棱锥的体积教案 1
教学目的
使学生掌握用“割补法”求多面体体积的方法，同时培养学生猜想、论证、转化的
能力．
教学过程
一、引入新课
师：上节课我们学了柱体体积公式：V 柱体=S·h．请同学们回忆一下这个体积公
式是如何推导出来的？(注意复习祖暅原理．)
生：利用祖暅原理，得V 柱体=S·h(S为底面积，h为高)．
师：从这个公式看出，只要知道柱体的底面积和高，就可以求出它的体积．现在
大家想一想，如果知道了锥体的底面积和高，能否求出锥体的体积？能否把求锥体体
积的问题，转化为求柱体体积的问题？
现在我们来看一下最简单的柱体——三棱柱和最简单的锥体——三棱锥之间有什
么联系？
[事物的普遍性寓于特殊性之中，从最简单的情形入手容易找到突破口，从简单到
复杂也符合学生的认知规律．]
师：如图 1所示的三棱柱可以分割成几个三棱锥？试画出这几个三棱锥．
(让学生用萝卜或软木塞等切成三棱柱，再切出三棱锥，教师用模型帮助学生理解，
并把结果画成图 1和图 2．)
师：由此你们能猜测出三棱锥的体积公式吗？
[猜想是发现的先导，也可激发学生的学习兴趣．]
(教师可用细沙或水做实验，以证实上述猜想．)
二、推导公式
师：猜测、实验不能代替证明，那么如何证明这个猜想呢？
[由感性认识到理性认识，这是质的飞跃，以培养学生严谨的科学态度．]
生：只要证明这三个三棱锥的体积相等．
师：对，如果上述猜想成立，说明三棱锥的体积也只跟其底面积和高有关．请大
家观察：图 2中的三棱锥(1)和三棱锥(2)有没有相等的底面积和高？
[培养学生观察问题的能力，也是数学教学的重要任务之一．]
[当学生发现三棱锥(1)和三棱锥(2)有相等的底面积和高之后，同时会发现三棱锥
(2)和三棱锥(3)也有相等的底面积和高．]
师：现在问题转化为证明具有相等的底面积和高的两个三棱锥，它们的体积相等．
如何证明呢？
[又是一次转化．]
(启发学生类比柱体体积公式的推导方法，并利用祖暅原理和平行于棱锥底面的截
面的性质来加以证明．)
[类比是重要的数学方法之一．]
师：对一般的棱锥，是否也具有这性质呢？(有！)如何证明呢？(方法同上．)
[从特殊推向一般．]
于是得出定理：等底面积等高的两个锥体的体积相等．
师：有了这个定理，我们如何来推导三棱锥的体积公式？
(经过学生思考、议论，教师归纳出如下证明步骤．)
师：第一步：先把三棱锥(1)补成一个三棱柱；
第二步：再把这个三棱柱分割成三个三棱锥；
第三步：由于这三个三棱锥有相等的底面积和相等的高，所以它们的体积相等，
且都等于三棱柱体积的三分之一．于是得
[利用割补的方法求多面体的体积，是立体几何中一种常用的计算体积的方法．]
师：能否把求三棱锥体积的结论推广到任何的棱锥呢？
[层层铺垫，逐步深入，使公式具有普遍意义．]
生：能！利用祖暅原理．
师：于是得定理：如果一个锥体的底面积是 S，高是 h，那么它的体积是：
那么如何推得 n棱锥的体积公式？
三、小结
(启发学生总结推导公式的思维过程：使学生逐渐掌握证明数学题的思想方法．)
师：证明棱锥体积的思想方法是：
(1)在已知(柱体体积)的基础上探究未知(锥体体积)，利用它们的内在联系(通过割
补)进行转化．
(2)从特殊到一般：三棱锥→n棱锥．
[善于小结，养成良好的学习习惯，培养学生学习数学的方法．]
四、棱锥体积公式的应用
[例 1]如图 3，已知三棱锥A－BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与
底面所成的角为θ，求证：
证明 略．
[例 2]如图 4，三棱锥的三个侧面互相垂直，且它们的面积分别为 6m2、4m2和
3m2，求此三棱锥的体积．
师：(分析)这里要求棱锥的体积，须知它的底面积和高，那么，如何确定底面和高
呢？
(学生思考、议论后，教师归纳．)
师：底面不一定在水平位置，根据已知条件，此题的底面取△ABC，则高为
DA(为使学生看得更清楚，可以画成图 5)，于是棱锥体积就容易求了．
[引导学生不但要善于观察标准图形，而且更要善于观察变式图形，这样才能提高
解题能力．]
师：(解题小结)计算三棱锥体积，底面与高如何选择，才便于解题呢？
(让学生思考、议论后，教师再归纳．)
师：解题时要注意：
(1)三棱锥是一个很特殊的四面体，它的每一个面都可作为底面，它的每一个顶点
都可以作为顶点，在解题时要善于利用三棱锥的这一特性，适当选取某一面作为底面，
如果有某条棱垂直于某个面，那么一般是选这个面作为底面；
(2)本题由于要求的是三棱锥的体积，所以像“高”这样的“中间量”不一定非要
求出不可．
五、练习
1．如图 6．将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，这个三棱锥的体积
是长方体体积的几分之几？(课本练习题)
2．如图 7，从一个正方体中，截去四个三棱锥后，得到一个正三棱锥A－BCD，
它的体积是正方体体积的几分之几？(课本习题)
六、作业
1．求证：棱锥被平行于底面的平面截得的小棱锥的体积和原来棱锥的体积的比，
等于它们的高的立方比．(课本习题)
则这个三棱锥的体积为
[ ]
3．E是四面体ABCD的棱AB的中点．求证：截面 ECD平分此四面体的体积．
4．自平行六面体ABCD－A1B1C1D1的顶点D引面上的对角线DB1、DA1、DC1，
试证三棱锥D－A
1B1C1的体积为平行六面体ABCD－A1B1C1D1体积的三分之一．
*5．设 l、m是两条互相垂直的异面直线，BC是它们的公垂线，AB、CD分别是 l
和m上定长的线段，在 l、m上分别取A'B'、C'D'，使A'B'=AB，C'D'=CD，下列命题
中真命题是
[ ]
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