函数的奇偶性教案
教学目的
使学生理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的
奇偶性．
教学过程
一、引入新课
(教师用小黑板出示两题，指定两学生在黑板上各演算一
题．)
师：从上面两题的结果，我们可以得到什么启示呢？
(众生迟疑．)
师：(启发一下)当自变量互为相反数时，两函数值之间有何
关系？
生：f(－x)=f(x)，g(－x)=－g(x)．
师：对！我们还必须注意到：刚才所说的两个等式f(－
x)=f(x)，g(－x)=－g(x)是对函数定义域内任意一个x(不是某些
x)而言的．这里函数f(x)与 g(x)的定义域分别是R、{x|x∈R且
x≠0}(即为非零实数)．这是函数关系中一个很重要的性质．由它
就可从自变量取正值时函数的变化情况推断出函数在整个定义域
内的变化情况．具有这一性质的函数，当然不止这两个．因此，
有必要对这类函数作进一步的讨论．
[对学生来说，函数的奇偶性，是一个比较陌生的概念，不像
单调性那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，
安排了两个板演题，引导他们发现这一性质，以便自然地给出概
念．这也是对学生观察、分析、归纳能力的一种培养．选取函数
g(x)，是为了使学生认识到奇(偶)函数的定义域不局限于R，也
不局限于一个区间，以防止学生在认识上产生片面性．]
二、给出定义
师：这就是今天这一节课的内容．
[彩色粉笔板书课题：“函数的奇偶性”．接着，挂上事先写
好的关于奇(偶)函数的定义的小黑板，并请口齿清楚、声音宏亮的
一位同学朗读一遍，教师轻轻一同随读．]
师：前面的函数f(x)与 g(x)，就奇偶性来说，分别是什么函
数？
生：f(x)是偶函数，g(x)是奇函数．
师：对！显然，反过来，如果函数f(x)是奇函数，那么对于
函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x)；如果函数
f(x)是偶函数，那么对于函数f(x)定义域内任意一个x都有f(－
x)=f(x)．
[在这里提一下：“显然，反过来……”这一段话，既是加深
学生对奇偶性概念的理解，也是使学生明确：作为定义，它具有
纯粹性、完备性两个方面的意义．]
师：如何来判断一个函数f(x)是不是奇(偶)函数，即函数
f(x)奇偶性的基本特征是什么？
生：基本特征：等式f(－x)=－f(x)或 f(－x)=f(x)是否成立？
师：很好！基本特征是判断一个函数是不是奇(偶)函数的主
要依据，但必须注意，等式是不是对定义域 M中所有x都成立．
如果对于 M内所有的x，f(－x)=－f(x)[或
[新的概念给出后，让学生讲讲它们的特征，有助于学生深入
理解和掌握概念，有助于培养学生分析概括的能力．]
三、举例巩固
师：(出示小黑板．)
判断下列函数是否具有奇偶性：
生：(1)f(x)是偶函数；(2)f(x)是奇函数；(3)f(x)既不是奇
函数，也不是偶函数；(4)f(x)是奇函数．
师：对吗？
(众生迟疑一会)
生：(4)中 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
师：对！(面对众生)但对于(3)，f(2)=2，f(－2)=－2，有
f(－2)=－f(2)，为什么不是奇函数呢？
生：因为仅当x=±2时，有f(－x)=－f(x)，并非对于定义域
内任意一个x都有f(－x)=－f(x)．如f(1)=－2，f(－1)=－4，
因此不是奇函数，当然也不是偶函数．
师：很有道理！事实上，我们判断一个函数f(x)既不是奇函
数又不是偶函数，只
谈不上有f(－1)=－f(1)，即并不是对于函数定义域内所有x
的值，都有f(－x)=－f(x)
师：讲得好！我们在判断函数f(x)的奇偶性时，要考虑对定
义域内的任意一个x值，f(x)与 f(－x)的值是否同时存在．实际
上，就是考虑函数f(x)的定义域是否对称于原点．可见定义域对
称于原点(原点可以不在内)是奇(偶)函数必须具备的条件．
[新概念给出后，举几个典型例子，特别是似是而非的例子让
学生判别，对理解概念的含义是十分必要的．这里四个小题，主
要是让学生初步了解判断函数奇偶性的方法．对于学生在解答问
题时出现的错误，可让学生自己相互订正，并说明道理，这往往
比由教师指出更有效．]
师：判断下列函数的奇偶性：
生：都既不是奇函数，也不是偶函数．
师：对！再判断下列函数的奇偶性：
(7) f(x)=0．
生：它是偶函数．
师：为什么？
生：因为对于定义域R 内任意一个x，都有f(－x)=f(x)．
师：大家还有什么不同看法吗？
生：它还是奇函数．
师：为什么？
生：因对任意x∈R，都有f(－x)=0、－f(x)=0，即f(－x)=
－f(x)，按定义知f(x)=0是奇函数．
师：对！f(x)=0既是奇函数又是偶函数．那么还能不能举出
既是奇函数又是偶函数的函数呢？
(学生迟疑、沉思．)
生甲：有！x=0就是．
生乙：不对！x=0不满足关于函数(单值)的定义，即它不是
函数．当然不会既是奇函数又是偶函数了．这样的函数不会再有．
师：前半段话言之有理，最后一句话深思过吗？
生：(继续)倘如f(x)在定义域 M内既是奇函数又是偶函数，
必须对 M内任意一个x，都有f(－x)=－f(x)且 f(－x)=f(x)，即
应有－f(x)=f(x)，即f(x)=0．因此，除 f(x)=0以外，再也没有
其他既是奇函数又是偶函数的函数了．
(教师在黑板上书写上述等式．)
师：回答有一定道理，但美中不足的是：在最后导出
“f(x)=0”时，漏写了“x∈M”，应写为“f(x)=0(x∈M)”．由
于漏写了“x∈M”，就导致了结论的错误．请想一想：对于函数
f(x)=0(x∈[－1，1])，它的奇偶性是怎样的呢？它与f(x)=0[实
质是f(x)=0(x∈R)的简写]是同一函数吗？
生：f(x)=0(x∈[－1，1])也既是奇函数又是偶函数．因它与
f(x)=0(x∈R)的定义域不同，故不是同一函数．
f(x)=0[x∈(－a，a)，其中 a＞0]等都是．因此，既是奇函
数又是偶函数的函数有无数个．不过它们的表达式都为(或化
为)f(x)=0的形式，所不同的只是它们的定义域．
[第(7)题是让学生进一步掌握函数奇偶性的判定方法，同时
也是对函数概念的一次复习．因为对于 y=a[实质是 y=a(x∈R)]是
函数，而x=a却不是函数(不满足单值函数定义)．对此，学生并
不是都很清楚的．另外，有些学生对函数的理解，往往局限于表
达式(对应规律)上，而忽视另一要素——定义域．因此，通过这
个例子，有助于学生进一步理解函数概念．在教学中，当学生不
能发现问题的错误时，教师也不应急于指出问题所在，而仍应作
适当的启发，让学生自己发现订正．]
生甲：既不是奇函数，也不是偶函数．
师：为什么？
师：对！是否有f(－x)=±f(x)成立，对一个较复杂的表达
式来说，并不是一目了然的，对此应先将原表达式化简后再作判
断，万万不能粗心大意．
[这是学生较易犯的所谓“粗心”的毛病，必须提醒学生注
意．]
[学生各自演算：
生甲：是偶函数．
生乙：是偶函数．
师：请同学们计算f(－1))和 f(1)的值．
[教师不是急于指出错误所在，而是引导学生自己发现错
误．]
生：f(－1)=0，f(1)不存在．因为当函数
说是偶函数；对函数f(x)来说，则不是偶函数，也不是奇函
数．
师：对！说得好．所以我们在判定一个函数的奇偶性时，首
先应看它的定义域，即对于定义域内任意一个x，它的相反数－x
是否也在定义域内．给出的函数，如果未标明定义域，那么怎样
确定它的定义域呢？
生：求出使这个函数有意义的实数的集合就是此函数的定义
域．
奇函数．
[如果一个函数解析式比较复杂，且未指出其定义域，那么在判断
函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域，再决定是否需要将解析式化
简，并用函数奇偶性的定义加以判断，以免导致错误．]
五、小结
师：请同学回答：判断一个函数的奇偶性，要注意些什么？
(指定水平较高、思路清楚、善于表达的学生回答，教师再从中适当
提示．)
生：首先观察函数f(x)的定义域 M，如果 M不对称于原点，就可断
定f(x)既不是奇函数又不是偶函数；如果 M对称于原点，一般就通过计
算f(－x)后运用定义来判断；若函数式较为复杂，则要设法恒等变形将
其化简为易知其奇偶性的形式来判断；若化简后的函数式为f(x)=0，则
可断言f(x)既是奇函数又是偶函数．
六、课内练习
(出示小黑板，学生各自演算．)
1．判断下列函数的奇偶性：
2．一次函数f(x)=ax＋b在什么情况下是奇函数？
(解答无困难，结果正确，不再评讲．)
七、布置课外作业
(出示小黑板．)
1．判断函数
的奇偶性．
教案说明
(1)判断函数的奇偶性，是研究函数性质时应予以考察的一个重要
方面．它在计算函数值、探讨函数的单调性、绘制图像、求定积分等方面
均有用处，对学生来说，也是一个新概念，根据学生的接受能力，可将
这内容安排两个学时进行教学：第一学时讲奇偶性的定义及其判定方法；
第二学时介绍它的几何意义(图像对称性的两条定理)，并与研究函数的
单调性相结合．
(2)引进新概念的过程，也是培养学生探索问题、发现规律、作出归
纳的过程．因此，教学时不要生硬地提出问题，应力求顺乎自然、水到
渠成．讲新课要注意联系过去尚不甚巩固的知识，将新旧知识有机地融
合在一起．
(3)函数的奇偶性，看起来比较简单，学生学习时也往往会觉得乏
味．因此，在组织教学时，必须考虑到如何使学生感到这些浅显、平淡
的知识，还有一些值得思索与注意的地方．也就是说，要力求做到“浅
显中有新意，平淡中有隽味”，使学生“不轻视容易”．(华罗庚说过，
学数学要“不害怕困难，不轻视容易”．)这也是培养学生积极钻研精
神的一个方面．
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