不等式的证明教案
●教学目标
(一）教学知识点
1.公式法证明不等式.
2.两正数和为定值或积为定值求最值.
(二）能力训练要求
1.掌握用公式法证明不等式.
2.理解并掌握用两正数和为定值或积为定值求最值.
(三）德育渗透目标
利用公式法证明不等式，既培养了学生观察应变的逻辑思维能力，又培养了学生实事
求是的科学态度，进一步加强对学生辩证唯物主义观念的教育.
●教学重点
公式法证明不等式.
1.a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，取等号.
2.a,b∈R+, abba 2 ,当且仅当a=b时取等号.
(1）若ab为定值p,则当a=b时，a+b有最小值2 P .
(2)若 a+b为定值s,则当a=b时，ab有最大值 4
1 s2.
3.利用 abba 2 求最大值最小值是解决最值问题常用的方法，在具体解题过程中
应注意三点：(1）两数均为正数；(2）两正数之和或之积为定值；(3）在两正数的取值范
围内，两正数可以相等.
●教学难点
1.对一些条件不等式，条件的合理利用.
2.求最值时，找和为定值或积为定值，如何凑和或积为定值.
●教学方法
读、议、练、讲单元教学法
●教具准备
投影片两张
第一张：记作§6.3.2 A
公式法证明不等式
一、基本公式
(1)若 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”号.
(2)若 a,b∈R,则 abba 2 ,当且仅当a=b时取“=”号.
①若ab为定值p，则当a=b时，a+b有最小值2 p .
②若a+b为定值s,,则当a=b时，ab有最大值 4
1 s2.
二、基本公式的等价形式及推广
(1）ab≤ 2
22 ba (a,b∈R),当且仅当a=b时取“=”号.
(2)ab≤( 2
ba )2(a,b∈R+),当且仅当a=b时取“=”号.
(3) a
b
b
a ≥2(ab>0),当且仅当a=b时取“=”号.
第二张：记作§6.3.2 B
基本公式及其推广的应用：
［例1］已知a,b∈R+,且 a+b=1,求证：
(1) ab
1 ≥4;(2)a2+b2≥ 2
1 ;
(3) 22
11
ba ≥8;(4)a
3+b3≥ 4
1 ;
(5) 2 ba ;(6) (1+ a
1 )(1+ b
1 )≥9;
(7)(1- 2
1
a )(1- 2
1
b )≥9;
(8)(a+ a
1 )2+(b+ b
1 )2≥ 2
25 ;
(9)(a+ a
1 )(b+ b
1 )≥ 4
25 ;
(10)(a+ 2
1
a )
2+(b+ 2
1
b )
2≥ 2
81 .
●教学过程
Ⅰ.课题导入
今天，我和同学们来共同探索“公式法”证明不等式.这节课并不难，而涉及的题目变
形灵活，只要我们理解并掌握了“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(均值不
等式）”，这一重要定理，在此基础上，灵活利用它的推广及其变形(几个重要的不等式），
就能学会并把握好“公式法”证明不等式这一重要方法.相信同学们能获得成功.
(打出投影片§6.3.2 A，引导学生阅读基本公式及基本公式的变形及推广）
我们要重点掌握下面的基本公式及变形：
（1）若a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”号.
（2）若a,b∈R +, abba 2 ,当且仅当a=b时取“=”号.
①若ab为定值p,则当a=b时，a+b有最小值2 p .
②若a+b为定值s,则当a=b时，ab有最大值 4
1 s2.
(3)a,b∈R,则 ab≤ 2
22 ba ,当且仅当a=b时取“=”号.
(4)a,b∈R +,则 ab≤( 2
ba )2,当且仅当a=b时取“=”号.
(通过阅读投影片§6.3.2 A，疏理出重点知识，引导同学们完成下面例 1的证明过
程）
Ⅱ.讲授新课
(打出投影片§6.3.2 B，引导学生阅读例1）
［例1］已知a,b∈R +,且 a+b=1,
求证：(1） ab
1 ≥4;
(2)a2+b2≥ 2
1 ;
(3) 2
1
a + 2
1
b ≥8;
(4)a3+b3≥ 4
1 ;
(5) 2 ba ;
(6)(1+ a
1 )(1+ b
1 )≥9;
(7)(1- 2
1
a )(1- 2
1
b )≥9;
(8)(a+ 2
1
a )
2+(b+ 2
1
b )
2≥ 2
25 ;
(9)(a+ a
1 )(b+ b
1 )≥ 4
25 ;
(10)(a+ 2
1
a )
2+(b+ 2
1
b )
2≥ 2
81 .
［师］解题时，正确、迅速地把握解题的“切入点”是很重要的，而“切入点”的选择
一方面要依靠对题设的分析，另一方面来自解题的“经验”，本题中由目标不等式发现含
有形如 ab,a+b,a2+b2 等式子，故由“经验”马上联想公式 a2+b2≥2ab(a,b∈R)及
abba 2 (a,b∈R
+)，即可很快得证.在不等式证明中，两个正数 a,b 的和为 1(即
a+b=1),作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.
［生］(1)∵a,b∈R +
414
1
0
2
1
1
2
ababab
ab
ba
abba
.
(2)∵a,b∈R +,且a+b=1
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab
≥1-2·( 2
ba )2=1- 2
1 = 2
1
故 a2+b2≥ 2
1 .
(3)∵a,b∈R +,且 a+b=1
∴ 8)2(
121211
222
baabba
故 22
11
ba ≥8.
(4)∵a,b∈R +,且 a+b=1
∴a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)
=1-3ab≥1-3·( 2
ba )2= 4
1
或a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab
=1-3ab≥1-3·( 2
ba )2= 4
1
故 a3+b3≥ 4
1 .
(3)∵a,b∈R +,且 a+b=1
∴( ba )2=a+b+2 ab =1+2 ab ≤1+(a+b)=2
故 ba ≤ 2 .
(6)∵a,b∈R,且 a+b=1
∴(1+ a
1 )(1+ b
1 )=1+ a
1 + b
1 + ab
1
=1+ ab
ba + ab
1 =1+ ab
2
≥1+
2
2
)2(21
)2(
2
baba =9
故(1+ a
1 )(1+ b
1 )≥9.
(7)∵a,b∈R +,且 a+b=1
∴ 22
22
22
)1)(1()11)(11( ba
ba
ba
9)2(21
)2(
12121
1)1)(1(
)1)()(1)((
)1)(1)(1)(1(
2
2
22
22
babaab
ab
baab
ab
ba
ba
baab
ba
bbaa
故(1- 2
1
a )(1- 2
1
b )≥9.
(8)∵a,b∈R +,且 a+b=1
∴(a+ a
1 )2+(b+ b
1 )2=a2+b2+4+ 2
1
a + 2
1
b
≥(a+b)2-2ab+4+ ab
2
≥ 2
25
)(
4242
)(1 2
2
ba
ba
故(a+ a
1 )2+(b+ b
1 )2≥ 2
25 .
(9)∵a,b∈R +,且 a+b=1
∴(a+ a
1 )(b+ b
1 )=ab+ aba
b
b
a 1
= 2)1( 2 ababa
b
b
a
≥2+(2- 2
1 )2+2= 4
25
故(a+ a
1 )(b+ b
1 )≥ 4
25 .
(10)∵a,b∈R+,且 a+b=1
∴(a+ 2
1
a )
2+(b+ 2
1
b )
2
)11(211 4242 babbaa
=a2+b2+2( a
1 + b
1 )+ 44
11
ba
≥ 2
813282
11222
1
44 baab
故(a+ 2
1
a )
2+(b+ 2
1
b )
2≥ 2
81 .
注：以上各题中均当且仅当a=b= 2
1 时取等号.
［师生共析］运用“公式法”证明不等式的难点在于如何通过对所证命题进行变形，
使其反应出某种形式的“和”与“积”之间的关系(不妨简记为“和”不小于“积”）.那
么，我们在解题时，就可以充分利用这一特征，来选择公式及其等价形式求得证明.
［例2］(必要时此题可打在投影片上）小强家住在农村，十月一日，国庆节放假回家，
正赶上父亲收割庄稼，由于今年大丰收粮食太多，自家的谷仓已全部装满，还剩下很多.这
时爸爸想出了一个主意，决定用一个长方形木板，借助两面墙，在西屋的墙角处围了一个
直三棱柱的谷仓，木板可立，可横.小强心想，这么多的粮食，怎样围才能装最多的粮食呢？
经过测量和运算，小强得到了满意的方案，向父亲提供了建议.请你叙述小强的作法.如果
换成任意的两面墙，如何处理？
(引导学生认真审题，寻求数量关系，找准“切入点”，求得解答）
［师］显然，围成直三棱柱的底面为直角三角形，若两直角边分别为 x和 y,则 x2+y2是
长方形木板的长或宽(定值）的平方.这样，本例的问题主要体现在均值不等式的应用上.
［生］小强用直尺测出木板的长为 a,宽为b，依题可知：a>b>0，且两墙夹角(即二面
角）为90°.
(1)a作底边,设 S 底为底面直角三角形的面积,两直角边一个是 x,一个是 y,则有:
S 底= 2
1 xy,V1=( 2
1 xy)·b,且 x2+y2=a2
∵x2+y2≥2xy
∴xy≤ 22
222 ayx
∴V1≤ 4
2ba ,当且仅当 x=y= 2
2 a时取“=”号.
(2)b作底边，同(1)可得 V2≤ 4
2ab ,当且仅当 x=y= 2
2 b时取“=”号.
又a>b>0 ∴ab>0,a-b>0
∴V1-V2= 4
2ba - 4
2ab = 4
1 ab(a-b)>0
∴V1>V2,即 4
2ba > 4
2ab
故把长方形木板的长边放在底面，且围成的直三棱柱的底面是等腰直角三角形时，容
积最大.
若两面夹角(即二面角)换成α时，解答如下：
设用矩形木板长 a作直三棱柱的侧棱，宽 b作为底面的一条边，底面三角形的另两边
的长分别是 x,y,体积为 V1，则有：
cos2
)sin2
1(
222
1
xyyxb
axyV
∴xy= sin
2 1
a
V ,x2+y2=b2+
sin
cos4 1
a
V ≥2xy
∴b2+
sin
cos4 1
a
V ≥ sin
2 1
a
V
整理得：
V1≤ 4
1 ab2·cot 2
,当 x=y时取“=”号.
设矩形木板的宽 b作侧棱，则
当 x=y时，V2= 4
1 a2b·cot 2
.
∵a>b>0,∴ab>0,a-b>0
∴a2b>ab2 即V2>V1
故把矩形木板的长边放在底面，且围成的直三棱柱的底面是等腰三角形(顶角为α)时，
容积最大，且最大值 Vmax= 4
1 a2b·cot 2
.
［师生共析］均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：(1）建模(即函
数关系式），(2）构造定值(构造“积”或“和”为定值），(3）验证“=”号成立.
Ⅲ.课堂练习
1.已知a>0,b>0,a+b≤4,求证： ba
11 ≥1.
分析：公式：若a>0,b>0,则 abba 2 (当且仅当a=b时取等号）的应用.
证明：∵a>0,b>0,a+b≤4
∴2 ab ≤a+b≤4
∴ ab ≤2,即 2
11 ab
故 ba
11 ≥2 ab
1 ≥2× 2
1 =1
即 ba
11 ≥1.
2.已知a,b,c为不等的正数，且abc=1,
求证： cbacba
111 .
分析：根据已知条件，对 abc=1作适当变形，即 abcacbbca
1,1,1 ,然
后利用公式 2
baab (a>0,b>0)得证：
证明：∵a,b,c是不等的正数，且abc=1
.111
111
2
11
2
11
2
11
111
cbacba
cba
baaccb
abacbccba
故
3.求证： 4
5
2
2
x
x >2.
分析：考虑分子、分母的关系可知：x2+5=(x2+4)+1,所以用基本公式 abba 2
(a>0,b>0)即可得证.
证明：∵x∈R ∴x2≥0
∴x2+5>0,x2+4>0
24
142
4
14
4
1
4
4
4
5
2
2
2
2
22
2
2
2
xx
xx
xx
x
x
x
∵ 4
14 2
2
x
x 时有 x2+3=0，这不可能，∴上述均值不等式中等号不成立.
故 4
5
2
2
x
x >2.
4.设 a>b>c,求证： cacbba
411 .
分析：我们通常在不等式两边均为正值时，才能考虑公式ab≤( 2
ba )2的应用.
证明：∵a>b>c
∴a-b>0,b-c>0,a-c>0
.411
4
2
)()(
))((
11
2
cacbba
cacbba
ca
cbba
ca
cbba
故
Ⅳ.课时小结
本节课，我们学习了用“公式法(均值不等式）”证明不等式，其核心是灵活变形.关
键在于认清公式(均值不等式）的结构特点和取“=”条件，要在证明不等式的具体问题中
寻求运用公式(均值不等式）的适当形式和具体方式，自觉提高解决遇到不同题型的应变能
力.
Ⅴ.课后作业
(一）练习
1.已知：lg(x2+1)+lg(y2+4)=lg8+lgx+lgy,求 x,y的值.
分析：应用对数的运算法则将原方程转化为：
lg x
x
2
12 +lg y
y
4
42 =0
解：∵x2+1≥2x>0(依题知 x>0,y>0)
∴ x
x
2
12 ≥1
即lg y
y
4
42 ≥0
同理可知：lg y
y
4
42 ≥0
对于两非负数，当且仅当它们都为零时，其和才为零，即 lg x
x
2
12 =0,lg y
y
4
42 =0.
所以,x2+1=2x,y2+4=4y.
故x=1,y=2.
2.已知a>0,b>0,求证：a+b+ 22ab
ab .
分析：本题采用公式法.题中含有形如：a+b,ab等式子，多次运用公式［ abba 2 ,
(a>0,b>0)］即可得证.直接使用公式时，要从式子的形式和条件两个方面进行观察.
证明：∵a>0,b>0 ∴a+b>0,ab>0.
∴a+b+ ababab
ab 12
≥2 2212 abab
故 a+b+ 22ab
ab .
(二）1.预习内容：课本 P14“综合法”证明不等式.
2.预习提纲：
(1）什么是综合法？它的基本思想是什么？
(2）它适合证明哪类不等式？
●板书设计
§6.3.2 不等式的证明(二)
一、基本公式 例题
若a>0,b>0,则 .2 ab
ba 课堂练习
二、基本公式的变形 课时小结
若a>0,b>0,则 ab≤( 2
ba )2. 课后作业
/6
