0 0 类别 : 教案

不等式的基本性质 教学目的 掌握不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形。 教学过程 师：我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板 中的两组式子），请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？ 第一组：1+2=3; a+b=b+a; S = ab; 4+x = 7. 第二组：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6, a+2 ≥0; 3≠4. 生：第一组都是等式，第二组都是不等式。 师：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？ 生：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。 师：在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等式号“〈”、 “〉”或“≠”表示不等关系，其中“＞”和“＜”表示大小关系。表示大小关 系的不等式是我们中学教学所要研究的。 前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？ 生：等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除 以（ 除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式。 师：很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式 相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以， 或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练 习。 练习1 (回答)用小于号“<”或大于号“>”填空。 （1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2； （4）- 4_____-6 练习2（口答）分别从练习1中四个不等式出发，进行下面的运算。 （1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？ （2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？ （3）两边都乘以（或都除以）（-5），结果怎样？不等号的方向改变了吗？ 生：我们发现：在练习2中，第（1）、（2）题的结果是不等号的方向不变 在第（3）题中，结果是不等号的方向改变了！ 师：同学们观察得很认真，大家再进一步探讨一下，在什么情况下不等号 的方向就会发生改变呢？ 生甲：在原不等式的两边都乘以（或除以）一个负数的情况下，不等号的 方向要改变。 师：有没有不同的意见？大家都同意他的看法吗？可能还有同学不放心， 让我们再做一些试验。 练习3（口答）分别在下面四个不等式的两边都以乘以（可除以）-2，看看 不等号的方向是否改变： 7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。 师：现在我们可以归纳出不等式的基本性质，一般地说，不等式的基本性 质有三条： 性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 。 （让同学回答。） 性质 2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向 。（让同学回答。） 性质 3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向 。（让同学回答。） 现在请大家翻开课本，一起朗读用黑体字写的三条基本性质。 不等式的这三条基本性质，都可以用数学语言表达出来，先请一位同学说 一说第一条基本性质。 生：如果 a＜b。那么 a+c＜b+c（或 a-c＜b-c；如果 a＞b，那么 a+c＞ b+c（或a-c＞b-c）。 师：对a和b有什么要求吗？对c有什么要求？ 生：没有什么要求。 师：哪位同学来回答第二、三条性质？ 生甲：如果 a<b,且 c>0, 那么 ac<bc(或 )；如果 a>b,且 c>0,那么 ac>bc(或 生乙：如果 a<b,且 c<0, 那么 ac>bc(或 )；如果 a>b,且 c<0,那么 ac<bc(或 师：这两条性质中，对a、b、c有什么要求？ 生：对a、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数。 师：很好，c可以为零吗？ 生：c不能为零。因为c为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了。 师：好！应用刚才学到的基本性质，我们来看下面的例题。 [例1]按照下列条件，写出仍能成立的不等式： （1）5＜9，两边都加上-3； （2）9＞4，两边都减去10； （3）-5＜3，两边都乘以4； （4）14＞-8，两边都除以-2。 解 （1）根据不等式基本性质 1，在不等式 59的两边都加上-3，不等号 的方向不变，所以 5+（-3）＜9+（-3）， 2＜6 （2）根据不等式基本性质1，得 9-10＞4-10 -1＞-6 （3）根据不等式基本性质2，得 -5×4＜3×4 -20＜12 （4）根据不等式基本性质3，得 14÷（-2）＜（-8）÷（-2） -7＜4 [例 2]设 a＞b，用不等号连结下列各题中的两式： （1）a-3与 b-3;（2）2a与 2b;（3）-a与-b. 师：哪一位同学来做这题？解题时，要讲清一步的理由。 生甲：因为a＞b，两边都减去3，由不等式的基本性质1，得 a-3＞b-3． c b c a  c b c a  c b c a  c b c a  师：很好，大家都是这样做的吗？ 生乙：我是这样做的，因为a＞b,两边都加上（-3），由基本性质1，得 a-3＞b-3． 师：好！这两位同学从不同的角度来分析题目，都得到了正确的结论。 生丙：因为a＞b，2＞0，由基本性质2，得2a＞2b。 生丁：因为a＞b，-1＞0，由基本性质3，得-a＞-b。 师：下面我们来看一组较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题， 仔细分析。[例3]判断以下各题的结论是否正确，并说明都理由： (1) 如果a>b,且 c>0，那么ac>bd; (2) 如果a>b,那么ac2>bc2; (3) 如果ac2>bc2,那么a>b; (4) 如果a>b,那么a-b>0; (5) 如果ax>b,且 a≠0，那么x< ; (6) 如果a+b>a; 生甲：（1）不对，当c=d≤0时，ac＞bd不成立。 生乙：（2）也不对，因为c2是一个非负数，当c=0时，ac2＞bc2不成立。 生丙：（3）对，因为 ac2＞bc2成立，则 c2一定大于零，根据不等式基本 性质2，得a＞b出。 （4）对，根据不等式基本性质，由 a＞b，两边减去b得a-b＞0。 （5）不对，当a＜0时，根据不等式基本性质3，得 a bx  。 （6）不对，因为当 b＜0时，根据不等式基本性质 1，得 a+b＜a；而当 b=0时，则有a+b=a。 师：同学们回答得很好。今天我们学习了不等式的基本性质，我们不仅要 理解这三条性质，还要能灵活运用。 课外做以下作业：略。 教案说明 （1） 不等式的基本性质的教学，是分成两个阶段进行的。在初中阶段，对 不等式的基本性质，并不作证明，只引导学生用试验的方法，归纳出三条基本 性质。通过试验，由特殊到一般，由具体到抽象，这是一种认识事物规律的重 要方法。科学上的许多发现，大多离不开试验和观察。大数学家欧拉说过：“数 学这门科学，需要观察，也需要试验。”通过教学培养学生掌握由试验发现规 律的方法，具有重要的意义。当然通过几个特殊的试验，就得出一般的结论， 是不严密的。但对初中学生来说，初次接触不等式，是不能要求那么严密的。 （2） 不等式的基本性质的教学，还应采用对比的方法。学生已学过等式和 等式的性质，为了便于和加深对不等式基本性质的理解，在教学过程中，应将 不等式的性质与等式的性质加以比较：强调等式的两边都加上或减去，都乘以 或除以（除数不能为零）同一个数，所得到的仍是等式，这个数可以是正数、负 数或零；而在不等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同 一个数，当这个数是正数、负数或零时，对不等式的方向，有什么不同的影响。 通过这样的对比，不但可以复习已学过的等式有关知识，便于引入新课，而且 也有利于掌握不等式的基本性质。对比的方法，也是学习数学的一种重要方法。 （3） 在应用不等式的基本性质对不等式进行变形时，学生对不等式两边是 具体数，判定大小关系比较容易。因为这实际上是有理数大小的比较。对于不等 a b 式两边是含字母的代数式时，根据题给的条件，运用不等式基本性质判别大小 关系或不等号方向，就比较困难。因为它比较抽象，特别是在运用不等式的基 本性质 2和性质 3时，学生必须考虑不等式两边同乘（或同除）的这个用字母 表示的数的符号是什么，或者还要对这个用字母表示的数，按正数、负数或零 三种情况加以讨论。在教学过程中，对于这类题目，采用讨论法是比较好的。因 为在讨论时，学生可以充分发表各种见解。对于正确的见解，教师可以让学生 说出解题的依据；对于错误的见解，教师可以进行启发引导，发动学生自己找 出错误的原因，自己修正见解。这样，有利于发现问题，有的放矢地解决问题 有利于深化对不等式基本性质的认识。