直线位置关系复习提高课教案
教学目标 关于直线的最基本最重要的知识已基本学完，在此基
础上，有必要把这些知识综合应用、融汇贯通．“对称问题”和“极值
问题”是高中同学在教学学习中的两大难题，教材没有把这些问题系统
讲解．因此给同学们的学习造成一定困难．本节课通过“对称问题”，
“极值问题”的研究，对直线的有关知识进行深化提高，启发开拓同学
们的思路，帮助同学们掌握解析几何数形结合的一些基本思维方法．
教学重点和难点
重 点：直线基础知识的深化提高和应用，解“对称问题”“极值
问题”的基本思路和方法．
难 点：“对称问题”“极值问题”思路的萌发和解题技巧的应
用．
教学过程设计 本节课教师向学生说明目的后，就“对称问题”
“极值问题”举出范例，让学生思考、设计、试解．教师最后对学生的解
法进行归纳讲评、总结．积极鼓励学生去创造．
同学们，关于直线的最基本，最重要的知识：
(1)直线的倾斜角和斜率；
(2)直线方程的五种形式；
(3)两条直线相交(特别是垂直)和平行的判定；
(4)两条直线的夹角公式，点到直线的距离公式．
已经学完了，这些知识不是孤立的，要把它们融汇贯通，才能在解
决问题中发挥最大的作用．下面我们就解析几何中同学们经常遇到的，
高考中经常出现的“对称问题”和“极值问题”来进行研究，帮助同学
们把知识学活用活，逐步掌握数学的最基本的思维方法和解题技能．
(一)对称问题：
“对称”是数学中一个十分重要的概念．同学们目前接触到的对称
问题有：
1．点对称(中心对称)．
(1)点关于点的对称；
(2)直线关于点的对称．
2．线对称(轴对称)．
(1)点关于直线的对称；
(2)直线关于直线的对称．
请同学们先思考回答下面的问题：
在直角坐标系中，点P的坐标是（a,b）
①P点关于x轴对称的点P′的坐标是(a，－b)．
②P点关于y轴对称的点P′的坐标是(－a，b)．
③P点关于原点对称的点P′的坐标是(－a，－b)．
④P点关于直线x－y=0(y=x)对称的点P′的坐标是(b，a)．
⑤P点关于直线x＋y=0(y=－x)对称的点P′的坐标是(－b，－
a)．
这些简单的对称关系，应在理解的基础上记忆、应用．
如，1991年高考题：点P(2，5)关于直线x＋y=0的对称点的坐标
是
[ ]
A．(5，2)， B．(2，－5)，
C．(－5，－2)， D．(－2，－5)．
同学们想想，应选谁．
下面我们分别来研究有关的对称问题．
1(1)．点关于点的对称
例 1 点(－1，4)关于点(2，3)的对称点是
[ ]
A．(5，2)， B．(1，－4)，
C．(－5，2)， D．(3，10)．
讲评 A点(－1，4)，P点(2，3)．
设A点关于P点的对称点为A′，(x，y)．
∵ P点为AA′的中点，应用中点公式．
故应选(A)．
点与点的对称，关键是灵活应用中点公式．
例 2 一直线被两直线l1：4x＋y＋6=0，l2：3x－5y－6=0截得的
线段的中点恰好是坐标原点，求该直线的方程．
讲评 设所求直线与l1，l2分别交于A，B．
设A为(x0，y0)，因为A、B两点关于原点对称，B为(－x0，－y0)，
又A、B两点分别在l1，l2上，
这说明点A在x0＋6y0=0上，又这一直线过原点，我们要求的直线
方程就是x＋6y=0．
注意：在这题的解题过程中，并没有认直地求出A点，而是发现
A点满足的关系式．这种设点而不求的方法，可以简化运算．其实这里
有一个深刻的道理．①＋②所得到的x0＋6y0=0，实际上反映着 x0，y0应
满足的关系，而 x0，y0为A的坐标，因此这个方程是经过A点的直线方
程．
1(2)．直线关于点的对称
例 与直线2x＋3y－6=0关于点(1，－1)对称的直线是
[ ]
A．3x－2y＋2=0， B．2x＋3y＋7=0，
C．3x－2y－12=0， D．2x＋3y＋8=0．
(1989年高考题)
讲评 设点A′(x′，y′)为所求直线上的一点，这点关于点(1，
－1)的对称点为A(x，y)，而 A(x，y)在直线2x+3y－6=0上，A′与A关
于(1，－1)对称，(1，－1)为 A′与A的中点．
A(x，y)在直线2x＋3y－6=0上，
代入 2(2－x′)＋3(－2－y′)－6=0
即 2x′＋3y′＋8=0
故 所求对称直线的方程为，2x＋3y＋8=0，应选(D)．
这里这种转化的思维方式非常重要，同学们要仔细领悟其中的道理．
特别要紧紧抓住“点在直线上，点的坐标满足这直线的方程”这一基本
原理．
2(1)．点关于直线的对称
例 原点关于直线 8x＋6y=25的对称点的坐标为
[ ]
(1992年高考题)
讲评 两点关于一条直线对称，应当满足两个条件：一是两点的连
线与这条直线垂直，二是两点到对称轴的距离相等．根据这两个条件，
列出两个方程，可以求出对称点的两个坐标．
第一个条件是两个斜率间的关系，比较好处理．第二个条件是两个
距离相等，若求出两点连线与对称轴直线的交点，再用两点间距离公式，
由距离相等，列出关系，这一思路，运算量大，不好操作．
在这里我们想出一个省事的办法，因两点的中点很容易表示出来，
而这个中点在对称轴直线上，应当满足对称轴直线的方程，从而列出了
一个关系．
解 设原点关于直线 8x＋6y=25的对称点为(a，b)，对称轴直线
则 4a＋3b=25 ②
∴ 所求对称点为(4，3)，应选(D)．
2(2)．直线关于直线的对称
例 1 如果直线y=ax＋2，与直线y=3x－b关于直线y=x对称，那
么
[ ]
(1990年高考题)
讲评 ∵(x，y)点关于直线y=x对称的点为(y，x)，直线y=ax＋2
关于直线y=x对称，其方程为x=ay＋2，
例 2 以直线l：x＋2y＋1=0为对称轴，求与直线l1：x－y－2=0
对称的直线l2的方程．
解法一 (从找对称点入手)
在直线l1上任取一点，如取点B(2，0)，用2(1)关于直线对称的点
已知l2上的两点，M及 B′，由两点式，
∴ 直线l2的方程为 7x－y－8=0．
解法二 (从等角下手)
l1、l2关于直线l对称，l1与l，l2与l成等角，从等角下手．解由
l、l1组成的方程组，得交点 M(1，－1)．
线l2到l的角等于l对l1的角，由“到角”公式，
由点斜式，l2的方程为y＋1=7(x－1)，即7x－y－8=0．
解法三 (从等距下手)
l1、l2关于直线l对称，l为l1、l2所成角的平分线，根据角的平分
线上的一点到角的两边距离相等去下手．
解由 l，l1组成的方程组，得交点 M(1，－1)，设l2的斜率为 k2，l2
的方程y＋1=k2(x－1)，在l：x＋2y＋1=0上任取一点，如(－1，0)点，
由 l2的方程 k2x－y－k2－1=0，
∴ l2的方程为y＋1=7(x－1)即7x－y－8=0．
解法四 (从转化入手)
设P(x′，y′)为直线l1上一点，x′－y′－2=0．
P点关于l对称的点为 Q(x，y)，即点P(x′，y′)与点 Q(x，y)关
于l对称，用点关于直线对称的方法．
∴ l2的方程为 7x－y－8=0
解法四与解法一同出一辙，解法四更有一般性，但运算量较大．
(二)极值问题：
极值问题是中学数学中的一个重要课题，同学们普遍感到困难，难
就难在：
(1)确定变量，分析运用已知条件，建立函数解析式．
(2)根据解析式的特征，选用恰当的方法和技巧，求出极值．目前
同学们用的主要方法有：
①应用二次函数；②应用均值不等式；③应用三角函数的有界性；
④应用判别式；⑤数形结合应用几何图形的性质．
例 1 求经过点P(－2，2)，且在第二象限与两坐标轴构成的三角
形面积最小时的直线方程．
解法一 设所求直线l的方程是
根据题意知a＜－2，b＞2．
∵ 当 P(－2，2)在直线l上．
∴ 所求直线方程为x－y＋4=0．
根据题意，a＜－2，b＞2，又P(－2，2)在直线l上，
注意这里，a＜0，(－2a)＞0，b＞0．
当且仅当，b=－a时，等号成立，
将 b=－a代入－2b＋2a=ab，得a=b=4．
∴ 所求直线方程为x－y＋4=0．
解法三 设所求直线l的方程为y－2=k(x＋2)，则直线l与两坐
标
由题意知，直线的斜率 k＞0．
∴ 所求直线方程为 x－y＋4=0．
解法四 设所求直线l的方程为y－2=k(x＋2)，则直线l与两坐
斜率 k＞0．
2k2＋(4－SΔ)k＋2=0．
解得 SΔ≤0，(舍去)，或SΔ≥8，
此时 k2－2k＋1=0，可得 k=1，
∴ 所求直线方程为 x－y＋4=0．
例 2 已知两点A(2，－1)，B(－3，－1)，试在直线x－3y＋5=0
上求一点P，使|PA|＋|PB|最小，并求出最小值．
解 由平面几何极值问题的启发，找 A关于直线x－3y＋5=0的对
称点A′，连 BA′交直线x－3y＋5=0于一点，则这点为所求P点．
用2(1)点关于直线对称的方法求A′．
A′为(0，5)．
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