直线方程的一般形式教案 3
教学目的
(1)掌握直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间
互化的方法．
(2)使学生了解在直角坐标系中，平面上的直线与x、y的一次方程
是一一对应的，为进一步学习“曲线和方程”打下基础．
(3)在总结直线方程各种形式的用途中，培养学生多向思维的能力．
教学过程
一、复习引入
上一节课我们学习了直线方程四种形式，请同学们回忆一下它们的
名称与方程．
(由学生口述直线的各种形式下所述的条件与相应方程，教师板
书．)
直线方程的几种形式：
成
(2)斜截式：已知直线l的斜率是k，直线l在y轴上的截距是b，
则直线l的方程可写成
y＝kx＋b．
线l的方程可写成
(4)截距式：已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和
b(a≠0，b≠0)，则直线l的方程可写成
上述四种直线方程，能否写成如下的统一形式？
x+y+=0．
(让学生想想，议议，化化，然后请学生板书．)
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0，A、B不同时为零．
(板书课题：直线方程的一般形式．)
二、讲授新课
通过上面的复习，我们看到：直线方程的四种特殊形式都可以化为
直线方程的一般形式，它们都是二元一次方程．下面我们从两个方面来
进一步研究直线和二元一次方程的关系．
(1)任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程．
因为在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．于是可以对α
分两种情况进行讨论；
(Ⅰ)当α≠90°时，如图1，直线斜率为k=tgα，其方程可写成
y=kx＋b，又可以变形为Ax＋By＋C=0，这里A=k，B=－1，C=b，显然，
A、B不同时为零．
所以，任一直线的方程总是关于x、y的一次方程．
(2)任何关于x、y的一次方程都表示一条直线．
因为关于x，y的一次方程的一般形式是Ax＋By＋C=0，其中A、B不
同时为零，于是又可以对B分两种情况讨论：
(Ⅰ)当 B≠0时，一般式Ax＋By＋C=0可化为斜截式方程
(Ⅱ)当 B=0时，由于A、B不同时为零，则必有A≠0．这时，一般
式Ax+By+C=0
所以，任何一个关于x、y的一次方程都表示一条直线．
上述两个方面说明：在平面直角坐标系中，表示任何一条直线的方
程都是关于x、y的一次方程；反之，每一个关于x、y的一次方程都表示
平面内的一条直线．
表示同一条直线的方程的形式是不唯一的，不过它们都可以通过方
程的同解变形互化，从而可看作是同一个方程，就这个意义来说，直线
和x、y的一次方程是一一对应的．
同时也说明：直线方程的特殊形式与一般形式是可以互化的．
程：(1)点斜式；(2)一般式；(3)截距式．
(先让学生动笔，而后学生回答，最后教师点拨．)
(2)一般式：4x＋3y－12=0；
由此例可见：由(1)到(2)是特殊式化为一般式；由(2)到(3)是一般
式化为特殊式；反之，由(3)到(2)是特殊式化为一般式，由(2)到(1)是
一般式化为特殊式．应当指出：所谓“互化”，主要是指直线的两点式、
点斜式、斜截式、截距式化为一般式；一般式化为斜截式、截距式．把一
般式化为点斜式、两点式，则因取点的任意性，所得方程就各不相同．
例如，在方程4x＋3y－12=0的直线上取点(6，－4)，则其点斜式为
即上例中由(2)化到(1)．若在直线上另取一点(－3，8)，则其点斜
式为
显然，表示点斜式的形式不是唯一的．所以，在通常情况下，我们
不要求把直线的一般式化为点斜式或两点式．
[例 2] 已知直线Ax＋By＋6=0在 x轴、y轴上的截距分别是－2和
3．求A、B的值．
(由于同一条直线可以用不同形式的直线方程表示，而不同形式的
直线方程的用途也有所不同，因此，在解题时要注意考虑采用什么形式
的直线方程比较好，这样就可以考虑一题多解，从而沟通知识之间的联
系．)
解法一 因截距都存在，故可将Ax＋By＋6=0化为截距式：
解法二 由截距知，直线经过P(－2，0)和 Q(0，3)两点，于是有
(解法二使我们重温了前面所学过的知识：点在直线上，则点的坐
标满足直线方程．)
[例 3] 已知3a+3b=5，其中a、b是实常数，求证：直线ax+by－
10=0必过一定点．
分析：观察直线方程
a+b－10=0，
注意方框里的一对未知数(x，y)是直线上的动点坐标，联想到由已
知条件3a＋2b=5即3a＋2b－5=0如何变成
a＋b－10＝0
的形式，使方框里是一对已知实数，这便是通过的定点．
证明(可请学生板演．)
∵3a＋2b=5，∴6a+4b－10=0，
即 a+b－10=0．
于是以方程的解x=6，y=4为坐标的点(6，4)，在直线ax＋by－
10=0上，即直线ax＋by－10=0必过定点(6，4)．
三、阅读巩固
(让学生带着下列问题阅读课文，并进行小结．)
(1)怎样分类论证直线和二元一次方程的关系？
(2)二元一次方程的解和直线上的点有什么关系？
小结：这堂课主要讲了以下三点：
(1)通过对直线方程的各种特殊形式的复习和变形，概括出直线方
程的一般形式
Ax+By+C=0．(A、B不全为零)
(2)论述了直线和二元一次方程的一一对应关系．即
(3)通过直线方程的一般式与特殊式的互化与解题，进一步理解直
线方程解集和直线上点集的一一对应关系，从而概括出互推关系：
四、布置作业
课本练习：略．
补充练习：
线，又 f[g(x)]=g[f(x)]=3x－2．求这两条直线的一般式方程．
教案说明
“直线方程的一般形式”拟作两课时讲授，第一课时侧重于概念，
第二课时侧重于应用．本教案是第一课时内容，它是“直线的方程”这
部分教材的终结，是一堂重要的概念课．我设计这堂课教案时，较多地
考虑了以下几个方面：
1．揭示概念内涵，反映客观事物的本质属性
(1)联系旧知识，引进新概念．本教案用一定的篇幅，回顾直线方
程的特殊式，目的是缩小原有概念的内涵，或扩大它的外延，使其广义
化而导入新概念．直线方程的几种特殊形式，都具有局限性．例如，点
斜式与斜截式，不包括垂直于x轴的直线，
直线)，克服了局限性．两点式不包括垂直于x轴的直线，也不包
括垂直于y轴的直线，截距式不包括经过原点的直线，为扩大外延，将
它们去分母，变形后统一到“一般式”里去，这样便具有更广泛的意义．
因此，新概念“一般式”是在旧知识“特殊式”的基础上扩充而来的．
(2)充分用课本，剖析新概念．教材的编写往往也体现教法．例如，
本节一开头说“上一节我们学习了直线方程的几种特殊形式，它们都是
二元一次方程”．由这句话，本教案便安排了“复习引入”一段，不仅
引入了一般式Ax＋By＋C=0(A、B不同时为零)，也说明了“特殊式”化
“一般式”的方法，课本上接下来便抓住“截距式”研究直线与二元一
次方程的关系．于是，本教案“讲授新课”一段，便分两个方面，每方
面又分两种不同情况进行讨论．教学过程中又适当借助图形，最后得出
“平面上的直线与二元一次方程一一对应”的结论．这些，其实都是课
本上明明白白地写着的．因此我想，钻研教材是写好教案的前提，对照
课本是讲好概念的基础，也是剖析新概念的依据．
(3)设计小例题，强化新概念．新课的例题不宜太大，太复杂，只
要能说明问题便行．本教案安排了三个例题，例1是课本上的，具体地
说明了“互化”的过程和方法．设计例2，除了说明一般式化截距式，
强化这堂课的新概念外，也重温了前面所学过的知识——点在直线上，
则点的坐标满足直线方程．由例2、例3合起来从正反两个方面说明了平
面上的直线与x、y的一次方程是一一对应的．
2．进行概念教学，注意运用数学方法，培养学生能力
(1)抓住课题是字母系数方程的机会，进行“两分法”教学，培养
全面、系统、周密地讨论问题的能力．本教案在论述“直线与二元一次方
程关系”的过程中，第一
既无重复也不遗漏，是科学的，严密的，应该让学生掌握．
(2)抓住“特殊式”与“一般式”在一定条件下可以互化，在解题
中可以培养多向思维的能力．如在例1中，由(2)一般式4x+3y－12=0
化成(3)截距式
只要通过简单的运算(加与除)，而由(3)化到(2)只是进行一下逆运
算(减与乘)．这样充分发挥例题的作用，收到事半功倍的效果．例2的
设计，为了拓宽思路，培养发散性思维能力．例3的设计，首先加了一
些分析，并采用方框形式，使已知等式与直线方程对照，便在流动坐标
相应的位置上，找到了定点坐标，从而证明了直线过定点，也强化了以
二元一次方程的解为坐标的点在直线上这一概念；
以打破原有思维习惯，克服心理定势的消极影响，有利培养学生逆
向思维．
3．根据学生实际，灵活地实施教案
教案的设计与教案的实施往往有一段距离，其原因有二：一是各教
学班水平不同；二是教学时常会发生预想不到的情况．因此，设计教案
要留有余地，实施教案要机动灵活．本教案是为好班设计的，对差班可
紧扣课本，只补充例2，不补充例3，而且只根据学生容易接受的“直
线上点的坐标都是这个方程的解”来解答例2，至于反过来“以二元一
次方程的解为坐标的点在直线上”这个要求可以不强调了．
在复习引入时，为了降低难度，减少抽象性，可把某些简单的特殊
式保留字母系数，而把某些较复杂的特殊式的字母系数，换成数字系数．
如两点式，若两点坐标都是字母，其一般式
很繁，若两点坐标换成数字，一般式就简单得多．这样虽不具备一
般性，但差生也能听懂，从而让各类学生都能学有所得．
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