零存整取和按揭贷款问题教案
教学目的
通过问题解决，使学生了解银行的有关业务知识；运用数列知识，
掌握零存整取本利和及按揭贷款每月还款额的计算，进而培养学生数学
建模的能力．
教学的重点和难点 理解银行的有关术语和利息计算方法，运用数
列知识，建立数学模型．
教学过程
1 提出问题
王师傅早就想改善住房条件，4年前，在银行开设四年期零存整取
帐户，坚持每月在工资发放当天存入现金500元，从没间断，今年刚好
到期．最近，王师傅看中一套价值12万元的房子，决定从银行取出这
笔款子，不足部分再向银行申请按揭贷款．我们一起研究王师傅还需要
向银行贷多少款？
2 知识准备
2.1 银行业务术语
①存储——客户将钱存入银行，到约定时间银行向客户支付利息和
本金；
②借贷——银行将钱借给客户，到约定时间，客户归还银行本金和
利息；
③本金；④年利率；⑤利息；⑥本利和；⑦期数；
⑧零存整取——分期多次存入；期满一次支付本息的存储种类；
⑨按揭贷款——分期等额归还本息的借贷种类．
2.2 利息计算方法
①单利：每期都按初始本金计算利息，当期利息不计入下期本金．
例 1 某人存入银行1万元现金，年利率5％，经过3年后一次性
取出本利和11500元．
(第 n年本利和见下表)
②复利：当期利息计入下期本金，即每期都以上期本息和作计息基
础．
例 2 将 1万元存一年定期，年利率为4.5％，每年到期后，存款
均自动转为新的一年定期，3年后，可取回多少钱？
(第 n年本利和见下表)
表中a为本金，本例中a=10000元．
结论 按单利计息，每期的本利和组成等差数列，按复利计息，每
期的本利和组成等比数列．
3 王师傅有多少存款
背景材料
王师傅在银行开设的是每月定额存入，按单利计息的零存整取帐户．
当时的四年零存整取的月利率为8‰．每期为一个月，四年共48期．
分析 按单利计算，500元每期的利息为500×8‰=4元，由于每
次存入的期数不同，每期的终值本息和也不同，怎样来计算它们的和呢？
(学生回答，分期计算本息和，对！这就是数学中的分类思想)．
建立模型
王师傅在4年中共存入48×500元，每笔款子由于存期不同，所得
的本息和也不同，按本金存入顺序本利和依次记为a1，a2，…，a48．
则 a1=500＋48×4=692，
a2=500＋47×4，
a3=500＋46×4，
……
a48=500＋4，
故{an}为公差 d=－4的等差数列，实际问题就转化为求等差数列
{an}前48项的和．
120000－28704=91296元．
结论 王师傅有存款28704元，还需向银行申请贷款约 9万元．
4 王师傅应向银行申请何种按揭贷款
新的问题
王师傅向银行提出申请贷款 9万元．银行要王师傅先填申请表如下：
结果银行只批准王师傅按揭贷款 7万元，王师傅想请教你，为什么？
问题分析
(1)银行减少贷款数额，主要考虑什么因素？(学生回答：偿还能
力)
(2)王师傅的偿还能力怎么测算？(学生讨论影响偿还能力的因素，
家庭每月开支按平均每人300元估算．)
(3)从王师傅的家庭情况来看，他的偿还能力是呈上升趋势还是下
降趋势？(学生讨论)
(4)王师傅申请按揭贷款 9万元，每月应归还贷款多少元？(研究
背景材料)
背景材料
王师傅所申请的10年期按揭贷款的月利率为4.65‰，按复利计，
从借贷日起，每过一个月还贷一次，每次归还金额相等，10年即120个
月后，本息全部还清．
分析 还款金额多(或少)于规定还款金额都不符合规则．设每月还
款数为 x，每月欠款余额为ai(i=1，2，3，…，120)，那末 ai、x与贷款
金额、期数、月利率的关系能否用数学式子表达出来呢？
我们知道，还一次款欠款少一点，所以每月的欠款余额是个变量，
设为ai，容易知道每期归还后的欠款数ai与x有关系，抓住变量 ai建立
函数关系．
建立模型
模型1
在该问题中涉及到哪些量？哪些是常量？变量？(学生回答)可列出
下表：
分析可知：ai与x有关，与i也有关，不妨先写出ai(i=1，2，3，
…，120)的表达式：(可由学生完成)．
a1=P(1＋r)－x，
a2=a1(1＋r)－x=[P(1＋r)－x](1＋r)－x
=P(1＋r)2－x(1＋r)－x，
……
ai=ai-1(1＋r)－x=P(1＋r)i－x[(1＋r)i-1＋…＋(1＋r)＋1]，
……
a120=P(1＋r)120－x[(1＋r)119＋(1＋r)118＋…＋(1＋r)＋1]，
由于第120月贷款还清，∴a120=0，(这是极关键的一步)
∴x[1＋(1＋r)＋(1＋r)2＋…＋(1＋r)119]=P(1＋r)120，(转化为等
比数列求和的数学问题)
把P=90000，r=4.65‰，代入得 x=980.28元．
符合实际．
模型2
作为实际问题，已经解决了．但作为一个数学问题，我们就应该想
一想，是否还有别的解决问题的方法？(通过启发点拨，由学生完成)
从按揭贷款的原意来看，就是将贷款数 P分成不等的120份，每期
归还其中的一份，依次记为 P1，P2，…P120．那么，Pi(i=1，2，3，
…，120)的金额与哪些量有关？
启发学生讨论，得出下列结论：
①与P有关：P1＋P2＋…＋P120=P，
②与i有关，还期越早，需支付的利息越少，如Pi在第 i期归还时，
需支付 Pi(1＋r)i．
③与月还款数 x有关，Pi(1＋r)i=x(i=1，2，3，…，120)
这即为等比数列问题，不难求得 x．
5 小结
通过帮助王师傅解决问题，也使我们了解了银行的一些基本业务知
识，并且利用等差数列和等比数列的知识建立了零存整取和按揭贷款问
题的两个数学模型．对这二个问题，我们还可得到更一般化的模式．
5.1 零存整取储蓄的本利和计算模型．若每期存入等额本金 P元，
每期利率为 r，当n期满后，本利和为 S．
S=P(1＋nr)＋P[1＋(n－1)r]＋…＋P(1＋r)
=P(1＋nr)＋[P(1＋nr)－r]＋…＋P[1＋nr－(n－1)r]
5.2 按揭贷款的月均还款额计算模型．若贷款 P元，采用分期等
额还款方式，从借款日算起一期后为第一次还款日，如此下去，第n次
还清，如果每期利率为 b，
那么每期应付款 x元满足下列条件：
把具体的数据代入，即可解决一个个实际问题，把计算公式编辑成
程序，计算就可用电脑解决了．
附：
按揭贷款的种类很多，咨询的人也很多，银行为了工作方便，根据
上述模型计算的结果制成表格供大家参考：
问：王师傅还有2万元没有着落，你有没有好的建议？(延长贷款
期限)
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