实数与向量的积教案
●教学目标
(一)知识目标
平面向量基本定理.
(二)能力目标
1.了解平面向量基本定理；
2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量
解决实际问题的重要思想方法；
3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
(三)德育目标
事物之间的相互转化.
●教学重点
平面向量基本定理.
●教学难点
平面向量基本定理的理解与应用.
●教学方法
启发引导式
启发学生理解平面向量基本定理的证明应用了两向量共线的充要条件，并且认识到学
习定理是为下节学习向量的坐标表示作铺垫，另外，引导学生在例题分析过程中体会利用
平面向量基本定理将向量分解的方法.
●教具准备
投影仪、幻灯片(例题)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线
的充要条件.
这一节，我们将在上述知识的基础上学习平面向量基本定理及其应用.
Ⅱ.讲授新课
1.平面向量基本定理
如果ｅ１、ｅ２是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量ａ，
有且只有一对实数λ １、λ ２，使ａ＝λ １ｅ１＋λ ２ｅ２.
说明：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一.
师：下面我们通过例题使大家进一步熟悉平面向量的基本定理及其应用.
［例 1］如图，平行四边形 ABCD 中， AB＝ａ， AD
＝ｂ，H、M是AD、DC之中点，F使BF＝ 3
1 BC，以ａ、ｂ为基
底分解向量 AM 与HF .
分析：以ａ，ｂ为基底分解向量 AB与HF ，实为用
ａ与ｂ表示向量 AM 与HF .
解：由H、M、F所在位置有：
AM = AD +DM = AD + 2
1 DC = AD + 2
1 AB =ｂ＋ 2
1 ａ，
HF ＝ AF － AH ＝ AB ＋ BF － AH ＝ AB ＋ ADBC 2
1
3
1 ＝ AB＋ 3
1
AD－ 2
1 AD＝ａ－ 6
1 ｂ
［例2］如图，O是三角形 ABC内一点，PQ∥BC，且 BC
PQ ＝ｔ，
OA＝ａ，OB＝ｂ，OC ＝с，求OP与OQ .
分析：由平面几何的知识可得△APQ∽△ABC，
且对应边的比为ｔ，∴ AC
AQ
AB
AP ＝ｔ，转化向量的关系为：
AP＝ｔ AB， AQ＝ｔ AC ，
又由于已知和未知向量均以原点 O为起点，所以把有关向量都用以原点 O为起点的向
量来表示，是解决问题的途径所在.
解：∵PQ∥BC，且 BC
PQ ＝ｔ，有△APQ∽△ABC，且对应边比为ｔ（＝ BC
PQ ），即
AC
AQ
AB
AP ＝ｔ．
转化为向量的关系有： AP ＝ｔ AB， AQ＝ｔ AC ，又由于： AP＝OP－
OA， AQ＝OQ－OA， AB ＝OB－OA， AC ＝OC －OA .
∴OP ＝OA＋ AP＝OA＋ｔ（OB－OA）＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）＝（１－
ｔ）ａ＋ｔｂ,
OQ＝OA＋ AQ＝OA＋ｔ（OC －OA）＝ｔ（с－ａ）＋ａ＝(１－ｔ）
ａ＋ｔс.
师：下面进行课堂练习
Ⅲ.课堂练习
课本Ｐ 107练习1，2.
Ⅳ.课时小结
师：通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本
定理的简单应用.
Ⅴ.课后作业
(一)课本Ｐ 108习题 5.3 4，5，6，7
(二)1.预习Ｐ 108～Ｐ 111
2.预习提纲：
(1)平面向量的坐标表示与平面向量基本定理的关系.
(2)平面向量的坐标运算有何特点?
(3)向量平行的坐标表示是什么?
●板书设计
§5.3.2 实数与向量的积(二)
平面向量基本定理
①定理内容
②定理说明
●备课资料
1.注意图形语言的应用
用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意
进行向量语言与图形语言的互译.
［例 1］如图，已知 MN是△ABC 的中位线，求证：MN＝ 2
1
BC且 MN∥BC.
分析：首先把图形语言：M、N是AB、AC的中点翻译成向量语
言： AM ＝ 2
1 AB ， AN ＝ 2
1 AC .
然后再把向量的一种语言转化为向量的另一种语言，即
MN ＝ AN － AM ＝ 2
1 AC － 2
1 AB＝ 2
1 （ AC － AB）＝ 2
1 BC .
最后又将向量语言MN ＝ 2
1 BC翻译成图形语言就是：MN＝ 2
1 BC且 MN∥BC.
2.向量法应用
［例 2］已知？ABCD，E、F分别是 DC 和 AB 的中点，求证：
AE∥CF.
证明：因为 E、F为DC、AB的中点，
∴DE ＝ 2
1 DC ，BF ＝ 2
1 BA，
由向量加法法则可知： AE＝ AD＋DE ＝ AD＋ 2
1 DC ，CF ＝CB＋BF ＝
CB＋ 2
1 BA .
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD＝－CB，DC ＝－BA，
∴ AE ＝－CB－ 2
1 BA＝－（CB＋ 2
1 BA）＝－CF
∴ AE ∥CF ，∴AE∥CF
/3
