分类计数原理与分步计数原理教案
【教材】10.1分类计数原理与分步计数原理
【目的】1.进一步理解两个基本原理.
2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.
【过程】：
一、复习引入
分类计数原理与分步计数原理.
二、新课
例1 平面上的直线上 l 的三点 1P 、 2P 、 3P 及 l 外一点 A ,过这四点中
的两点连直线,可连得多少条不同的直线?
引伸 1:在 1～20共 20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法
共有多少种?
分析:取 ba 与取 ab 是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一
类,偶偶相加,由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法,第二类,奇奇
相加,也有(10×9)/2=45 种取法.根据分类计数原理共有 45+45=90
种不同取法.
引伸2:在 1～20共 20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法
共有多少种?
分析:分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这 1种取法;
小加数为2时,大加数有 19或 20两种取法;小加数为 3时,大加数为
18,19或 20共 3种取法…小加数为 10时,大加数为 11,12,…,20 共
10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法…小加数取19时,大加
数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有 1+2+…+9+10+9+…
+2+1=100种.
分类标准二:固定和的值.有和为 21,22,…,39 这几类,依次有取法
10,9,9,8,8,
… ,2,2,1,1 种 .由分类计数原理得不同取法共有 10+9+9+…
+2+2+1+1=100种.
例 2 (教材例2,3) 分析两例的共同点和不同点
共同点:都要分步计数
不同点:例2分四步,每步确定一个拨盘上的数码,并且数码可重复使
用;例3分两步,每步安排一个工人值班,第1步排定的工人,
第2步不再排此人.
引伸1:用 1,2,3,4,5可组成多少个三位数?(各位上的数字允许重复)
(5×5×5×5=625)
引伸 2:用数字 1,2,3可写出多少个小于1000的正整数? (各位上的数字
允许重复)
(3+32+33=39)
引伸 3:集合A=｛a,b,c,d,e｝,集合B=｛1,2,3｝,问 A到 B的不同映射f
共有多少个?B到 A的映射g共有多少个? (35,53)
引伸4:将 3封信投入4个不同的邮筒的投法共有多少种? (43)
引伸5:4名学生从3个不同的楼梯下楼的方法数. (34)
例 3 如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,
允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂
色方法种数为( )
A. 180 B. 160 C. 96 D. 60
引伸:若变为图二,图三呢?(240种,5×4×4×4=320种)
例 4 如下图,共有多少个不同的三角形?
分析:所有不同的三角形可分为三类”
第一类:其中有两条边是原五边形的边,
这样的三角形共有5个
第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,
这样的三角形共有5×4=20个
第三类:没有一条边是原五边形的边,
即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个
由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.
例 5 75600有多少个正约数?有多少个奇约数?
分析:75600 的约数就是能整除 75600的整数,所以本题就是分别求能整
① ③
④② ①
②
③ ④
④③②
①
图一 图二 图三
除75600的整数和奇约数的个数.
75600=24×33×52×7
(1)75600的每个约数都可以写成 lkjl 7532 的形式,
其中 40 i , 30 j , 20 k , 10 l
于是,要确定 75600的一个约数,可分四步完成,即 lkji ,,, 分别
在各自的范围内任取一个值,这样 i 有5种取法, j有4种取法,
k 有3种取法, l 有 2种取法,根据分步计数原理得约数的个数
为5×4×3×2=120个.
(2)奇约数中步含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成
lkj 753 的形式,同上奇约数的个数为4×3×2=24个.
引伸1:4名学生分配到3个车间去劳动,共有多少中不同的分配方案? (
34 )
引伸2:求集合｛1,2,3,4,5｝的子集的个数.
在集合｛1,2,3,4,5｝的子集中,每个元素都只有出现和不出现
这2种可能,所以这个集合的子集的个数为 2×2×2×2×2=25=32
个.
三、小结:
分类计数原理和分步计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种
数的问题,区别在于:分类计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方
法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完
这件事;分步计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依
存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步
骤都完成才算做完这件事.
四、作业:教材第87～88页 习题第4、5题.
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