点到直线的距离教案 1
教学目的
通过求点到直线距离的问题，逐步转化为求原点到直线的距离，进
而归结为创立一种特定形式的方程——直线的法线式方程，使学生了解
运用特殊到一般，一般到特殊的数学思想方法，使问题得到一般性解决
的全过程，以启发思维，培养能力．
教学过程
一、复习提问
今天我们来探讨点到直线距离的求法．假定在直角坐标平面上，已
知一个点
下，能不能用已经学过的知识来解决．
点P和直线l上的任一点都有一个距离(图1)，而点P到直线l上
的哪一点的距离是作为点P到直线l的距离呢？根据定义，是点P到垂
足Q的距离．它是垂直距离，也是最短距离．
明确了要求以后，不妨先从几何上来看，应该怎么做？然后再想想，
它反映到解析几何上，要做的是什么？
提问：请一位同学来说一下，只要说出方法和步骤．
(学生一般都能回答：过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，|PQ|
为点P到直线l的距离．)
再提问：怎么求出垂线方程？
(答：已知点和斜率，用点斜式方程求得．)
怎么求出垂足Q？
(答：解直线l与直线PQ所组成的方程组．)
怎么求|PQ|？
(答：用两点距离公式．)
小结：肯定这个问题是可以这样解决的．把求点到直线距离的问题
归结为求两点的距离．
二、启发引导
因为求点到直线的距离在解析几何里是经常会遇到的，所以我们有
必要进一步创造出一套“工具”来，使得能较方便地解决点到直线距离
的问题．就像求两条直线的夹角，可以利用直线的斜率，斜率为求角创
造了条件，是求角的“工具”．现在我们来看看：在解析几何里，能不
能找出求点到直线距离的基本工具？
求点P到直线l的距离，是不是一定要从点P来求呢？如果点P的
坐标的数据很复杂，有没有可能把它“化简”，换成另一个点，而结果
却一样？就是说，有没有可能把活动的范围扩大一些？就像解方程一样，
可以把复杂的方程化成简单的方程，只要保持同解就好了．
请同学们想一想：两条平行线间的距离都相等吗？怎么求？
(学生一般能回答：平行线之间距离相等，一直线上任意一点到另
一直线的距离就是两条平行线之间的距离．)
由此可以想到：如果过点P作直线l′∥l，那么直线l′上的任意
一点到直线l的距离都等于点P到直线l的距离(图2)．于是，平行线
之间的距离可以归结为点到直线之间的距离．反之，点到直线的距离也
可以归结为平行线之间的距离．
这样，我们已经把求点P到直线l的距离转化为求两条平行线l′
与l间的距离，这也像立体几何中，把两条异面直线的距离转化为一条
与过另一条的平行平面的距离一样．那么，怎么求两条平行线间的距离
呢？还是要取点，归结为点到直线的距离，只是点可以自由选取．
在平面上，任意取一点M，能算出两条平行线l与l′间的距离吗？
如果点M取在：(1)l′上；(2)l上；(3)l与 l′之间；(4)l与 l′的外
侧．怎么算呢？可以结合几何图形来考虑．
设点M到直线l、l′的距离分别为d、d′(图3)，则(1)是 d＋0；(2)
是 d′＋0；(3)是 d＋d′；(4)是 d－d′或d′－d．
既然在平面上任意取一点，都能算出两平行线l与l′间的距离，
那么取哪一点最好呢？当然是原点．它既简单又基本．于是，如果我们
求出从原点到任何一条直线的距离，我们就解决了求点到直线距离的问
题．
怎么求原点到已知直线l的距离呢？目的是希望能从直线的方程中
看出原点到它的距离，就像从直线方程的点斜式中看出直线的斜率一样．
而能从点斜式看出斜率，是在用斜率这个条件来确定直线，使斜率在方
程的系数里反映出来之后．因此，如果能把已知直线l用原点到它的距
离来表示，就是说用原点到直线的距离来确定直线的位置．那么这个距
离就可能反映在直线方程的系数里．
如果原点到直线l的距离 p确定了，那么直线l的位置确定了吗？
它的位置将怎样？
它的位置没有完全确定．它是以原点为圆心，p为半径的圆的切线
(图4)，并且只有这个圆的切线才满足条件．如果再进一步确定切点
N，那么切线，即直线l也就完全确定了．切点 N由角θ=∠xON的大小
确定．根据任意角三角函数的定义，切点 N的坐标是
(pcosθ，psinθ)，利用点斜式，直线l的方程为
这与直线l由两个条件 p与θ确定是一致的．
进而对p≥0和 0≤θ＜2π加以说明，即说明定义：
线都有 p和θ，即任何直线都可表示为法线式方程．
三、化直线方程的一般式为法线式
如果直线l的方程是由一般形式 Ax＋By＋C=0给出，那么为求点到
直线的距离，就有必要将直线方程的一般式化为法线式．
四、练习和作业
围绕直线方程是否为法线式的判断，及将直线方程的一般式化为法
线式设计练习，以巩固直线方程法线式的概念．练习和作业题略．
教案说明
(1)点到直线距离分两课时，第一课时以点到直线的距离问题为线
索，引入直线方程的法线式，让学生掌握直线方程的一般式化为法线式
的方法．第二课时讲清法线
课时基础上，第二课时用法线式求点到直线距离是比较方便的．
虽然现行解析几何课本中，不介绍直线的法线式方程，也能求点到
直线的距离．但是求点到直线的距离只是问题的一个侧面．反过来，用
距离表示直线方程，则是法线式的特征，有很多应用．而现行课本中直
线方程的几种形式，只是由点斜式派生出来的，有失偏颇．为了加强解
析几何概念和方法的教学，打好基础、培养能力、发展智力，重点高中补
充这些内容是必要的．
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