0 0 类别 : 教案

两角和与差的三角函数，解斜三角形·两角和与差的正弦 及正切 教学目标 1．使学生掌握两角和与差的正弦公式及两角和与差的正切公式，并会应用 这些公式解决一些有关三角函数的求值问题． 2．在公式的推导过程中使学生注意并学习严密而准确的数学思维方法及其 数学表达方式． 教学重点与难点 本节课的重点是使学生掌握两角和与差的正弦公式及两角和与差的正切公 式．学生学了公式以后往往是记住了公式的主体而忽略了公式成立的条件．难 点是使学生对公式成立的条件有较深刻的印象，并且在应用公式的时候时刻注 意公式成立的条件．在解决一个数学问题时，要会把这一数学问题适当的转化， 有时要求进行等价转化，有时转化不要求必须是等价的，这要看具体问题而定． 化归与转化的思想是数学中的重要思想．在化归与转化、函数与方程、数形结合、 分类讨论这四个重要的数学思想中，化归与转化的思想是首当其冲的占第一位 的重要的数学思想，在教学中要给以充分的重视． 教学过程设计 师：我们先把上节课的内容复习一下，然后作一个小结．请同学们回答下 面公式的右端是什么？ （教师板书公式左端如下） cos（α+β）＝ cos（α-β）＝ （学生回答后教师小结，再提下面问题．） 师：请同学们回答出下面几个诱导公式的右端． （教师板书公式左端如下） （学生回答后再提下面问题．） 师：大家能证明下面一组共4个诱导公式吗？怎样证明？ （教师板书下面4个诱导公式，然后请同学说出证明过程．） （通过学生的回答，教师进一步强调后两个公式各自成立的条件， 为π-a而得到．） 师：大家还能证明下面一组共4个诱导公式吗？怎样证明？ （教师板书下面4个诱导公式，然后请同学说出证明过程．） 生：……（略） α）＝-tanα不是对于任意的α都成立，而是各自对于使两边都有意义的 α方能成立．） 首先大家注意一下公式两端三角函数名称有什么规律？ 生：这16个诱导公式中的每一个都是两端正弦与余弦互换了，正切与余切 互换了． 师：答得很好．那么这16个公式只要再记住什么时候等式右端有“-”号， 什么时候没有“-”号，也就是什么时候右端是“＋”号就可以了．关于“±” 号的问题，我们想什么办法记住呢？ （在教师的引导下指出：既然公式对于使式子有意义的一切α均成 所在的象限，从而也容易判断它们的各三角函数值的正、负．α是锐角 的各三角函数值如果是正的则公式右端取“＋”号，如果是负的则公式右 端取“-”号．由于公式对于使式子有意义的一切α均成立，那么α不是锐角 时公式亦成立．） 师：请大家利用诱导公式说出下面等式的右端． sin（270°+100°）＝ （这时，可能有学生说右端应当是-cos100°，也有学生可能说右端应当是 cos100°．） 师：如果写成sin（270°＋100°）＝cos100°，那么怎么想的呢？ 生：…… （可能会回答：因为270°＋100°=370°，这个角在第一象限，故其正弦 值应为正，所以等式右端取“＋”号．） 师：请同学们仔细看一下，是不是正是因为取了“＋”号而等式反面不成 立了呢？sin370°的值是正的，而cos100°的值是负的，它们怎么能够相等呢！ 这就是弄巧成拙了！等式两端的值的正负是要一致的，右端恰恰是添上一个 “-”号才使-cos100°的值成为正的．因此，请同学们切记：考虑公式右端是 写“＋”号还是写“-”号时，是把α当成锐角去考虑的，考虑好了之后，如 α不是锐角时你方才考虑的结果也不能改变．因此，在考虑符号时，α不是锐 角时也要把它当成锐角来考虑！这一点务必请同学们牢记． 师：请同学们计算 cos15°，cos75°，sin15°，sin75°的值． （同学们计算之后，教师指出这几个三角函数的值也是特殊角的三角函数 值，请同学们像记 30°，45°，60°的三角函数值那样把它们也记住．可结合 0°～90°范围内三角函数的增减性来记忆．还要结合 了cos75°的值．注意到函数的增减性，则sin15°，sin30°，sin45°， 师：刚才我们复习了 Cα±β两个公式及由它们推出的十六个诱导公式，同学 们自然会想：用α与β的三角函数去表示 sin（α+β）与sin（α-β）应是 怎样的呢？下面我们就来研究一下这个问题． 我们能不能继续扩大战果，利用 Cα±β这个公式解决公式 Sα±β的推导问题？ 因此要考虑 sin（α+β）=cos（？） 师：我们的目标是用α与β的三角函数表示 sin（α+β）．因此在 （接下来，很自然地会得出下面推导过程．） ＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ． 师：这公式对于怎样的α及β成立？ 生：对于任意α，β∈R公式都成立． 师：请同学们推导公式 Sα-β． 生：只要把公式 Sα+β中的β换成-β则有 sin（α-β）=sinα·cos（-β）＋cosα·sin（-β） =sinα·cosβ-cosα·sinβ． 师：请同学们总结公式中三角函数名称上与符号上的特征，然后牢记这两 个公式． 每个同学可根据各自的记忆习惯采取不同的记忆方法．下面是一种记忆方 法，供参考． sin（α±β）→“赛抠”±“抠赛”， cos（α±β）→“抠抠” “赛赛”． 这好像是英文单词缩写，只写字头，但汉字化了． 师：我们知道了怎样用α与β的弦函数表示α±β的弦函数，下面应再 考虑什么公式呢？ 生：用α与β的切函数表示α±β的切函数． （在教师的指导下，学生不难得出下面的推导过程．） tanα＋β）（怎样用弦函数表示切函数？） 师：我们把这一公式简记为 Tα＋β，那么怎样推导公式 Tα-β呢？ 生：把公式 Tα＋β中的β换成-β则可得公式 Tα-β． 师：回答的很好．再请大家考虑，这两个公式是不是对于任意的α与β 都成立呢？由公式推导过程一步步地看．首先，在什么条件下才可 师：这时分母会不会是零呢？ 生：在刚才的条件下已保证了cos（α＋β）≠0，这一步的推导不需再有 其它条件限制． （k∈Z）． 师：这样，我们得到的公式是 师：还用不用附加上一个条件：tanα·tanβ≠1呢？ （学生可能考虑不清，有的学生可能说应当附加上这个条件．） 师：不必附加 tanα·tanβ≠1这一条件．因为在tan（α＋β）存在时一 定是cos（α＋β）≠0，即 cosαcosβ-sinαsinβ≠0时， 即 1-tanαtanβ≠0， 因此，不必附加条件tanαtanβ≠1． 同样地，我们可以知道公式 师：请同学们判断下面哪些式子可以利用两角和或差的正切公式，哪些式 子不能用． tan（75°+15°），tan（90°-15°），tan（0°＋0°）． 生：……（略） 师：tan（75°＋15°）不能，因为它无意义；tan（90°-15°）不能针对 90°与15°用两角差的正切公式，但可将其改写为tan（90°-15°）＝ tan（45°＋30°）再用两角和的正切公式，也可用诱导公式得tan（90°- 15°）=cot15°；tan（0°+0°）可以用两角和的正切公式． 师：下面通过几个例题看一下公式的应用． 例 1 不查表，求tan15°，tan75°，cot15°，cot75°的值． （过程略．15°与75°的三角函数值要作为特殊角三角函数值记住．） 例 2 解 例 3 不查表，求下列各式的值： （1）sin13°cos17°＋cos13°sin17°； （2）sin70°cos25°-sin20°sin25°． 解 （1）sin13°cos17°＋cos13°sin17°＝sin（13°＋ （2）sIn70°cos25°-sin20°sin25°=cos20°cos25°-sin20°sin25° 例 4 （过程略．） 例 5 不查表，求下列各式的值： 解 （1）（过程略．） 师：在三角函数的有关习题中，1有时有巧妙的应用，如 1=tan45°，1=cot45°，1=sin2α＋cos2α，1＝tanα·cotα，1＝ sinα·cscα，1＝sec2α-tan2α等，要引起同学们的注意． 例 6 不查表求tan22°＋tan23°＋tan22°·tan23°的值． 师：公式 可灵活运用，灵活运用有怎样的形式呢？ 生：从左往右正着用，或从右往左倒着用． 师：还有别的应用方式吗？如变形后再用． 生：tanα＋tanβ＝tan（α＋β）·（1-tanαtanβ）．因此可得如下解 法． 解 tan22°＋tan23°＋tan22°·tan23° ＝tan（22°＋23°）（1-tan22°tan23°）＋tan22°tan23° =tan45°（1-tan22°tan23°）＋tan22°tan23°） =1-tan22°tan23°+tan22°tan23° =1． 师：今天我们学习了公式 Sα±β，Tα±β．要求大家不但要记住这几个公式 还要知道它们是怎么推导出来的．对于公式 Tα±β要注意公式成立的条件，公式 成立的条件不要死记硬背，其成立的条件是自然而然地产生于公式的推导过程 之中的． 例 7 在△ABC中，若 0＜tanA·tanB＜1，则△ABC [ ] A．是钝角三角形 B．是锐角三角形 C．是直角三角形 D．形状不能确定 解 △ABC中若有tanA·tanB＞0，则可知 tanA与tanB均为正不会均为负， 否则 A与 B就都是钝角了．因此，A与 B均为锐角．又由 因此C为钝角． 所以，△ABC是 C为钝角的钝角三角形，故选A． 师：下面我们布置作业． 先复习一下今天这几个公式，注意公式的推导过程及公式 Tα±β成立的条件． 笔答作业；课本 P210第 2，3，4题；P213习题十五第1，4，6题． 课堂教学设计说明 本节中公式 Sα±β与 Tα±β的推导是比较容易的，得到公式以后要求学生记 住，并通过一定数量的练习之后，达到能灵活或较灵活地应用也不是很困难的． 困难的是使学生能自觉地注意公式 Tα±β成立的条件，且在解题过程中不出错． 不只这两个公式，在其它公式中也存在着要注意公式成立条件的问题．不 少情况下都是公式中表示变量的字母取任意值时公式都成立，因此，公式成立 的条件这一问题往往并未引起多数人的重视． 为了能引起学生对这一问题的重视，我们不妨强调，在写公式 Tα±β时要把 公式成立的条件一并写出，且把成立的条件作为公式的组成部分，而不是独立 于公式之外的东西．这样，经过多次的强调和反复，学生才能较自觉地注意这 一问题．本节授课时我们就是这样做的． 再举两例，说明式子变形时要注意字母取值范围的问题． 例 由于函数 f（x）的定义域在 x轴上不是关于原点左右对称的点集，故 f（x）不是奇函数，也不是偶函数． 例 由万能公式可得 所以4x≠2kπ＋π（k∈Z）．因此最大值是 ymax=1，此函数的最小值不存 在．