角的概念的推广教案
●教学目标
(一)知识目标
1.推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义.
2.象限角的概念.
3.终边相同的角的表示方法.
(二)能力目标
1.理解并掌握正角、负角、零角的定义.
2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法.
(三)德育目标
树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的
概念.
●教学重点
理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
●教学难点
终边相同的角的表示.
●教学方法
讨论法
1.通过实际问题，教师抽象并演示，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概
念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.
2.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，
从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.
●教具准备
1.一端固定在一起，可绕固定点转动的两根木条.
2.幻灯片4张：
第一张：教材P2左边的半圆图及P3引言中第1～4行的问题(记作4.1.1 A)
第二张：教材P4图4—2(记作4.1.1 B)
第三张：教材P5图4—3(记作4.1 C)
第四张：本课时教案后面的预习提纲
3.用多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮
的旋转等等，都能形成角的概念.
说明：此节课使用多媒体课件没有必要，多媒体课件的使用，应有它的不可替代性.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
师：今天在开课之前，我们先来看一个与我们的生活直接相关的实际问题：
如图(打出幻灯片 4.1.1 A)有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出
一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆
周上，已知半圆的半径长为 A，如何选择关于点 O对称的点A、D的位置，可以使矩形 ABCD
的面积最大?
师：分析：这是个求最值的实际应用问题，要想使问题获得解决，首先需要把其抽象
成数学问题，列出函数关系式，进而求函数的最值，使问题获解，谁来谈一下自己的解决
办法.
生甲：设 OA＝t（0＜t＜a)，矩形的面积为 S，则 222 tatS ，求 S的最值即可.
师：生甲所列函数关系式正确吗?
生：正确.因为2t、 22 ta 分别表示矩形相邻两边的长.
师：好.那么怎样求其最值呢?这个函数是我们熟悉的函数吗?
生乙：这个函数不是我们熟悉的函数，但可以变形，把生疏的化为我们熟悉的，将
222 tatS 两边平方，得 )(4 2222 tatS .令ｙ＝Ｓ 2，x＝t2，则上式化为ｙ＝
4x（a2－x）， 是以 x为自变量的二次函数，其最值不难求得.
师：很好，这种转化的方法，是一种常用的解题方法，化生疏为熟悉是一种常用的解
题策略，同学们要切记并灵活运用.且将此问题的解求出来，不过请同学们注意，求出的
ｙ的最值是不是就是矩形面积的最值呢?相应的 x的值是不是就是A、D的位置呢?
生：不是.
生乙：求出ｙ与 x的值后，还须进一步确定 S、t的值，才能确定 A、D的位置.因为ｙ、
x 、S、t都是正数，根据ｙ与Ｓ的关系、x与 t的关系，容易确定 S、t的值.
师：好，千万不能求出 x、ｙ的值就“收兵”，致使半途而废；解决这个问题，谁还有
不同的方法?
生丙：设矩形的面积为 S，∠AOB＝θ（0°＜θ＜90°＝，则 AB＝asinθ，OA＝
acosθ，Ｓ＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ.求Ｓ的最值即可.
师：生丙所列函数关系式正确吗?
生：正确.
师：这个函数式的最值我们会求吗?
生：(跃跃欲试，但苦于无法).
师：这个函数式的最值我们会求!但现在还不行，待我们再学习一些基础知识之后，这
个问题便可迎刃而解，并且生丙的这个办法比生甲的办法要简便的多(同学们有了进一步获
取知识的欲望)，下面我们就来学习、研究与我们生活密切相关的、解决问题十分便利的、并
且在各门科学技术中有着广泛应用的重要的基础知识(板书课题).
Ⅱ.讲授新课
师：我们知道，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所
成的图形，在 P4图 4—1中，一条射线的端点是 O，它从起始位置 OA按逆时针方向旋转到
终止位置OB，形成了一个角α，点O是角的顶点，射线 OA、OB分别是角α的始边和终边，
(再用所准备的教具，给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动形成角，转几圈也形成
角，为推广角的概念，做好准备.注意：转动成角时要提醒学生注意转动方向).
我们规定：(板书)一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角.
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.
图4—1中的角α是一个正角，钟表的时针和分针在旋转中所形成的角总是负角，为
了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”.
师：刚才演示中转几圈形成的角有没有实际意义呢?
生：有.例如体操中转体 720°(即转体两周).转体 1080°(即转体三周)的动作名称；
紧固螺丝时，扳手旋转所形成的角。
师：这就是说角度可以不限于 0°～360°范围内，又如(打出幻灯片 4.1.1 B)图①中
的角为正角，它等于 750°(它实际上是射线 OA绕端点O逆时针转过两圈再继续逆时针转了
30°)，图②中正角 α＝210°(射线 OA 绕端点 O 逆时针旋转了 210°)，负角 β＝－
150°(射线 OA绕端点 O顺时针旋转了 150°)，γ＝－660°(射线 OA绕端点 O顺时针转过
一圈后再继续顺时针转了 300°).
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角(板书)，也就是说，零角的
始边与终边重合，如果α是零角，那么α＝0°.
角的概念经过这样推广后，就包括正角、负角、零角.
今后，我们常在直角坐标系内讨论角，为此，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边
与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(板
书).
例如(打出幻灯片4.1.1 C)，图①中的30°、390°、－330°都是第一象限角，图②中
的300°、
－60°都是第四象限角，585°角是第三象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角
不属于任一象限(板书).
(再用所准备的教具给学生作演示：演示象限角、终边相同的角，并有意识的提醒学生
注意：终边相同的一系列角与 0°到360°间的某一角有什么关系，从而为终边相同的角的
表示做好准备，同时，为了使学生明确终边相同的角的表示方法，还可用教具作成一个
60°角，放在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，
之后，提问学生这是第几象限的角，是多少度的角，学生对后者的回答肯定是多种多样的
至此，教师再因势利导，予以启发).
师：同学们的所答是否正确呢?所答的这些角有什么共同特点呢?
生：正确，这些角的共同特点是终边相同.
师：它们有什么不同点呢?
生甲：大小不等.
生乙：绕端点旋转的圈数不同.
生丙：绕端点旋转的方向不同.
师：好.(肯定学生的回答，强调乙丙回答).那么，我们能否把这些角用一个集合表示
出来呢?比如说，我们把这些角记为β，把β的集合记为 S，那么S可以怎样表示呢?
生：Ｓ＝｛β｜β＝k·360°＋60°，ｋ∈Z｝
师：容易看出，所有与 60°角终边相同的角，连同 60°角在内，都是集合S的元素；
反过来，集合S的任一元素，即集合S中的任意一个角显然与 60°角终边相同.
师：我们再来考虑一下，是不是任意一个角，都与 0°到360°内的某一个角终边相同
呢?
生：是.
师：好.大家的讨论说明，任意一个角都可以表示成 0°到 360°间的某一角与
k（k∈Z）个周角的和，那么大家再看一下图4.1.1 C，角390°、－330°、585°、－60°它
们分别与 0°到360°间的哪个角终边相同，用 0°到360°的角表示它们该怎样表示呢?
生：390°＝360°＋30° －330°＝－360°＋30°
585°＝360°＋225° －60°＝－360°＋300°
师：一般地，我们有：(板书)
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可构成一个集合
Ｓ＝｛β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和.
Ⅲ.例题分析
［例 1］在 0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象
限角.
(1)－120° （2）240° （3）－950°12′
解：(1)－120°＝－360°＋240°
所以与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角.
(2)640°＝360°＋280°
所以与 640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角.
(3)－950°12′＝（－3）×360°＋129°48′
所以与－950°12′终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.
Ⅳ.课堂练习
P2练习1、2、3、4.
Ⅴ.课时小结
为了解决实际问题的需要，本节课我们开始学习数学科中的一门基础知识：三角函数.
本节课我们学习推广了角的概念，学习了正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边
相同的角的表示方法，注意：正角、负角是用射线绕端点的旋转方向定义的，零角是射线没
有做任何旋转.一个角是第几象限角，关键是看这个角的终边落在第几象限，终边相同的角
的表示有两方面的内容：一、与角 α 终边相同的角，这些角的集合为 S＝｛β｜β＝
k·360°＋α，k∈Z｝；二、在 0°到360°内找与已知角终边相同的角α，其方法是，用
所给角除以360°，所得的商为 k，余数为α(α必须为正数)，α即为所找的角.
Ⅵ.作业
一、P9习题4.1 1.
二、1.预习P5例 2、例 3
2.预习提纲
(1)设Ｓ 1＝｛x｜x＝2k，k∈Z｝，Ｓ 2＝｛x｜x＝2k＋1，k∈Z｝则Ｓ 1∪Ｓ 2＝？
(2)与角α终边相同的角的集合Ｓ＝｛β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝中，k是怎样
的整数?k可以是 0，－1，2，－8，－15，100吗?
●板书设计
第四章 三角函数
一、任意角的三角函数
§4.1.1 角的概念的推广(一）
规定：一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角.
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.
没有做任何旋转形成一个零角.
使角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合.那么角的终边落
在第几象限，这个角就是第几象限角.
若角的终边落在坐标轴上，则这个角不属于任一象限.
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合
Ｓ＝｛β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝
例 1……
练习
小结……
●备课资料
《高中数学的内容、方法与技巧》
《高中数学辅导》
严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于
90°的角”“第一象限角”“0°到 90°的角”和“锐角”的不同意义.
●教学后记
/2
