0 0 类别 : 教案

线段的定比分点教案 ●教学目标 (一)知识目标 1.线段的定比分点坐标公式； 2.线段的中点坐标公式. (二)能力目标 1.掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式； 2.熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式； 3.理解点P分有向线段 21PP 所成比λ的含义； 4.明确点P的位置及λ范围的关系. ●教学重点 线段的定比分点和中点坐标公式的应用. ●教学难点 用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还是λ＜０. ●教学方法 启发引导式 ●教具准备 投影仪、幻灯片 第一张：例1(记作§5.5.1 A) 第二张：例2(记作§5.5.1 B) ●教学过程 Ⅰ.课题引入 师：上一节，我们一起研究了平面向量的坐标表示问题，这一节，我们一起来研究线 段的定比分点问题，并将学习定比分点坐标公式的具体应用. Ⅱ.讲授新课 1.定比分点坐标公式： 若点 P １（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２），λ为实数，且 PP1 ＝λ 2PP ，则点 P 的坐标为（         1,1 2121 yyxx ），我们称λ为点P分 21PP 所成的比. 说明：(1)定比分点坐标公式的推导应指导学生自学； (2)点 P分 12PP 所成的比与点P分 21PP 所成的比是两个不同的比，要注意方向. 2.点 P的位置与λ的范围的关系： ①当λ＞０时， PP1 与 2PP 同向共线，这时称点P为 21PP 的内分点. 特别地，当λ＝１时，有 PP1 ＝ 2PP ，即点 P是线段Ｐ１Ｐ２之中点，其坐标为（ 2,2 2121 yyxx  ）. ②当λ＜０时， PP1 与 2PP 反向共线，这时称点P为 21PP 的外分点. 3.线段定比分点坐标公式的向量形式： 在平面内任取一点 O，设 1OP ＝ａ， 2OP ＝ｂ，由于 PP1 ＝OP－ 1OP ＝OP －ａ， 2PP ＝ 2OP －OP＝ｂ－OP 且有 21PP ＝λ 2PP ，所以OP -a=λ(b-OP ).即可得 OP = baba       11 1 1 . 这一结论在几何问题的证明过程中应注意应用. 师：下面我们通过具体的例题分析来体会定比分点坐标公式 的应用. ［例 1］已知 A(1，3)，B(－２，０)，Ｃ（２，１）为三角 形的三个顶点，L、M、N分别是BC、CA、AB上的点，满足BL∶BC＝ CM∶CA＝NA∶AB＝１∶３，求L、M、N三点的坐标. 分析：所给线段长度的比，实为相应向量模的比，故可转换 所给比值为点L、M、N分向量BC、CA、AB所成的比，由定比 分点坐标公式求三个点的坐标. 另外，要求L、M、N的坐标，即求OL、OM 、ON 的坐标(这里O为坐标原点)，为此， 我们可借用定比分点的向量形式. 下面给出第二种解法. 解：∵Ａ（１，３），Ｂ（－２，０），Ｃ（２，１）， ∴OA＝（１，３），OB＝（－２，０），OC ＝（２，１） 又∵ＢＬ∶ＢＣ＝ＣＭ∶ＣＡ＝ＡＮ∶ＡＢ＝１∶３ ∴可得：L分CB，M分 AC ，N分BA所成的比均为λ＝２ ∴OL＝ 1 1 OC ＋ 1 1 OB＝ 3 1 （２，１）＋ 3 2 （-2，0）=（- 3 2 ， 3 1 ） OM = 1 1 OA +   1 OC = 3 1 (1,3)+ 3 2 （２，１）＝（ 3 5 ， 3 5 ） ON ＝ 1 1 OB＋   1 OA＝ 3 1 （－２，０）＋ 3 2 （１，３）＝（０，２） ∴Ｌ（－ 3 2 ， 3 1 ）、Ｍ（ 3 5 ， 3 5 ）、Ｎ（０，２）为所求. 评述：上述两种解题思路，各有特色，各有侧重，望同学们比 较选择，灵活应用. ［例 2］已知三点 A(0，8)，B(－４，０)，Ｃ（５，－３）， Ｄ点内分 AB的比为１∶３，E点在 BC边上，且使△BDE的面积 是△ABC面积的一半，求 DE中点的坐标. 分析：要求 DE中点的坐标，只要求得点 D、E的坐标即可，又 由于点 E在 BC上，△BDE与△ABC有公共顶点 B，所以它们的面积 表达式选定一公用角可建立比例关系求解. 解：由已知有 AD＝ 3 1 DB，则得 AB DB ＝ 3 4 又 2 1   ABC BDE S S ，而Ｓ△ＢＤＥ＝ 2 1 ｜DB｜·｜BE｜·sinDBE， Ｓ△ＡＢＣ＝ 2 1 ｜ AB｜·｜BC｜ｓｉｎＡＢＣ，且∠ＤＢＥ＝∠ＡＢＣ ∴ 2 1   BCAB BEDB ，即得： 3 2 BC BE 又点 E在边 BC上，所以 2BC BE ， ∴点 E分BC成比λ＝２ 由定比分点坐标公式有        221 )3(20 221 524 E E y x 即Ｅ（２，－２），又由                 6 3 11 8 1 3 11 )4(3 10 D D y x 有 D（－１，６）. 记线段 DE的中点为M(x,y),则      22 62 2 1 2 )1(2 y x 即M（ 2 1 ，２）为所求. 师：为巩固本节所学，下面我们进行课堂练习. Ⅲ.课堂练习 课本Ｐ 115练习1，2，3 Ⅳ.课时小结 师：通过本节学习，要求大家掌握线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式，并能熟 练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式解决相关问题. Ⅴ.课后作业 (一)课本Ｐ 115习题5.5 1，2，3，4，5 (二)1.预习P116～Ｐ 117 2.预习提纲: (1)两向量的夹角有何前提? (2)平面向量积的定义及几何意义. (3)平面向量数量积的运算律有哪些? ●板书设计 §5.5.1 线段的定比分点 1.定比分点坐标公式 2.点 P位置与λ范围关系 3.中点坐标公式            1 1 21 21 yyy xxx 内分点 外分点 ,0 ,0          2 2 21 0 21 0 yyy xxx ●备课资料 1.概念辨析 我们知道，若Ｐ１、Ｐ２是直线 l上的两点，点P是 l上不同于Ｐ１、Ｐ２的任意一点，则 存在一个实数λ，使 PP1 ＝λ 2PP ，λ叫做 P分有向线段 21PP 所成的比. 而且，我们还知道：当点 P在线段Ｐ１Ｐ２上时，λ＞０；当点 P在线段Ｐ１Ｐ２或Ｐ 2 Ｐ 1的延长线上时，λ＜０. 对于上述内容，逆过来是否还成立呢? (1)若λ＞０，则点P为线段Ｐ１Ｐ２的内分点； (2)若λ＜０，则点P为线段Ｐ１Ｐ２的外分点. 一般来说，(1)是正确的，而(2)却不一定正确.这是因为，当λ＝－１时，定比分点 的坐标公式ｘ＝     1 21 xx 和ｙ＝     1 21 yy 显然都无意义，也就是说，当λ＝－１时，定 比分点不存在. 由此可见，当点P为线段Ｐ１Ｐ２的外分点时，应有λ＜０且λ≠－１. 2.求点P分有向线段所成的比的几种方法 (1)定义法：根据已知条件直接找到使 PP1 ＝λ 2PP 的实数λ的值. ［例 1］已知点 A(－２，-３)，点Ｂ（４，１），延长 AB到 P，使｜ AP｜＝３｜ PB｜，求点P的坐标. 解：因为点P在AB上的延长线上，P为 AB的外分点，所以， AP＝λPB，λ＜０， 又根据｜ AP｜＝３｜ PB｜，可知λ＝－３，由分点坐标公式易得 P点的坐标为（７， ３）． （２）公式法：依据定比分点坐标公式. ｘ＝     1 21 xx ，ｙ＝     1 21 yy ，结合已知条件求解λ. ［例2］已知两点P １（３，２），Ｐ２（－８，３），求点 P( 2 1 ，ｙ)分 21PP 所成 的比λ及ｙ的值. 解：由线段的定比分点坐标公式得            1 32 1 )8(3 2 1 y 解得：      22 49 17 5 y 