线段的定比分点教案
教学目的：要求学生理解点 P分有向线段 21PP 所成的比λ的含义和有向线
段的定比分点坐标公式，并能应用解题。
教学重点：线段的定比分点和中点坐标公式的应用
教学难点：用线段的定比分点坐标公式解题时区分 00 还是
教学方法; 启发式 上次作业问题：
教 具：
课堂反馈情况：
教学过程：
一、复习引入
1．向量的加减，实数与向量积的运算法则；2．向量的坐标运算
二、新课讲解：
1．线段的定比分点及λ
P1, P2是直线 l上的两点，P是 l上不同于 P1, P2的任一点，存在实数λ，使
PP1 =λ 2PP λ叫做点P分 21PP 所成的比，
有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-
1<λ<0)
注意几个问题：
1 λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ-1
若 P与 P1重合，λ=0 P与 P2重合 λ不存在
3 始点终点很重要，如P分 21PP 的定比λ= 2
1 则 P分 12PP 的定比λ=2
2．线段定比分点坐标公式的获得：
设 PP1 =λ 2PP 点 P1, P, P2坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2)
由向量的坐标运算
P1 P1 P1P2 P2 P2P P P
O
P1
P
P2
PP1 =(x-x1,y-y1) 2PP =( x2-x1, y2-y1)
∵ PP1 =λ 2PP (x-x1,y-y1) =λ( x2-x1, y2-y1)
∴
)(
)(
21
21
yyyy
xxxx
1
1
21
21
yyy
xxx
定比分点坐标公式
3．中点坐标公式：若P是 21PP 中点时，λ=1
2
2
21
21
yyy
xxx
中点公式是定比分点公式的特例。
练习：课本115页练习。
4.例题：
例1、 已知点 的值及的比分求点 xPPPPPxP 12121 ).4,2().5,1().1,(
（2）求点 的值。的比分 221 PPP
解：由 21
4511 11
1
1
211
解得得yyy 11 1
211
xxx
由 2
3
1
211 22
2
2
221
解得得xxy
例 2.
CDGABDyxCyxByxAABC 是的中点，是边（的三个顶点分别为 ),,()..().,1
上的一点，且 2GD
CG 求点G的坐标。
解：由D是AB的中点，所以D的坐标为 GDCGyyxx 2),2,2(
2121 又
321
22 321
21
3 xxx
xxx
x
321
22 321
21
3 yyy
yyy
y
即G的坐标为 )3,3(
321321 yyyxxx .重心坐标公式
例3、已知平行四边形ABCD的两个顶点为 对角线的交),6,2(),7,2
9( BA 点为
），，（ 2
33M 则 另 外 两 个 顶 点 的 坐 标 为 （
），），（， 34102
21
例4、△ABC顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) BAC平分线交BC边于D,
求 D点坐标
解：∵AD平分角BAC.|AC|= 10262 22
|AB|= 1039)3( 22 .∴D分向量CB所成比λ= 3
2
设D点坐标(x, y) 则 1
3
21
)2(3
23
x 5
41
3
21
3
2107
y
∴D点坐标为：(1, 5
41 )
例 5、过点P1(2, 3), P2(6, -1)的直线上有一点P，使| P1P|:| PP2|=3, 求 P
点坐标
解：当P内分 21PP 时 3
当P外分 21PP 时 3 当 3 得P(5,0)
当 3 得P(8,-3)
备 用 例 题 ： 若 直 线 02: ymxl 与 线 段 AB 有 交 点 ， 其 中 A （ -
2，3），B(3,2),求 m的取值范围。
解 ： 设 l 交 有 向 线 段 AB 于 点 P （ x,y ） 且
点）时直线过，当 APB
AP 00(
O
P1
P
P2
•
•
•
• P’
D
B
C
A
则可得 3
4
2
5,043
52
1
231
32
mmm
mlP
y
x
或得上，故可得点在因
由于设 时，无形中排除了 P,B 重合的情形，要将 B点坐标代入直线方程得
3
4
2
5,3
4 mmm 或故
补充内容：如图，在平面内任取一点O，设
bOPaOP 21 , ， 2121 ,, PPPPOPbPPaOPPP
baOPOPbaOP
11
1),()(
这就是线段的定比分点向量公式。
特别当，当P为线段P1P2的中点时，有 )(2
1 baOP
三、小结：定比分点、定比分点坐标公式、中点公式及应用。
四、作业：课本115页 2、3、4、5.
O
P1
P
P2
/4
