三角变换中的最值问题教案 1
教学目标
1．复习、巩固和、差、倍、半角公式，使学生能够熟练运用公式解决
典型的三角函数式的最值问题．
2．在学生掌握三角函数式最值的基本求解方法的基础上，引导学
生在解决最值应用问题时，会引入角做变量列出目标函数，借助繁多的
三角公式求解函数最值．
3．在教学过程中突出三角函数式与代数式的相互转化，训练学生
灵活选择代数与三角变换两种工具，渗透“转化”数学思想．
教学重点与难点
重点是教会学生把三角函数式最值问题转化为代数式的最值问题，
同时能够利用三角变换知识解决代数式的最值问题，恰当选取方法解决
问题．
难点是培养学生利用三角变换工具解决问题的意识，体现三角变换
的工具性．讲授难点是引导学生全面分析题目，恰当选取变量，正确列
出较易求最值的目标函数．
教学过程设计
师：我们已经学过了和、差、倍、半角公式，深感三角公式繁多，变
换多端，同时三角函数还具有单调性及有界性．今天我们来共同探讨三
角变换中的最值问题．首先我请一位同学回答代数式的最值问题有哪些
基本求解方法．
生：有利用函数单调性的方法，如最常用的二次函数法、复合函数
法、分离变量法、方程法、换元法等．
师：这位同学回答很好．我们在学习三角函数式的最值问题时也希
望大家注意总结方法．下面让我们看第一个例题．
例 1 求 y=cos2x+6cosx+5的最大、最小值．
分析：这个函数式变量形式不统一，我们首先要设法统一变量再求
其最值．
生：可以利用倍角公式统一变量，转化为二次函数求解．
因为 cosx∈[－1，1]，所以 ymax=12，ymix=0．
师：这个题目我们借助二次函数这一工具求最值，注意到了代数与
三角变换间的沟通．下面我们看例 2．
例 2 求函数 y=sinx+cosx+sinx·cosx+1的最大值与最小值．
生：这个题目既有“sinx”又有“cosx”，若用 sin2x+cos2x=1求解，
会出现根式，所以考虑把角度取半使其次数升高．
解 y=sinx·(1+cosx)+1+cosx
=(1+cosx)·(1+sinx)
师：这位同学为了不出现根式而把角度减半以达到升次的目的，很
好．但若把题目改为 y=sinx+cosx+3sin xcosx+1，这样能否可行？对例 2
有没有更具有普遍意义的做法？
生：观察到(sinx+cosx)2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，故联
想到换元法．设
师：这位同学的解法更具有普遍意义，特别值得表扬的是这位同学
在换元时注意到了等价性，即求出了 t的取值范围．下面我们看例 3．
例 3 已知 x2+y2=1，求 u=3x+4y的值域．
分析：这个题目是代数式的最值问题，若用代数方法求解，要首先
统一变元，这样就会出现根式，运算不够简洁．观察到 x2+y2=1这一制
约条件，联想到 sin2x+cos2x=1，可令 x=cosα，y=sinα．进行三角换元，
利用三角公式求最值．
解 令 x=cosα，y=sinα．则
所以 u∈[－5，5]．
下面我们做三个练习：
(分别请三位同学板演．)
解 1 令 x=2cosα，y=2sinα，则
所以μ∈[－10，10]．
师：这三位同学都注意到所求函数的定义域，利用三角换元求解最
值．一般来说，利用三角换元求解 y=f(x)的最值问题的步骤为：1°求
函数 y=f(x)的定义域；2°根据求出的定义域设计换元，注意换元后给
出一个能够保证其值域充满给定函数 y=f(x)的定义域的新变量的最小取
值范围，如练习 2中要求 x∈[－1，1]，令 x=sinα后给
利用换元法求最值不仅限于把变量 x换为 sinα或 cosα，还可以换
元为 tanα，cotα等，要依所给函数而定；三角换元也未必只在代数式
求最值时才能用，如求函
以上我们研究了函数式的最值问题，下面我们看几个最值应用问题，
探讨如何利用三角这一工具解决问题．
例 4 欲在半圆形铁皮(如图 1)截取矩形，如何截取利用率最高．(半
径为 R)
分析：矩形ABCD的面积取决于 CD的位置，而 CD∥AB，故 C点
位置一旦取定，则D点位置也随之而定．C点在圆周上，连结圆心O与
C点，则∠COB的大小便确定了 C点的位置，故引入∠COB作为变量
写出目标函数．
利用三角变换解最值应用问题的一般步骤是：1°全面分析题目，
选择恰当的自变量；2°列出目标函数，确定自变量取值范围；3°利用
三角变换公式求最值．
若我们把半圆形铁皮改为扇形铁皮，如何求解呢？请同学们练习．
练习 4 在半径为 R，中心角为α的扇形铁皮中(如图 2)截取矩形，
何时利用率最高．
(此题可利用正弦定理，即△ABC中，A，B，C为三内角，
a，b，c为其
(给出时间让学生独立思考，请学生回答．)
生：与例 4相似的有矩形ABCD面积由 CD位置决定，
CD∥AB，C点位置决定了矩形ABCD的面积，而∠COB的大小决定了
C点位置．故引入∠COB为变量．这个题目与例 4的区别在于目标函数
较例 4复杂．
解 设∠COB=θ，θ∈(0， )．
在 Rt△COB中，|BC|=Rsinθ，在△COD中，∠CDO=π－
，∠DOC= －θ，由正弦定理，
师：四个题目还可以略加改动．
练习 5 在中心角为 半径为 R的扇形中如图截取矩形(如图 3)，何
时利用率最高．
请同学们课下解决，并且总结这类有动点在圆周上的题目的解法．
下面我们再看一个例题：
例 5 边长为 a的正三角形ABC，其中心为O，过O的直线MN分
别交AB，
分析：OM与ON的长度与过O的直线MN的倾斜程度有关，故引
入∠AOM为变量，利用解三角形的知识表示出|OM|及|ON|，求解最值．
解 设∠AOM= ．
这个题目仍然是引入了角做变量，利用三角变换这一工具求解最值．
这个题目限定自变量的取值范围直接影响结果，十分重要．
下面我们小结一下这节课．这节课我们主要研究了两个问题：即函
数式的最值问题及最值应用问题．函数式的最值问题是最值应用问题的
基础，解决函数式的最值问题的关键在于灵活地选用代数与三角两种工
具，树立转化的数学思想，同时应注意一些典型方法的总结．解决最值
应用问题的关键在于充分分析题目，选择恰当的自变量，列出相对简单
的目标函数以便于求解最值．
作业
1．求下列函数的值域．
3．求周长为定值 P的直角三角形面积的最大值．
4．△ABC中，AB=AC=1，△ABC与以 BC为边的正△BCD面积
和为 S，求 S的最大值．
5．如图 5，AB是半圆直径，延长AB到D，使 BD=R，C为半圆上
的动点，C在何处时，以DC为边的正△CDP与△OCD面积和最大．
课堂教学设计说明
最值问题是学生感到困难的一个内容，求最值的方法多样，不可能
一一列举．这节课的主要目的是教会学生灵活选用代数与三角两种工具
解决问题，培养学生“转化”这一数学思想，体现“三角变换”的工具
性．
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