抛物线的简单几何性质教案
例 1．已知抛物线的顶点在原点且经过点（5，5），x轴为对称轴，求这抛物线的方程，
并画出它的图形．
分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数 p．
解：设抛物线方程为 y2＝2px，因为它过点（5，5），
故 52＝2p×5，p＝ 2
5
所以 抛物线方程为 y2＝5x．列表
x 0 1.25 2 2 3 4 …
y 0 2.5 3.2 3.2 3.9 3.9 …
描点，画图，（图略）
例 2．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯
的圆的直径 60cm，灯深为 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．
分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛
物线上一点坐标，从而求出 p值．
解：（见课本 P99）
例 3．过抛物线 y2＝2px的焦点 F任作一条直线 m，交这抛物线于 P1、P2两点，求证：
以 P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：如图 2-17．设 P1P2的中点为 P0，过 P1、P0、P2分别
向准线 l引垂线 P1Q1，P0Q0，P2Q2，垂足为Q1、Q0、Q2，则
｜P1F｜＝｜P1Q1｜，｜P2F｜＝｜P2Q2｜
∴｜P1P2｜＝｜P1F｜＋｜P2F｜
＝｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＝2｜P0Q0｜
所以 P0Q0是以 P1P2为直径的圆 P0的半径，且 P0Q0⊥l，因而圆
P0和准线 l相切．
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