两角和与差的正切教案 1
教学目的
使学生能推导并掌握两角和与差的正切公式，并能正确地运用这些
公式进行三角函数式的变换和求值；进一步培养学生的自学能力和思维
品质．
教学过程
1．按照对数学公式“三掌握”的要求阅读教科书
学生阅读“两角和与差的正切”公式的推导，教师板书：
阅毕讨论：上列关系成立吗？为什么？
结论：忽视“涉零问题”，往往得“0”分！已故著名数学家傅仲
孙先生说得好，“当教师的人，能对于‘零’谨慎小心，则受福无量
矣！”
2．对两角和与差的正切公式进行“三想”
tan2α=…
(2)联想：(i)用多种方法导出两角和与差的余切公式；学生练习及板
演；教师评价总结．
(ii)两角和与差的正、余切公式与正、余切诱导公式有何联系？
学生讨论．
(3)扩想：教师提出：
tan(α＋β＋γ)=？学生推导．
当A＋B＋C=kπ(k∈Z)，并且 tanA、tanB、tanC存在时，tanA＋tanB
＋tanC与 tanAtanBtanC有何关系？
学生推导．
上述命题的逆命题成立吗？请予证明．
3．讨论课本例题
(1)求 cot(α－β)；
(2)求α＋β的值(其中 0°＜α＜90°，90°＜β＜180°)．
要求用多种方法求值；利用三角公式求和、差角的值时，容易出现
哪些错误？
(1)它揭示了什么基本数学思想？
观察、联想、转化的思想——从某种意义上讲，解决问题的过程都是
转化的过程，如将未知转化为已知；将复杂问题转化为简单问题；将空
间问题转化为平面问题；将高次(或多元)转化为低次(或一、二元)等．
(2)对此例进行“三想”．
75°→15°(特想)
课后查阅教材中的题目，有哪些可以利用此例的结果来解决？
(3)此例培养了什么思维品质？
教师讲述：此例是培养逆向思维的一个典型例子．大家也许见过训
练和考核汽车驾驶员吧．在训练场划的限道线上竖着两列竹杆，考核者
不但要看驾驶员向前开车是否笔直行驶，更要看向后倒车是否碰倒竹杆．
事物之间都是普遍联系的，“思维”这种高级活动也是这样．对于思维
训练有素的人不但正向思维流畅，而且逆向思维同样敏捷．
逆向思维的材料已屡见不鲜．如逆命题、逆运算、逆映射、反函数等
等．
此例中涉及到一个重要的数“1”．许多数学表达式的值等于 1．不
过，人们很少反过来思考，即 1能写成哪些数学表达式．
如：1=sin2α＋cos2α=(sin2α＋cos2α)n(n∈N)，…
现在再请大家重做前一章的一道复习题：
求证 1－(cos6x＋sin6x)=3sin2xcos2x．
如果能够想到 1=(cos2x＋sin2x)3及(a±b)3=a3±b3±3ab(a±b)，那么
问题就迎刃而解了．
[例 3] 设 tanα、tanβ是一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(b≠0)的两个根
求 cot(α＋β)的值．
学生练习、看书，并讨论：
(1)教科书上的解法完美无缺吗？
(2)从此例中你能得到什么结论？
必要时，可向学生指出教科书上的一行推导：
这里又有一个“涉零问题”，分母 tan(α＋β)≠0且存在．题设条
件能够保证这一点吗？
事实上，
而
这是题设没有的条件！
当 a≠c时，
∵a≠0，
正确的解法应该是：
当 a=c时，依前所述，得
于是
当 a≠c时，就是教科书上的解法．
综上所述，均得
结论：这是一个含参变量(此处参变量是 a、b、c)的问题．对于含参
变量的问题要注意分类讨论！逻辑分类问题在教材中已多次出现，应引
起重视．
教案说明
本节课使用的是“反馈控制台阶式教学法”．它是在多年实践基础
上，应用辩证唯物主义认识论、信息论、控制论和系统工程论的观点，并
博采众家之长，逐步形成的．其目的在于培养学生的自学能力及思维品
质．使学生掌握基本的数学思想和方法，以期收到教师少讲，学生多学
的效果．具体做法是：教师按照教科书的知识结构先设计若干问题(称
之为“知识台阶”)，课前印发给学生，引导他们阅读教科书；课堂上
在教师三导(引导、指导、辅导)下，以学生为主体，对所设问题进行读、议、
练、讲．其间教师通过提问，参与讨论、巡视学生练习及板演，观察学生
情绪诸渠道，及时搜集反馈信息，及时做出评价，再发指令，使教学过
程处于动态平衡之中．随着时间的推移，逐步指导学生自己设计“知识
台阶”并进行自学．我们提出自学的口诀是：“遇到疑难划问号，重点
下面画横道，推求过程注根据，学有心得记体会．”对于每类数学问题，
我们都提出了自学的具体方法．比如对于数学公式的学习提出了三个
“三”：“三掌握”、“三会用”和“三想”．
“三掌握”是指：
(1)公式是如何推导出来的？有何用处？
(2)公式成立的条件(特别是隐含条件)是什么？公式有何变形？又有
何用处？
(3)它能用其他方法推导出来吗？如何记忆？
“三会用”是指：
(1)从左到右会用(正向思维)；
(2)从右到左会用(逆向思维)；
(3)左右变形会用(发散思维)．
“三想”是指：
特想、联想、扩想．
为了让学生在学习数学的过程中提高多方面的能力，教师应着重抓
些什么呢？我们认为应突出抓好“三基”教学．这“三基”是：数学基
础知识；基本数学思想；基本数学方法．可以这样认为：数学基础知识
及基本数学方法好像是“数学机体”的“肌肉”、“骨骼”与“血液”，
而基本数学思想犹如这种机体的“神经”．
应用“反馈控制台阶式教学法”，着力于培养自学能力以及进行数
学“三基”教育，是我们目前进行的教学改革的出发点及归宿．
我们采用的教法可以说是“开放式”的．对于设计的每个问题，学
生如何思考，如何回答，都有随机性，加之我们鼓励学生提问，即兴发
言，其随机性就更大了．虽然经验使教师事先有种种考虑，然而意料之
外的争议与议论却经常出现．这就使得我们的教案到此只完成了一部分，
另外部分尚需课后进行修改与补充．
应用这种教法既发展了学生的思维，也提高了教师的水平．那种
“青出于蓝而胜于蓝，冰水为之而寒于水”的事例不时出现，这也是
“教学相长”吧！
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