用数学归纳法证明不等式教案
教学目标
1．牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程．
2．通过事例，学生掌握运用数学归纳法证明不等式的思想方法．
3．培养学生的逻辑思维能力，运算能力，和分析问题、解决问题的能力．
教学重点与难点
重点：巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌
握利用数学归纳法证明不等式的基本思路．
难点：应用数学归纳法证明的不同方法的选择及解题技巧．
教学过程设计
(一)复习回顾
师：上次课我们已经学习了数学归纳法以及运用数学归纳法解题的步骤，请同学
们联想“多米诺骨牌”游戏，说出数学归纳法的步骤？
生：数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为
P(n)．(1)证明当 n取第一个值 n0时，结论正确，即验证 P(n0)正确；(2)假设 n=k(k∈N
且 k≥n0)时结论正确，证明当 n=k＋1时，结论也正确，即由 P(k)正确推出 P(k＋1)正
确，根据(1)，(2)，就可以判定命题 P(n)对于从 n0开始的所有自然数 n都正确．
师：演示小黑板或运用投影仪讲评作业．
(讲评作业的目的是从错误中进一步强调恰当地运用归纳假设是数学归纳法的关键)
作业中用数学归纳法证明：
2＋4＋6＋8＋…＋2n=n(n＋1)．
如采用下面的证法，对吗？
证明：(1)当 n=1时，左=2，右=2，则等式成立．
(2)假设 n=k时(k∈N，k≥1)，等式成立，即
2＋4＋6＋…＋2k=k(k＋1)．
当 n=k＋1时，
2＋4＋6＋…＋2k＋(k＋1)
所以 n=k＋1时，等式也成立．
根据(1)(2)可知，对于任意自然数 n，原等式都能成立．
生甲：证明过程正确．
生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，没有应用归纳假设．
师：从形式上看此种证明方法是数学归纳法，但实质在要证明 n=k＋1正确时，未
用到归纳假设，直接采用等差数列求和公式，违背了数学归纳法的本质特点递推性，
所以不能称之为数学归纳法．因此告诫我们在运用数学归纳法证明时，不能机械套用
两个步骤，在证明 n=k＋1命题成立时，一定要利用归纳假设．
(课堂上讲评作业，指出学生作业中不妥之处，有利于巩固旧知识，为新知识的学
习扫清障碍，使学生引以为戒，所谓温故而知新)
(二)讲授新课
师：在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．
(板书)例 1 已知 x＞－1，且 x≠0，n∈N，n≥2．求证：(1＋x)n＞1＋nx．
师：首先验证 n=2时的情况．
(板书)证：(1)当 n=2时，左边=(1＋x)2=1＋2x＋x2，右边=1＋2x，因 x2＞0，则原不
等式成立．
(在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于 x2＞0是由已知条件 x≠0获得，
为下面证明做铺垫)
(2)假设 n=k时(k≥2)，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx．
师：现在要证的目标是(1＋x)k+1＞1＋(k＋1)x，请同学考虑．
生：因为应用数学归纳法，在证明 n=k＋1命题成立时，一定要运用归纳假设，所
以当 n=k＋1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：(1＋x)k+1=(1＋x)k(1＋x)，因
为 x＞－1(已知)，所以 1＋x＞0于是(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)．
师：现将命题转化成如何证明不等式
(1＋kx)(1＋x)≥1＋(k＋1)x．
显然，上式中“=”不成立．
故只需证：(1＋kx)(1＋x)＞1＋(k＋1)x．
提问：证明不等式的基本方法有哪些？
生甲：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．
(提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是
不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用)
生乙：证明不等式(1＋kx)(1＋x)＞1＋(k＋1)x，可采用作差比较法．
(1＋kx)(1＋x)－[1＋(k＋1)x]
=1＋x＋kx＋kx2－1－kx－x
=kx2＞0(因 x≠0，则 x2＞0)．
所以，(1＋kx)(1＋x)＞1＋(k＋1)x．
生丙：也可采用综合法的放缩技巧．
(1＋kx)(1＋x)=1＋kx＋x＋kx2=1＋(k＋1)x＋kx2．
因为 kx2＞0，所以 1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x，即(1＋kx)(1＋x)＞1＋(1＋k)x成
立．
生丁：……
(学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及
时引导总结)
师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧
证明显然更简便，利于书写．
(板书)将例 1的格式完整规范．
当 n=k＋1时，因为 x＞－1，所以 1＋x＞0，于是
左边=(1＋x)k+1=(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)=1＋(k＋1)x＋kx2；
右边=1＋(k＋1)x．
因为 kx2＞0，所以左边＞右边，即(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x．这就是说，原不等式当
n=k＋1时也成立．
根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于 2的自然数 n都成立．
(通过例 1的讲解，明确在第二步证明过程中，虽然可以采取证明不等式的有关方
法，但为了书写更流畅，逻辑更严谨，通常经归纳假设后，要进行合理放缩，以达到
转化的目的)
师：下面再举例子，来说明合理放缩的重要性．
(板书)例 2 证明：2n＋2＞n2，n∈N＋．
师：(1)当 n=1时，左边=21＋2=4；右边=1，左边＞右边．所以原不等式成立．
(2)假设 n=k时(k≥1且 k∈N)时，不等式成立，即 2k＋2＞k2．
现在，请同学们考虑 n=k＋1时，如何论证 2k+1＋2＞(k＋1)2成立．
生：利用归纳假设 2k+1＋2=2·2k＋2=2(2k＋2)－2＞2·k2－2．
师：将不等式 2k2－2＞(k＋1)2，右边展开后得：k2＋2k＋1，由于转化目的十分明
确，所以只需将不等式的左边向 k2＋2k＋1方向进行转化，即：2k2－2=k2＋2k＋1＋k2
－2k－3．
由此不难看出，只需证明 k2－2k－3≥0，不等式 2k2－2＞k2＋2k＋1即成立．
生：因为 k2－2k－3=(k－3)(k＋1)，而 k∈N，故 k＋1＞0，但 k－3≥0成立的条件
是 k≥3，所以当 k∈N时，k－3≥0未必成立．
师：不成立的条件是什么？
生：当 k=1，2时，不等式 k－3≥0不成立．
师：由于使不等式不成立的 k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命
题成立，因此在证明第一步中，应补充验证 n=2时原命题成立，那么，n=3时是否也需
要论证？
生：n=3需要验证，这是因为数学归纳法中的第一步验证是第二步归纳假设的基
础，而第二步中对于 k是大于或等于 3才成立，故在验证时，应验证 n=3时，命题成
立．
师：(补充板书)
当 n=2时，左=22＋2=6，右=22=4，所以左＞右；
当 n=3时，左=23＋2=10，右=32=9，所以左＞右．
因此当 n=1，2，3时，不等式成立．
(以下请学生板书)
(2)假设当 n=k(k≥3且 k∈N)时，不等式成立．即 2k＋2＞k2．因为 2k+1＋2=2·2k＋
2=2(2k＋2)－2＞2k2－2
=k2＋2k＋1＋k2－2k－3
=(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因 k≥3，则 k－3≥0，k＋1＞0)
≥k2+2k＋1=(k＋1)2．
所以 2k+1＋2＞(k＋1)2．故当 n=k＋1时，原不等式也成立．
根据(1)和(2)，原不等式对于任何 n∈N都成立．
师：通过例 2可知，在证明 n=k＋1时命题成立过程中，针对目标 k2＋2k＋1，采
用缩小的手段，但是由于 k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步
骤(把验证 n=1．扩大到验证 n=1，2，3)的方法，使假设中 k的取值范围适当缩小到
k≥3，促使放缩成功，达到目标．
(板书)例 3 求证：当 n≥2时，
(由学生自行完成第一步的验证；第二步中的假设，教师应重点讲解 n=k到 n=k＋1
命题的转化过程)
师：当 n=k＋1时，不等式的左边表达式是怎样的？
生：当 n=k＋1时，
(在这里，学生极易出现错误，错误的思维定势认为从 n=k到 n=k＋1时，只增加
一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，教师在这里要着重分析，化解难点．)
问题的特点，巧妙合理地利用“放缩技巧”，使问题获得简捷的证明：
问题获得解决．
(板书略)
师：设 S(n)表示原式左边，f(n)表示原式右边，则由上面的证法可知，从 n=k到
n=k＋1命题的转化途径是：
要注意：这里 S＇(k)不一定是一项，应根据题目情况确定．
(三)课堂小结
1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的
难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从 n=k到 n=k
＋1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．
2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法
外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．
3．数学归纳法也不是万能的，也有不能解决的问题．
错误解法：
(2)假设 n=k时，不等式成立，即
当 n=k＋1时，
则 n=k＋1时，不等式也成立．
根据(1)(2)，原不等式对 n∈N＋都成立．
(四)课后作业
1．课本 P121：5，P122：6．
2．证明不等式：
(提示：
(1)当 n=1时，不等式成立．
(2)假设 n=k时，不等式成立，即
那么，
这就是说，n=k＋1时，不等式也成立．
根据(1)(2)可知不等式对 n∈N＋都成立．)
3．对于任意大于 1的自然数 n，求证：
(提示：
(2)假设 n=k时，不等式成立，即
这就是说，n=k＋1时，原不等式成立．
根据(1)，(2)可知，对任意大于 1的自然数 n，原不等式都成立．)
用数学归纳法证明①式：
(1)当 n=3时，①式成立．
假设 n=k(k≥3，k∈N)时，①式成立，即 22＞2k＋1．那么
2k+1=2k·2＞2(2k＋1)
=2(k＋1)＋1＋(2k－1)
＞2(k＋1)＋1(因 k≥3，则 2k－1≥5＞0)．
这就是说，当 n=k＋1时，①式也成立．
课堂教学设计说明
1．数归法是以皮亚诺的归纳公理作为依据，把归纳法与演绎法结合起来的一种完
全归纳法．数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想．在教学中应使学生明确这
两个步骤的关系：第一步是递推的基础；第二步是递推的依据，缺一不可，否则就会
导致错误．为了取得良好的教学效果，不妨利用“多米诺骨牌”游戏来加深这两步骤
之间的关系的理解，在演示时，应分三种情况：(1)推倒第一张，接着依次倒下直至最
后一张；(2)推倒第一张，中途某处停止，最后一张不倒；(3)第一张不倒，后面不管能
否推倒，都不会全部倒下．通过具体生动的模型，帮助学生理解数学归纳法的实质．
2．用数学归纳法证明不等式，宜先比较 n=k与 n=k＋1这两个不等式间的差异，
以决定 n=k时不等式做何种变形，一般地只能变出 n=k＋1等式的一边，然后再利用比
较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由 n=k成立推出 n=k＋1不等式成立的证
明．
3．要注意：在证明的第二步中，必须利用“n=k时命题成立”这一归纳假设，
4．要教会学生思维，离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的，因此在日常
教学中，尤其是解题教学中，必须把教学集中在问题解答者解答问题的整个过程上，
培养学生构作问题解答过程的框图，因为用文字、符号或图表简明地表达解答过程或结
果的能力，叙述表达自己解题思路的能力，这也是问题解答所必需的．
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