线段的定比分点教案 2
教学目标
1．学生通过学习、研究，弄清定比、定比分点的意义，特别是分点
的位置与λ的对应关系．
2．培养学生掌握转化、联想和类比等重要数学思想方法，提高学
生研究问题的能力．
教学重点与难点
线段定比分点公式的猜想、鉴赏及其应用是教学重点，正确理解线
段定比分点中定比λ与分点位置的对应是教学难点．
教学过程
师：请说出：1．有向线段、有向线段的长度、有向线段数量的意义．
并举例说明以上三者的表示方法；2．说出有向线段数量公式；3．平行
线分线段成比例定理．
生：(略)．
表示这两条有向线段数量的比？
师：请同学们一定要分析清这三者之间的区别与联系．下面我们学
习：
1．线段定比分点(板书)这一重要概念．
(用投影片打出)
与以分点P为起点，线段的终点P2为终点的有向线段PP2数量之比，
为了记忆，我
2．内分点和外分点(板书)
师：下面我们来分析定比分点P的位置，与之对应的比λ与实数R
之间的一一对应关系．请看下图：
当P从左向右运动至P1点，请同学们猜测λ值的变化情况．
|PP2|所以－1＜λ＜0，当P与P1点重合时，由于P1P=0所以
λ=0．
师：很好，如果P点继续向右作靠近P2点的运动．此时P在P1P2上，
我们把P
因此λ可取一切实数值．
师：在点P与P2重合时，显然此时|PP2|=0．λ值怎样呢？
生：应该不存在．
师：下面观察当P点继续向右移动的情况，λ值怎样变化．
生：λ应是负值，并且|P1P|＞|PP2|，因此λ值总大于负1，即λ
＞－1．
师：观察以上情况，λ能否是－1的值．
生：(议论后得出)λ=－1不可能成立．
师：我们把λ的变化情况总结为下表：
了使有向线段数量比“代数化”的作用．
3．定比分点坐标公式(板书)
师：下面我们研究这个问题，设在数轴上，P1和P2两点坐标分别为
2和7，
代数化可得一个关于x的方程：
师：这个方程把x解出来，先暂时不做数的运算：
这个式子中x是分点坐标，2是起点坐标，7是终点坐标，λ是定
比分点，你能猜想分点坐标的一般形式吗？
家能否根据λ≠－1猜想一下公式应是什么结构．
生：分母应有1+λ的特征．
师：很好，怎样求出(x，y)的计算公式呢？
x轴上去，再根据平行线分线段成比例定理就可以解决了．
师：这个解题思路很正确，通常将二维问题利用投影法转化为一维
问题是研究数学问题的重要方法之一．
过点P1、P2P分别作x轴的垂线P1M1、P2M2、PM，则垂足分别为M1(x1，
如果点P在线段P1P2上，那么点M也在线段M1M2上；如果点P在线
段P1P2或P2P1的延长线上，那么点M也在线段M1M2或M2M1的延长线上．
因此
因为M1M=x－x1，
MM2＝x2－x，
即(1+λ)x= x1+λx2，当λ≠－1时，
4．例题(板书)
例 1 点 P1和P2的坐标分别是(－1，－6)和(3，0)，点P的横坐标
为
师：根据由投影法得到的关系式．先求出λ的值，再由定比分点
公式，求出P点的纵坐标．(学生自己求解)
解 由λ的定义，可得，
例 2 已知点 A(3，－4)与 B(2，－1)，延长 AB到 P，使|BP|＝2|
AB|，求P点坐标(x，y)．
师：因为P1，P2和P这3个点的位置已经确定，关键是要在上述 3
个点中，把哪一个视为分点；其次再定出余下的两个点，哪个是起点，
哪个是终点，只有把各个点的位置确定之后，才能按照解题思路、方法
和规律得出正确的结果．
因此P点坐标是(0，5)．
y＝5．
因此P点坐标是(0，5)．
师：当然还有其它的选择方法，因此我们在解题时可根据题目的要
求选择起点、分点、终点，使我们的解题方法快捷简便．
例 3 已知三角形顶点是 A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，求△ABC
的重心G的坐标(图1－13)．
师：因为△ABC的3个顶点坐标已经给出，说明三角形重心是固定
的，又因为 D是 BC的中点，因此 D点坐标确定了．只要根据重心到顶点
的距离是到该顶点对边中点距离的2倍，即求出重心G的坐标．解题前
还是应先确定 A、G、D谁是分点、起点、终点，避免出错．这题怎样确定呢？
生：定 G分 AD较好．
师：对，这样λ是正整数，计算简便．
解 设 BC边的中点为 D，则 D点坐标是
整理后得重心G的坐标
师：这个重心坐标的结论，使我们见到了数学和谐的对称美．
5．引导学生小结
在使用定比分点公式时，
2)当已知 P为 P1P2的定比分点时，可通过其一个关系式求λ的值．
3)公式中的λ，当起点、终点、分点确定时也随之确定，但对具体
问题，为了计算方便，起点、终点、分点又可视问题灵活选择，使运算简
便．
6．作业：
1)课本：第 10页练习1，2，3，习题一，5，6(2)，7(2)、
(3)，13，14．
2)补充题：
①已知点 A(3，－4)与 B(－1，2)，点P在直线 AB上，且|PA|=2|
PB|，求点P坐标．
②已知△ABC的顶点 A(4，1)、B(7，5)、C(－4，7)，则∠A的平分线
的长
设计说明
定比分点坐标公式是解析几何中的重要公式，通过这个公式的教学，
除了在教学中渗透“形数结合”这种解析几何中常用的数学方法外，还
应充分展示这个公式的思想价值、联想类比等重要数学思想．如在推导
公式过程中利用投影法转化思想，把二维问题转化为一维问题，这种射
影手段、转化思想在教学中不可忽视，它是研究数学问题的重要方法．
在今后的学习中可以向学生介绍这样一个重要性质，如果[a，b]是
x轴上的区间，[0，1]是y轴上的一区间，点P1(a，0)，P2(b，1)，那
么对x∈[a，b]，必存在y
由定比分点公式可得
因为 a≤x≤b，所以y'∈[0，1]，取y=y'，即存在y∈[0，1]，使
得P(x，y)
在直线参数方程中有：
立体几何中，已知棱台上、下底面积为 S1，S2，设P为其高上一点，
且将高自上而下分成的比为λ，过P作一平行于底的截面，则截面面积
S满足
都可用定比分点公式去解．
因此，通过定比分点教学寻找不同知识点、不同章节以及不同学科
之间的规律联系之所在，无疑是培养和提高学生数学思维方法和解题能
力的重要手段．
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