x2）（1-x）10的展开式中x4的系数为（1-x）10的展开式中x4，x3，x2的
系数之和．
而（1-x）10的展开式中含x4，x3，x2的项分别是第 5项、第4项和第3项，
则（1-x）10的展开式中x4，x3，x2的系数分别是：
所以（1+x+x2）（1-x）10的展开式中x4的系数为210-120+45=135．
师：通过转化，把不能直接使用二项式定理有关知识的问题转化为可以用
二项式定理解决的问题，转化方式唯一吗？
生：不唯一，还可以拿出一个1-x与 1+x+x2相乘，得1-x3，只要讨论（1-
x3）（1-x）9的展开式中x4的系数就可以了．
师：那么（1-x3）（1-x）9的展开式中x4的系数怎么求呢？
生：和刚才一样，（1-x3）（1-x）9=（1-x）9-x3（1-x）9，只要求出（1-
x）9展开式中x4的系数减去（1-x）9的展开式中x的系数就行了．
师：在这里要特别小心 x3（1-x）9前面是“—”号，它也影响了整个展开
式中x4的系数，为刚才求系数的方法，同学们再来计算一下这种变形下的展开
式的x4的系数．
师：刚才我们对所给的式子施加了两种不同的变形，结果当然是一样的．
这两种方法哪一种更具一般性呢？
生：第一种是一般方法，而第二种方法是特殊方法．比如已知式子是（1-
x+2x2）（1-x）10，只能用第一种方法去解决了．
师：我们看到，变形的方法不唯一，但思想都是转化，知识的灵活运用离
不开转化思想作指导．我们再来看例4．
这个展开式中是否存在常数项？如果有，求出常数项，如果没有，求出展
开式的中间项．
师：大家分析一下题目，这是个开放性问题．不知道常数项是否存在，如
何处理？
生：可以设第r+1项为常数项，令x的指数得零，求出r就行了．
师：那常数项就一定存在吗？
生：不一定．如果求出的r是大于等于0，且小等于n的整数，常数项就存
在．否则常数项就不存在．
师：其他同学有什么见解？
生：所给的二项式跟前面几个例题中出现的二项式不一样，因为二项式的
指数n没有给出来，没有n不容易判断哪一项是常数项．
师：很想知道n是多少，怎么得到？
生：没有直接写出n等于多少的已知条件，只能运用方程的思想，找关于n
的方程，由已知二项展开式前三项系数成等差数列，转化成代数形式就是关于
n的方程，由这个方程应该能求出n．
师：有了n之后，判断有无常数项．常数项是多少，中间项是多少的问题
就转化为例1，例2的类型了．
（板书）
解：二项展开式中：
设展开式中第r+1项为常数项，则
师：当二项式给定后，通项公式中含有Tr+1，n，r三个量，一般是已知
n，r求Tr+1（或其系数）．当n未知时，运用方程思想，找出关于n的方程，从
而求出n，将问题转化．
（二）课堂练习
负整数，则 r=14．所以整数项是第15项）
2．已知（a+b）20的展开式中，第4r项的系数与第r+2项的系数相等．求
第r-1项的系数．
师：通过本节课的例题与习题，可以看到，二项展开式通项公式反映了项、
项数、系数、指数等数量关系，因而通项公式是解决二项展开式有关项的问题的
关键．在解决这类问题时，必须注意n，r的取值范围及大小关系．要注意体会
方程的思想和转化思想的运用．
（三）课后作业
1．在（ax+1）7的展开式中，已知x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差
中项，且实数a＞1．求实数a的值．
2．已知（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50．求a3的值．
3．（1+2x）6的展开式中，第二项大于与它相邻的两项，求实数x的取值
范围．
课堂教学设计说明
这是一堂典型的习题课，通过对例题的研究、讨论、巩固二项式定理通项公
式，加深对项的系数、项的二项式系数等有关概念的理解和认识，形成求二项展
开式某些指定的项的基本技能，同时要培养学生的运算能力，逻辑思维能力，
强化方程的思想和转化的思想．
在例题的配备上，我设计了一定的梯度．第一层次是给出二项式，求指定
的一项，即项数已知，只需直接代入通项公式即可（如例1）；第二个层次
（例2）则需自己创造代入a的条件，先判断哪一项为所求，即先求项数，利用
通项公式中指数的关系求出r，此后转化为第一层次的问题；第三层次更突出
了数学思想的渗透，例3需要变形才能求某一项的系数，恒等变形是实现转化
的手段．在求每个局部展开式的某项系数时，又有分类讨论思想的指导，而例
4的设计是想增加题目的综合性．求n的过程中，调动了等差数列、组合数公式
等知识，求出n后，又化归为第二个层次的问题了．
利用二项式定理通项公式，可以求展开式的某些特定的项，如有理项，系
数最大（小）的项，二项式系数最大的项，含某个字母的某次幂项，常数项，
都是转化为求展开式的第 k项的问题．而k往往不是直接给出的，大多数情况
是让解答者自己去寻求，这就要运用方程思想去处理．
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