0 0 类别 : 试卷

一、选择题 1、（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经 x秒后的高度为 y公尺，且时间与高度关系为 y=ax2bx。若此炮 弹在第 7秒与第 14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？ (A) 第 8秒 (B) 第 10秒 (C) 第 12秒 (D) 第 15秒 。 【关键词】二次函数极值 【答案】B 2、（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数 22xy  的图象向上平移 2个单位，所得图象的解 析式为 A． 22 2  xy B． 22 2  xy C． 2)2(2  xy D． 2)2(2  xy 【关键词】二次函数图像的平移。 【答案】B 3、 (2009 年四川省内江市)抛物线 3)2( 2  xy 的顶点坐标是（ ） A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3） 【关键词】二次函数的顶点坐标. 【答案】A 4、（2009年长春）如图，动点 P从点 A出发，沿线段 AB运动至点 B后，立即按原路返回，点 P在运动过 程中速度大小不变，则以点 A为圆心，线段 AP长为半径的圆的面积 S与点 P的运动时间 t之间的函数图 象大致为（ ） 5、（2009年桂林市、百色市）二次函数 2( 1) 2y x   的最小值是（ ）． A．2 B．1 C．－3 D． 23 【关键词】二次函数的极值问题 【答案】A 6、(2009年上海市)抛物线 22( )y x m n   （m n， 是常数）的顶点坐标是（ ） A． ( )m n， B． ( )m n ， C． ( )m n， D． ( )m n ， 【关键词】抛物线的顶点 【答案】B 7、(2009年陕西省)根据下表中的二次函数 cbxaxy  2 的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函 数的图像与x轴 【 】 x … －1 0 1 2 … y … －1 4 7 －2 4 7 … A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧 C．有两个交点，且它们均在y轴同侧 D．无交点 【关键词】二次函数的图象 【答案】B 8、（2009威海）二次函数 23 6 5y x x    的图象的顶点坐标是（　　） A． ( 18) ， B． (18)， C． ( 1 2) ， D． (1 4)， 【关键词】抛物线顶点 【答案】A 9、（2009湖北省荆门市）函数 y=ax＋1与 y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ） O S t O S t O S t O S t A P B A． B． C． D． （第 8题） 解析：本题考查函数图象与性质，当 0a  时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D是错的，函 数 y=ax＋1与 y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象必过（0，1），所以 C是正确的，故选 C． 【关键词】函数图象与性质 【答案】C 10、（2009年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ） A、y=x2-x-2 B、y= 12 1 2 1 2  x C、y= 12 1 2 1 2  xx D、y= 22  xx 【关键词】二次函数 2y ax bx c   （a≠0）与a，b，c的关 系 【答案】D 11、（2009 年齐齐哈尔市）已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象如图所示，则下列结论： 0ac ① ；②方程 2 0ax bx c   的两根之和大于 0； y③ 随 x的增大而增大；④ 0a b c   ，其中 正确的个数（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【关键词】二次函数 2y ax bx c   （a≠0）与a，b，c的关系、二次函数的图象 【答案】C 12、（2009 年深圳市）二次函数 cbxaxy  2 的图象如图 2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它 图象上的两点，则 y1与 y2的大小关系是（ ） A． 21 yy  B． 21 yy  C． 21 yy  D．不能确定 【关键词】二次函数 2y ax bx c   （a≠0）与a，b，c的关系 【答案】C 12、（2009桂林百色）二次函数 2( 1) 2y x   的最小值是（ ）． A．2 B．1 C．－3 D． 23 【关键词】二次函数、最值 【答案】A A． 　 B． C． 　　　　 D． 1 1 1 1 xo yy o x y o xxo y x y O 1 13、（2009丽水市）已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ① a＞0. ②该函数的图象关于直线 1x  对称. ③当 1 3x x  或 时，函数 y的值都等于 0. 其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【关键词】二次函数的图像 【答案】B 14、（2009烟台市）二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，则一次函数 2 4y bx b ac   与反比例 函数 a b cy x   在同一坐标系内的图象大致为（ ） 【关键词】二次函数的图像与系数之间的关系 【答案】D 15、（2009年甘肃庆阳）图 6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l时，拱顶（拱桥洞的最 高点）离水面 2m，水面宽 4m．如图 6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　） A． 22y x  B． 22y x C． 212y x  D． 21 2y x 【关键词】二次函数的应用 【答案】C 16、（2009年甘肃庆阳）将抛物线 22y x 向下平移 1个单位，得到的抛物线是（　　） A． 22( 1)y x  B． 22( 1)y x  C． 22 1y x  D． 22 1y x  【关键词】二次函数和抛物线有关概念 【答案】D 17、（2009年广西南宁）已知二次函数 2y ax bx c   （ 0a  ）的图象如图 4所示，有下列四个结论： 20 0 4 0b c b ac   ①②③ ④ 0a b c   ，其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1 1O x y 图 6 （ 1 ） 图 6（ 2） y xO y xO B ． C ． y xO A ． y xO D ． O 【关键词】二次函数 2y ax bx c   （a≠0）与a，b，c的关系 【答案】C 18、(2009 年鄂州)已知=次函数y＝ax 2 +bx+c的图象如图．则下列 5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c， 2a+b，2a－b中，其值大于 0的个数为（ ） A．2 B 3 C、4 D、5 【关键词】二次函数 2y ax bx c   （a≠0）与a，b，c的关系 【答案】A 19、（2009年孝感）将函数 2y x x  的图象向右平移 a ( 0)a  个单位，得到函数 2 3 2y x x   的图象， 则 a的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【关键词】二次函数图象的平移 【答案】B 20、（2009泰安）抛物线 182 2  xxy 的顶点坐标为 （A）（-2，7） （B）（-2，-25） （C）（2，7） （D）（2，-9） 【关键词】抛物线的顶点 【答案】C。 21、（2009年烟台市）二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，则一次函数 2 4y bx b ac   与反比 例函数 a b cy x   在同一坐标系内的图象大致为（ ） 【关键词】一次函数、反比例函数与二次函数之间的有关系 【答案】D. 22、（2009年嘉兴市）已知 0a ，在同一直角坐标系中，函数 axy  与 2axy  的图象有可能是（　▲ 　） 1 图 4 O x y 3 1 1O x y y xO y xO B ． C ． y xO A ． y xO D ． O y x1 1 A ． x y O1 1 B ． x y O1 1 C ． x y O1 1 D ． 【关键词】一次函数、二次函数之间的关系 【答案】C 23、（2009年新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（ ） A．h m B． k n C． k n D． 0 0h k ， 【关键词】二次函数的对称轴 【答案】B 24、（2009年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线 2 2y x x   关于 x轴作轴对称变换，再将所 得的抛物线关于 y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A． 2 2y x x    　　B． 2 2y x x    C． 2 2y x x    　　D． 2 2y x x   【关键词】二次函数的解析式 【答案】C 25、（2009年南宁市）已知二次函数 2y ax bx c   （ 0a  ）的图象如图所示，有下列四个结论： 20 0 4 0b c b ac   ①②③ ④ 0a b c   ，其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【关键词】二次函数 2y ax bx c   （a≠0）与a，b，c的关系 【答案】C 26、（2009年衢州）二次函数 2( 1) 2y x   的图象上最低点的坐标是 A．(-1，-2) 　B．(1，-2)　　C．(-1，2) 　D．(1，2) 【关键词】抛物线顶点和对称轴 【答案】B 27、（2009年舟山）二次函数 2( 1) 2y x   的图象上最低点的坐标是 A．(-1，-2) 　B．(1，-2)　　C．(-1，2) 　D．(1，2) 【关键词】抛物线顶点和对称轴 【答案】B 28、（2009年广州市）二次函数 2)1( 2  xy 的最小值是（ ） A.2 （B）1 （C）-1 （D）-2 【关键词】二次函数 【答案】A 29、（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数 2y ax bx c   的图象中，观察得出了下面五条信息： （1） 0a  ；（2） 1c  ；（3） 0b  ；（4） 0a b c   ； （5） 0a b c   . 你认为其中正确 信息的个数有 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【关键词】二次函数 【答案】C 30、（2009年广西钦州）将抛物线 y＝2x2向上平移 3个单位得到的抛物线的解析式是（ ） A．y＝2x2＋3 B．y＝2x2－3 C．y＝2（x＋3）2 D．y＝2（x－3）2 【关键词】二次函数的图像 【答案】A 31、(2009宁夏)二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象如图所示，对称轴是直线 1x  ，则下列四个结论 错误的是（ ）D A． 0c  B．2 0a b  C． 2 4 0b ac  D． 0a b c   【关键词】二次函数的图象 【答案】D 32、(2009年南充)抛物线 ( 1)( 3)( 0)y a x x a    的对称轴是直线（ ） A． 1x  B． 1x   C． 3x   D． 3x  【关键词】抛物线的对称轴 【答案】A 33、(2009年湖州)已知图中的每个小方格都是边长为 1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你 在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过 81个格点中的多少个？（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【关键词】抛物线 【答案】C 34、（2009年兰州）在同一直角坐标系中，函数 y mx m  和函数 2 2 2y mx x    （m是常数，且 0m  ）的图象可能是 【关键词】一次函数与 二次函数的图像和性 质 【答案】D 3 5、（2009年兰州）把 抛物线 2y x  向左平移 1个单位，然后向上平移 3个单位，则平移后抛物线的解析式为 1 21 1 O 1 x y （第12题） 1 1 1 O x y （ 8 题 图） A． 2( 1) 3y x    B． 2( 1) 3y x    C． 2( 1) 3y x    D． 2( 1) 3y x    【关键词】二次函数的图像和性质、平移 【答案】D 36、（2009年兰州）二次函数 cbxaxy  2 的图象如图 6所示， 则下列关 系式不正确的是 A． a ＜0 B. abc＞0 C. cba  ＞0 D. acb 42  ＞0 【关键词】二次函数的图像和性质与系数 a,b,c之间的关系 【答案】C 37、（2009年遂宁）把二次函数 34 1 2  xxy 用配方法化成   khxay  2 的形式 A.   224 1 2  xy B.   424 1 2  xy C.   424 1 2  xy D. 32 1 2 1 2     xy 【关键词】二次函数的图像的解析式 【答案】D 39、（2009年广州市）二次函数 2)1( 2  xy 的最小值是（ ） A.2 （B）1 （C）-1 （D）-2 【关键词】二次函数 【答案】A 40、（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数 2y ax bx c   的图象中，观察得出了下面五条信息： （1） 0a  ；（2） 1c  ；（3） 0b  ；（4） 0a b c   ； （5） 0a b c   . 你认为其中正确 信息的个数有 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【关键词】二次函数 【答案】C 41、（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经 x秒后的高度为 y公尺，且时间与高度关系为 y=ax2bx。若此炮 弹在第 7秒与第 14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？ (A) 第 8秒 (B) 第 10秒 (C) 第 12秒 (D) 第 15秒 。 【关键词】二次函数极值 【答案】B 42、(2009 年河北)某车的刹车距离 y（m）与开始刹车时的速度 x（m/s）之间满足二次函数 2120y x （x ＞0），若该车某次的刹车距离为 5 m，则开始刹车时的速度为（ ） A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s 1 21 1 O 1 x y （第12题） 【关键词】二次函数的运算 【答案】C 43、（2009年湖北荆州）抛物线 23( 1) 2y x   的对称轴是（ ） A． 1x  B． 1x   C． 2x  D． 2x   【关键词】二次函数对称轴 【答案】 44、（2009年新疆乌鲁木齐市）要得到二次函数 2 2 2y x x    的图象，需将 2y x  的图象（ ）． A．向左平移 2个单位，再向下平移 2个单位 B．向右平移 2个单位，再向上平移 2个单位 C．向左平移 1个单位，再向上平移 1个单位 D．向右平移 1个单位，再向下平移 1个单位 【关键词】二次函数和抛物线有关概念 【答案】D 45、（2009年黄石市）已知二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，有以下结论：① 0a b c   ；② 1a b c   ；③ 0abc  ；④4 2 0a b c   ；⑤ 1c a  其中所有正确结论的序号是（ ） A．①② B． ①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【关键词】二次函数 2y ax bx c   （a≠0）与a，b，c的关系 【答案】C 46、（2009 黑龙江大兴安岭）二次函数 )0(2  acbxaxy 的图象如图，下列判断错误的是 （ ） A． 0a B． 0b C． 0c D． 042  acb 【关键词】二次函数 2y ax bx c   （a≠0）与a，b，c的关系 【答案】B 47、（ 2009 年枣庄市）二次函数 cbxaxy  2 的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ） A．a＜0 B．c＞0 C． acb 42  ＞0 D． cba  ＞0 【关键词】二次函数 2y ax bx c   （a≠0）与a，b，c的关系 【答案】D 二、填空题 1 1 1 O x y 第 11题图 y xO 1－ 1 1、（2009年北京市）若把代数式 2 2 3x x  化为   2x m k  的形式，其中 ,m k为常数，则m k = . 【关键词】配方法 【答案】-3 2、（2009年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（ 12 ， 1 4 ），且图象与 x轴的另一交点到原 点的距离为 1，则该二次函数的解析式为 【关键词】二次函数和抛物线有关概念，待定系数法 【答案】 2y x x  ， 21 13 3y x   3、已知二次函数的图象经过原点及点（ 12 ， 1 4 ），且图象与 x轴的另一交点到原点的距离为 1，则该 二次函数的解析式为 ． 【关键词】待定系数法 【答案】 2y x x  ， 21 13 3y x   4、（2009年郴州市）抛物线 23( 1) 5y x= - - + 的顶点坐标为__________． 【关键词】二次函数的顶点坐标 【答案】 (1 5)， 5、(2009年上海市)12．将抛物线 2 2y x  向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的 表达式是 ． 【关键词】抛物线的平移 【答案】 12 xy 6、（2009 年内蒙古包头）已知二次函数 2y ax bx c   的图象与 x轴交于点 ( 2 0) ， 、 1( 0)x， ，且 11 2x  ，与 y轴的正半轴的交点在 (0 2)， 的下方．下列结论：① 4 2 0a b c   ；② 0a b  ；③ 2 0a c  ；④2 1 0a b   ．其中正确结论的个数是 个． 【答案】4 【解析】本题考查二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系筀等知识和数形结合能力。根据题 意画大致图象如图所示，由 2y ax bx c   与X轴的交点坐标为(-2,0)得    22 2 0a b c       ，即 4 2 0a b c   所以①正确； 由图象开口向下知 0a  ，由 2y ax bx c   与X轴的另一个交点坐标为  1,0x 且 11 2x  ，则该抛物 线的对称轴为   12 12 2 2 xbx a       由 a<0得 b>a,所以结论②正确， 由一元二次方程根与系数的关系知 1 2. 2cx x a   ，结合 a<0得2 0a c  ，所以③结论正确， 由4 2 0a b c   得2 2 ca b   ，而 0<c<2,，∴ 1 02 c    ∴-1<2a-b<0 ∴2a-b+1>0,所以结论 ④正确。 点拨：　4 2 0a b c   是否成立，也就是判断当 2x   时， 2y ax bx c   的函数值是否为 0； 判断 2y ax bx c   中 a符号利用抛物线的开口方向来判断，开口向上 a>0,开口向下 a<0;判断 a、b的小 关系时，可利用对称轴 2 bx a  的值的情况来判断；判断 a、c的关系时，可利用由一元二次方程根与系 数的关系 1 2. cx x a 的值的范围来判断；2a-b+1的值情况可用4 2 0a b c   来判断。 7、（2009襄樊市）抛物线 2y x bx c    的图象如图 6所示，则此抛物线的解析式为 ． 解析：本题考查二次函数的有关知识，由图象知该抛物线的对称轴是 1x  ，且过点（3，0），所以 12 9 3 0 b b c         ，解得 2 3 b c   ，所以抛物线的解析式为 2 2 3y x x    ， 故填 2 2 3y x x    。 【关键词】函数解析式 【答案】 2 2 3y x x    8、（2009湖北省荆门市）函数 ( 2)(3 )y x x   取得最大值时， x  ______． 解析：本题考查二次函数的最值问题，可以用配方法或二次函数顶点坐标公式求出当 x为何值时二次函数 取得最大值，下面用配方法， 2 2 5 49( 2)(3 ) 5 6 2 4y x x x x x               ，所以当 5 2x  时，函数 ( 2)(3 )y x x   取得最大值，故 填 52 【关键词】二次函数最值 【答案】 52 9、（2009年淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ． ①过点 (31)，； ②当 0x  时，y随 x的增大而减小； ③当自变量的值为 2时，函数值小于 2． 答案：如 21 3 1 523 6 2y x y y xx      ，， 10、（2009年贵州省黔东南州）二次函数 322  xxy 的图象关于原点 O（0, 0）对称的图象的解析式 是_________________。 【关键词】待定系数法 【答案】 322  xxy 11、（2009 年齐齐哈尔市）当 x  _____________时，二次函数 2 2 2y x x   有最小值． 【关键词】二次函数的极值问题 【答案】 1 　 12、（2009年娄底）如图 7，⊙O的半径为 2，C1是函数 y= 12 x 2的图象，C2是函数 y=- 12 x 2的图象，则阴影 部分的面积是 . y xO 3 x=1 图 6 【关键词】对称性、圆的面积 【答案】2π 13、（2009年甘肃庆阳）图 12为二次函数 2y ax bx c   的图象，给出下列说法： ① 0ab  ；②方程 2 0ax bx c   的根为 1 21 3x x  ， ；③ 0a b c   ；④当 1x  时，y随 x值的 增大而增大；⑤当 0y  时， 1 3x   ． 其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号） 【关键词】二次函数 2y ax bx c   （a≠0）与a，b，c的关系 【答案】①②④ 14、(2009 年鄂州)把抛物线 y＝ax 2 +bx+c的图象先向右平移 3个单位，再向下平移 2个单位，所得的图 象的解析式是 y＝x 2 －3x+5，则 a+b+c=__________ 【关键词】二次函数图象的平移 【答案】11 15、（2009白银市）抛物线 2y x bx c    的部分图象如图 8所示，请写出与其关系式、图象相关的 2 个正确结论：　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　．（对称轴方程，图象与 x正半轴、y轴交点 坐标例外） 【关键词】二次函数 2y ax bx c   （a≠0）与a，b，c的关系、二次函数与一元二次方程根之间的内在联 系、二次函数与一元二次不等式的关系 【答案】答案不唯一．如：① c=3；② b+c=1；③ c-3b=9；④ b=-2；⑤抛物线的顶点为（-1，4），或二次 函数的最大值为 4；⑥方程-x2+bx+c=0的两个根为-3，1；⑦ y>0时，-3<x<1；或 y<0时，x<-3或 x>1； ⑧当 x>-1时，y随 x的增大而减小；或当 x<-1时，y随 x的增大而增大．等等 16、(2009年甘肃定西)抛物线 2y x bx c    的部分图象如图 8所示，请写出与其关系式、图象相关的 2 个正确结论：　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　．（对称轴方程，图象与 x正半轴、y轴交点 坐标例外） 【关键词】二次函数的图像 【答案】答案不唯一. 17、（2009年包头）将一条长为 20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形， 则这两个正方形面积之和的最小值 是 cm2． 【关键词】面积、最小值 答案： 252 或12.5 18、（2009年包头）已知二次函数 2y ax bx c   的图象与 x轴交于点 ( 2 0) ， 、 1( 0)x， ，且 11 2x  ，与 y轴的正半轴的交点在 (0 2)， 的下方．下列结论：① 4 2 0a b c   ；② 0a b  ；③ 2 0a c  ；④ 2 1 0a b   ．其中正确结论的个数是 个． 【关键词】二次函数 答案：4 19、（2009年莆田）出售某种文具盒，若每个获利 x元，一天可售出  6 x 个，则当 x  元时， 一天出售该种文具盒的总利润 y最大． 【关键词】二次函数、最大值 答案：3 20、(2009年本溪)如图所示，抛物线 2y ax bx c   （ 0a  ）与 x轴的两个交点分别为 ( 1 0)A  ， 和 (2 0)B ， ，当 0y  时， x的取值范围是 ． 【关键词】二次函数 【答案】 1x   或 2x  21． (2009 年湖州 )已知抛物线 2y ax bx c   （ a＞ 0）的对称轴为直线 1x  ，且经过点    21 2y y 1，，， ，试比较 1y 和 2y 的大小： 1y _ 2y （填“>”，“<”或“=”） 【关键词】二次函数的性质 【答案】＞ 22、（2009年兰州）二次函数 223y x 的图象如图 12所示，点 0A 位 于坐 标 原点， 点 1A ， 2A ， 3A ，…， 2008A 在 y轴的正半轴上，点 1B ， 2B ， 3B ，…， 2008B 在二次函数 223y x 位于第一象限的图象上， 若△ 0 1 1A B A ,△ 1 2 2A B A ，△ 2 3 3A B A ，…，△ 2007 2008 2008A B A 都为等边三角形，则△ 2007 2008 2008A B A 的边长＝ . 【关键词】二次函数的图像和性质与三角形面积 【答案】2008 23、（2009年北京市）若把代数式 2 2 3x x  化为   2x m k  的形式， xy (12,36) O 其中 ,m k为常数，则m k = . 【关键词】配方法 【答案】-3 24．(2009年咸宁市 )已知 A、 B是抛物线 2 4 3y x x   上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对 称，则点 A、B的坐标可能是_____________．（写出一对即可） 【关键词】二次函数的对称轴 【答案】(1,0),(3,0) 25、（2009年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（ 12 ， 1 4 ），且图象与 x轴的另一交点到原 点的距离为 1，则该二次函数的解析式为 ． 【关键词】二次函数解析式 【答案】 2y x x  ， 21 13 3y x   26、（2009年黄石市）若抛物线 2 3y ax bx   与 2 3 2y x x    的两交点关于原点对称，则 a b、 分 别为 ． 【关键词】待定系数法；二元一次方程组的解法 【答案】 3,2 3 27、（2009 黑龙江大兴安岭）当 x 时，二次函数 222  xxy 有最小值． 【关键词】抛物线顶点和对称轴 【答案】-1 三、解答题 1、（2009年株洲市）如图 1，Rt ABC 中， 90A  ， 3tan 4B  ，点P在线段 AB上运动，点Q、R 分别在线段 BC、 AC上，且使得四边形 APQR是矩形．设 AP的长为 x，矩形 APQR的面积为 y，已 知 y是 x的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）． （1）求 AB的长； （2）当 AP为何值时，矩形 APQR的面积最大，并求出最大值． 为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论： 张明：图 2中的抛物线过点（12，36）在图 1中表示什么呢？ 李明：因为抛物线上的点 ( , )x y 是表示图 1 中 AP的长与矩形 APQR面积的对应关系，那么， （12，36）表示当 12AP  时， AP的长与矩形 APQR面积的对应关系. 赵明：对，我知道纵坐标 36是什么意思了！ 孔明：哦，这样就可以算出 AB，这个问题就可以解决了. 请根据上述对话，帮他们解答这个问题. R Q P C BA 图 1 图 2 【关键词】二次函数最值 【答案】（1）当 12AP  时， 36AP PQ  ∴ 3PQ  ， 又在Rt BPQ 中， 3tan 4B  ，∴ 3 4 PQ PB  ∴ 4PB  ∴ 16AB  ， （ 2 ） 解 法 一 ： 若 AP x ， 则 16PB x  ， 3 (16 )4PQ x  ， ∴ 3 (16 )4y x x  ， 整 理 得 23 ( 8) 484y x    ，∴ 当 8x  时， 48y最大值＝ . 解法二：由 16AB  ，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0）、（12，36），可设抛物线解析式 为 ( 16)y ax x  ，将（12，36）代入求得 34a   ，∴ 3 ( 16)4y x x   ，整理得 23 ( 8) 484y x    ， ∴ 当 8x  时， 48y最大值＝ . 解法三：由 16AB  ，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0），知抛物线对称轴为 8x  ，∴抛 物线顶点的横坐标为 8.∴当 8AP  时，矩形 APQR的面积最大，此时， 8PB  ，∴ 38 64PQ    ， ∴最大面积为 48. 2、（2009年株洲市）已知 ABC 为直角三角形， 90ACB  ， AC BC ,点 A、C在 x轴上，点B坐 标为（3，m）（ 0m  ），线段 AB与 y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D． （1）求点 A的坐标（用m表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q为抛物线上点 P至点 B之间的一动点，连结 PQ并延长交 BC于点 E，连结 BQ并延长交 AC于点F ，试证明： ( )FC AC EC 为定值． 【关键词】二次函数的综合题 y x Q P F E D C B A O 【答案】（1）由 (3, )B m 可知 3OC  ， BC m ，又△ABC为等腰直角三角形，∴ AC BC m  ， 3OA m  ，所以点 A的坐标是（3 ,0m ）. （2）∵ 45ODA OAD     ∴ 3OD OA m   ，则点D的坐标是（0, 3m  ）. 又抛物线顶点为 (1,0)P ，且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为： 2( 1)y a x  ，得： 2 2 (3 1) (0 1) 3 a m a m       解得 1 4 a m   ∴抛物线的解析式为 2 2 1y x x   ， （3）过点Q作QM AC 于点M ，过点Q作QN BC 于点 N ，设点Q的坐标是 2( , 2 1)x x x  ，则 2( 1)QM CN x   ， 3MC QN x   . ∵ //QM CE ∴ PQM ∽ PEC ∴QM PMEC PC 即 2( 1) 1 2 x x EC   ，得 2( 1)EC x  ∵ //QN FC ∴ BQN ∽ BFC ∴QN BNFC BC 即 23 4 ( 1) 4 x x FC    ，得 4 1FC x  又∵ 4AC  ∴ 4 4 4( ) [4 2( 1)] (2 2) 2( 1) 81 1 1FC AC EC x x xx x x            即 ( )FC AC EC 为定值 8. 3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童 装开始时的售价为每件 20元，并且每周（7天）涨价 2元，从第6周开始，保持每件 30元的稳定价格销 售，直到 11周结束，该童装不再销售。 （1）请建立销售价格 y（元）与周次x之间的函数关系； （2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价 z（元）与周次 x 之间的关系为 12)8(8 1 2  xz ， 1≤ x ≤11，且 x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最 大？并求最大利润为多少？ 【关键词】二次函数极值 【答案】【答案】（1） 20 2( 1) 2 18 30 x xy      (1 6)( 11)( ) x x x x     为整数) (6为整数 （2）设利润为w 2 2 2 2 1 120 2( 1) ( 8) 12 14(1 6)8 8 1 130 ( 8) 12 ( 8) 18(6 11)8 8 ( y z x x x x xw y z x x x x                        为整数 为整数) 21 148w x  当 5x  时， 117 (8w 最大 元) 21 ( 8) 188w x   当 11x  时， 1 19 18 1 188 8w     最大 119 ( )8 元 综上知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件 119 8元. 4、（2009年重庆市江津区）如图，抛物线 cbxxy  2 与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交 y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC的周长最小？ 若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点 P的 坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由. 【关键词】与二次函数有关的面积问题 【答案】解：（1）将A（1，0）B（-3，0）代入 2y x bx c    中得 1 0 9 3 0 b c b c         ，∴ 2 3 b c    ∴抛物线解析式为： 2 2 3y x x    （2）存在 理由如下：由题意知 A、B两点关于抛物线的对称轴 1x   对称，∴直线 BC与 1x   的交点即为 Q点， 此时△AQC周长最小，∵ 2 2 3y x x    ，∴C的坐标为：（0，3），直线 BC解析式为 3y x  Q点坐标即为 1 3 x y x     的解，∴ 1 2 x y    ，∴Q（-1，2） 5、（2009年滨州）某商品的进价为每件 40元．当售价为每件 60元时，每星期可卖出 300件，现需降价 处理，且经市场调查：每降价 1元，每星期可多卖出 20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价 x元、每星期售出商品的利润为 y元，请写出 y与 x的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ （3）请画出上述函数的大致图象． 【关键词】二次函数的实际应用. 【答案】（1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=- 600010020 2  xx ,0≤x≤20； （2）y=-20 6135)5.2( 2 x ,∴当x==2.5元,每星期的利润最大，最大利润是6135元；（3）图像略. 6、（2009年滨州） 如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形 ABCD中， AB DC∥ ， 20cm 30cm 45AB DC ADC   ，，° ．对于抛物线部分，其顶点为CD 的中点O，且过 A B、 两点，开口终端的连线MN平行且等于DC ． （1）如图①所示，在以点O为原点，直线OC为 x轴的坐标系内，点C的坐标为 (15 0)， ， 试求 A B、 两点的坐标； （2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）； （3）现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为 3cm的保护膜，如图②， 请在图中补充完整镀膜部分的示意图，并求出镀膜的外围周长． 第 26题图 AB C N B CD A M y x （第 4题图①） ） O A B CD （第 4题图②） ）） ） 20cm30cm45° 【关键词】二次函数与等腰梯形. 【答案】（1）A（-10，5），B（10，5）；(2) 7、 (2009 年四川省内江市)如图所示，已知点 A（－1，0），B（3，0），C（0， t），且 t＞ 0，tan∠BAC=3，抛物线经过A、B、C三点，点 P（2，m）是抛物线与直线 )1(:  xkyl 的一个交点。 （1）求抛物线的解析式； （2）对于动点Q（1，n），求 PQ+QB的最小值； （3）若动点M在直线 l上方的抛物线上运动， 求△AMP的边AP上的高 h的最大值。 【关键词】二次函数，三角函数. 【答案】解：（1）由A（-1，0）知AO=1，由 tan∠BAC=3， 得 CO=3AO=3， ∴t=3 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3),将点 C（0，3）坐标代入得 a=-1 ∴所求解析式为 y=-x2+2x+3 （2）m=-22+2×2+3=3, P(2,3) 动点Q（1，n)在直线 x=1上运动，点 B（3，0）关于直线 x=1的对称点为A（-1，0） ∴PQ+QB=PQ+QA∴PQ+QB的最小值为 PA= 22 3)]1(2[  = 23 （3）将点 P（2，3）的坐标代入 y=k(x+1)得 k=1 ∴直线 l的解析式为 y=x+1 ∴AP在 l上. 设M（x,-x2+2x+3)，过M作 y轴的平行线交AP于D，则D（x,x+1), MD=(-x2+2x+3)-(x+1)=-x2+x+2 S△AMP=S△AMD+S△PMD=12(-x2+x+2)(x+1)+ 2 1 (-x2+x+2)(2-x)= 2 3 (-x2+x+2) ∴h= AP S AMP2 = 23 3 (-x2+x+2) = 2 2 (-x2+x+2) = 2 2 [-(x- 2 1 )2+ 4 9 ] ∴当 x= 2 1 时，h的最大值为 8 29 8、（2009仙桃）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线 BD与抛物线交于点 P，点A的坐标为(0，2)，AB＝4． (1)求抛物线的解析式； (2)若 S△APO＝ 2 3 ，求矩形ABCD的面积． 【关键词】二次函数，矩形. 【答案】解：（1）∵A（0，2），AB=4，∴B（4，2） ∵抛物线 2y x bx c   过A、B两点 ∴ 2, 16 4 2 c b c     ，解得 4, 2 b c    ∴抛物线的解析式为 2 4 2.y x x   （2）过 P点作PE⊥ y轴于点 E，∵ 32APOS V ， 1 3 2 2OA PE g ∵OA=2，∴ 32PE  .∵点 P 在抛物线 2 4 2y x x   上，∴当 32x  时， 7 4y   .∴P 点坐标为. 3 7( , )2 4 设直线BD的解析式为 y kx b  ∵直线BD过 P、B两点， ∴ 4 2, 3 7 2 4 k b k b      解得 3 ,2 4 k b     ∴直线BD的解析式为 3 42y x  . 当 0x  时， 4y   ，∴D（0，－4），∴AD=2+4=6.∴ 4 6 24.ABCDS   矩形 （3）答：存在 理由如下：设P点 2( , 2 3)x x x   ( 3 0)x   ，∵ BPC BOCBPCOS S S  四边形 = 92BPCOS 四边形 若 BPCOS四边形 有最大值，则 BPCS 就最大，过 P点作 PE⊥ x轴于 E，∴ Rt BPEBPCO PEOCS S S 四边形直角梯形 1 1 ( )2 2BE PE OE PE OC    2 21 1( 3)( 2 3) ( )( 2 3 3)2 2x x x x x x           23 3 9 27( )2 2 2 8x     ，当 3 2x   时， BPCOS四边形 最大= 9 27 2 8 ∴ BPCS 最大= 9 27 9 272 8 2 8   ，当 3 2x   时， 2 152 3 4x x    ，∴点 P坐标为 3 15( , )2 4 . 9、（2009年长春）如图，直线 3 64y x   分别与 x轴、y轴交于 A B、 两点， 直线 54y x 与 AB交于点C，与过点 A且平行于 y轴的直线交于点D．点 E从点 A出发，以每秒 1个单位的速度沿 x轴向左运动．过点 E作 x轴的垂 线，分别交直线 AB OD、 于 P Q、 两点，以 PQ为边向右作正方形 PQMN， 设正方形PQMN与 ACD△ 重叠部分（阴影部分）的面积为 S（平方单位）． 点E的运动时间为 t（秒）． （1）求点C的坐标．（1分） （2）当0 5t  时，求 S与 t之间的函数关系式．（4分） （3）求（2）中 S的最大值．（2分） （4）当 0t  时，直接写出点 94 2    ， 在正方形PQMN内部时 t的取值范围．（3分） y x D N MQ B C O P E A 【参考公式：二次函数 2y ax bx c   图象的顶点坐标为 24 2 4 b ac b a a     ， ．】 【关键词】平面内点的坐标的意义，二元一次方程组的应用，不等式（组）的简单应用二次函数与一元二 次方程根之间的内在联系 【答案】 解：（1）由题意，得      .4 5 ,64 3 xy xy 解得      .4 15 ,3 y x ∴C（3, 4 15 ）. （2）根据题意，得AE=t，OE=8-t. ∴点Q的纵坐标为 4 5 (8-t)，点 P的纵坐标为 4 3 t， ∴PQ= 4 5 (8-t)- 4 3 t=10-2t. 当MN在AD上时，10-2t=t，∴t= 3 10 . 当 0<t≤ 3 10 时，S=t(10-2t)，即 S=-2t2+10t. 当 3 10 ≤t<5时，S=(10-2t)2，即 S=4t2-40t+100. （3）当 0<t≤ 3 10 时，S=-2（t- 2 5 ）2+ 2 25 ，∴t= 2 5 时，S最大值= 2 25 . 当 3 10 ≤t<5时，S=4(t-5)2，∵t<5时，S随 t的增大而减小， ∴t= 3 10 时，S最大值= 9 100 . ∵ 2 25 > 9 100 ，∴S的最大值为 2 25 . （4）4<t< 5 22 或 t>6. 10、（2009年郴州市） 如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2， 1- ），且 P（ 1- ，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于 x轴，QB垂直于 y轴，垂足分别是 A、 B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点 Q，使得△OBQ与△OAP面积相 等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图 12，当点 Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ为邻边的平行四边形 OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值． 图 11 x y B h x  = 2 x A O M Q P 图 12 x yf x  = 2x B C A O M P Q 【关键词】二次函数的极值问题 【答案】（1）设正比例函数解析式为 y kx ，将点M（ 2 ， 1 ）坐标代入得 12k = ，所以正比例函数解 析式为 12y x= 2分 同样可得，反比例函数解析式为 2y x= （2）当点Q在直线DO上运动时， 设点Q的坐标为 1( )2Q m m， ， 于是 21 1 1 12 2 2 4OBQS OB BQ m m m△ = ´ = ´ ´ = ， 而 1 ( 1) ( 2) 12OAPS△ = - ´ - = ， 所以有， 21 14m = ，解得 2m   所以点Q的坐标为 1(2 1)Q ，和 2 ( 2 1)Q ，- - （3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC， 而点 P（ 1 ， 2 ）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只 需求OQ的最小值 因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为 2( )Q n n， ， 由勾股定理可得 2 2 22 4 2( ) 4OQ n nn n= + = - + ， 所以当 22( ) 0n n- = 即 2 0n n- = 时， 2OQ 有最小值 4， 又因为OQ为正值，所以OQ与 2OQ 同时取得最小值， 所以OQ有最小值 2． 由勾股定理得OP＝ 5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是 2( ) 2( 5 2) 2 5 4OP OQ+ = + = + ． 10、（2009 年常德市）已知二次函数过点 A （0， 2 ），B（ 1 ，0），C（ 5 94 8， ）． （1）求此二次函数的解析式； （2）判断点M（1， 12 ）是否在直线 AC上？ （3）过点M（1， 12 ）作一条直线 l与二次函数的图象交于 E、F两点（不同于 A，B，C三点），请自 已给出 E点的坐标，并证明△BEF是直角三角形． 图 8 【关键词】二次函数 【答案】（1）设二次函数的解析式为 cbxaxy  2 （ 0a  ）， 把A （0， 2 ），B（ 1 ，0），C（ 5 94 8， ）代入得 2 0 9 25 5 8 16 4 c a b c a b c          解得 a=2 ， b=0 ， c=－2， ∴ 22 2y x  （2）设直线 AC的解析式为 ( 0)y kx b k   ， 把 A （0，－2），C（ 5 94 8，）代入得 2 9 5 8 4 b k b     ， 解得 5 22k b  ， ，∴ 5 22y x  当 x=1时， 5 11 22 2y     ∴M（1， 1 2）在直线 AC上 （3）设 E点坐标为（ 1 32 2 ， ），则直线 EM的解析式为 4 5 3 6y x  由 2 4 5 3 6 2 2 y x y x      化简得 2 4 72 03 6x x   ，即 1 7( )(2 ) 02 3x x   ， ∴F点的坐标为（ 7 136 18， ）． 过 E点作 EH⊥x轴于H，则H的坐标为（ 1 02 ，）． ∴ 3 12 2EH BH ， ∴ 2 2 23 1 10( ) ( )2 2 4BE    ， 类似地可得 2 2 213 13 1690 845( ) ( )18 6 324 162BF     ， 2 2 240 10 2500 1250( ) ( )18 6 324 162EF     ， ∴ 2 2 210 845 12504 162 162BE BF EF     ，∴△BEF是直角三角形． 11、(2009年陕西省) 如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且 OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)． （1）求点B的坐标； （2）求过点A、O、B的抛物线的表达式； （3）连接 AB，在（2）中的抛物线上求出点 P，使得 S△ABP＝S△ABO． 图 8 【关键词】用相似求线段 平面内点的坐标的意义 三点法确定抛物线 存在性探究题 【答案】解：（1）过点A作 AF⊥x轴，垂足为点 F，过点B作 BE⊥x轴，垂足为点 E， 则AF＝2，OF＝1． ∵OA⊥OB， ∴∠AOF+∠BOE＝90°． 又 ∵∠BOE+∠OBE＝90°， ∴∠AOF＝∠OBE． ∴Rt△AFO∽Rt△OEB． ∴ 2 OA OB AF OE OF BE ． ∴BE＝2，OE＝4． ∴B(4，2)． （2）设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线为y=ax2+bx+c． ∴       .0 ,2416 ,2 c cba cba 解之，得            .0 ,2 3 ,2 1 c b a ∴所求抛物线的表达式为 xxy 2 3 2 1 2  ． （3）由题意，知AB∥x轴． 设抛物线上符合条件的点 P到 AB的距离为 d， 则 S△ABP＝ AFABdAB  2 1 2 1 ． ∴d＝2． ∴点 P的纵坐标只能是0或 4． 令 y＝0，得 02 3 2 1 2  xx ，解之，得x＝0，或x＝3． ∴符合条件的点 P1(0，0)，P2(3，0)． 令 y＝4，得 42 3 2 1 2  xx ，解之，得 2 413x ． ∴符合条件的点 P3( 2 413  ，4)，P4( 2 413 ，4)． ∴综上，符合题意的点有四个： P1(0，0)，P2(3，0)，P3( 2 413  ，4)，P4( 2 413 ，4)． （评卷时，无 P1(0，0)不扣分） 12、(2009年黄冈市)新星电子科技公司积极应对 2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产 业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产 品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后 一天结算 1次）．公司累积获得的利润 y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前 x个月 的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段 OA、曲线 AB 和曲线 BC，其中曲线 AB 为抛物线的一部分，点 A 为该抛物线的顶点，曲线 BC 为另一抛物线 25 205 1230y x x    的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为 4，10，12 （1）求该公司累积获得的利润 y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式； （2）直接写出第x个月所获得 S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）； （3）前 12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？ 【关键词】待定系数法 函数的极值问题 【答案】（1）当 40 x 时，线段 OA的函数关系式为 xy 10 ; 当 104 x 时， 由于曲线AB所在抛物线的顶点为A（4，－40），设其解析式为   404 2  xay 在 25 205 1230y x x    中，令 x=10，得 320y ；∴B（10，320） ∵B（10，320）在该抛物线上 ∴   40410320 2 a 解得 10a ∴当 104 x 时，   40410 2  xy = 1208010 2  xx 综上可知，        12302055 1208010 10 2 2 xx xx x y (2) 当 40 x 时, 10S  当 105 x 时, 9020  xS 当 1211 x 时, 21010  xS (3) 10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元. 13、(2009武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售 价每上涨 1元，则每个月少卖 10件（每件售价不能高于 65元）．设每件商品的售价上涨 x元（ x为正整 数），每个月的销售利润为 y元． （1）求 y与 x的函数关系式并直接写出自变量 x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售 价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？ 【关键词】二次函数的应用 二次函数的极值问题 )4,3,2,1( x ， )109,8,7,6,5( ，x  ， )12,1110( ，x  . 【答案】解：（1） 2(210 10 )(50 40) 10 110 2100y x x x x        （0 15x ≤ 且 x为整数）； （2） 210( 5.5) 2402.5y x    ． 10 0a   Q ，当 5.5x  时， y有最大值2402.5． 0 15xQ ≤ ，且 x为整数， 当 5x  时，50 55x  ， 2400y  （元），当 6x  时，50 56x  ， 2400y  （元） 当售价定为每件55或 56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元． （3）当 2200y  时， 210 110 2100 2200x x    ，解得： 1 21 10x x ， ． 当 1x  时，50 51x  ，当 10x  时，50 60x  ．当售价定为每件51或 60元，每个月的利润为2200元． 当售价不低于 51或 60元，每个月的利润为2200元． 当售价不低于 51元且不高于 60元且为整数时，每个月的利润不低于 2200元（或当售价分别为 51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）． 14、(2009武汉)如图，抛物线 2 4y ax bx a   经过 ( 1 0)A  ， 、 (0 4)C ， 两点，与 x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点 ( 1)D m m ， 在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且 45DBP  °，求点P的坐标． 【关键词】待定系数法 求点的坐标 【答案】解：（1）Q 抛物线 2 4y ax bx a   经过 ( 1 0)A  ， ， (0 4)C ， 两点， 4 0 4 4. a b a a       ， 解得 1 3. a b    ， 抛物线的解析式为 2 3 4y x x    ． （2）Q 点 ( 1)D m m ， 在抛物线上， 21 3 4m m m      ， 即 2 2 3 0m m   ， 1m   或 3m  ． Q 点D在第一象限，点D的坐标为 (3 4)， ． 由（1）知 45OA OB CBA  ，° ． 设点D关于直线BC的对称点为点E． (0 4)CQ ， ， CD AB ∥ ，且 3CD  ， 45ECB DCB    °， y xO A B C y xO A B C D E E 点在 y轴上，且 3CE CD  ． 1OE  ， (0 1)E ，． 即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）． （3）方法一：作PF AB⊥ 于F ，DE BC⊥ 于E． 由（1）有： 4 45OB OC OBC   ，° ， 45DBP CBD PBA    Q °， ． (0 4) (3 4)C DQ ，，， ， CD OB ∥ 且 3CD  ． 45DCE CBO    °， 3 2 2DE CE   ． 4OB OC Q ， 4 2BC  ， 5 22BE BC CE    ， 3tan tan 5 DEPBF CBD BE      ． 设 3PF t ，则 5BF t ， 5 4OF t   ， ( 5 4 3 )P t t   ， ． PQ 点在抛物线上，  23 ( 5 4) 3( 5 4) 4t t t        ， 0t  （舍去）或 2225t  ， 2 66 5 25P     ， ． 方法二：过点 D作 BD的垂线交直线 PB于点 Q，过点 D作 DH x⊥ 轴于 H ．过 Q点作 QG DH⊥ 于G． 45PBD QD DB   Q °， ． QDG BDH   90 °， 又 90DQG QDG    °， DQG BDH   ． QDG DBH△≌△ ， 4QG DH   ， 1DG BH  ． 由（2）知 (3 4)D ， ， ( 1 3)Q  ， ． y xO A B C D EP F y xO A B C D PQ G H (4 0)BQ ， ，直线BP的解析式为 3 125 5y x   ． 解方程组 2 3 4 3 12 5 5 y x x y x         ， ， 得 1 1 4 0 x y   ， ； 2 2 2 5 66 .25 x y     ， 点P的坐标为 2 665 25    ， ． 15、(2009年安顺)如图，已知抛物线与 x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与 y轴交于点 B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； （3） △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 【关键词】待定系数法，相似三角形判定和性质 【答案】（1）∵抛物线与 y轴交于点（0，3）， ∴设抛物线解析式为 )0(32  abxaxy 根据题意，得     0339 03 ba ba ，解得     2 1 b a ∴抛物线的解析式为 322  xxy (5′) (2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） 设对称轴与 x轴的交点为 F ∴四边形ABDE的面积= ABO DFEBOFDS S S  梯形 = 1 1 1( )2 2 2AO BO BO DF OF EF DF      = 1 1 11 3 (3 4) 1 2 42 2 2        =9 （3）似 如图，BD= 2 2 2 21 1 2BG DG    ；∴BE= 2 2 2 23 3 3 2BO OE    DE= 2 2 2 22 4 2 5DF EF    ∴ 2 2 20BD BE  , 2 20DE  即： 2 2 2BD BE DE  ,所以 BDE 是直角三角形 ∴ 90AOB DBE     ,且 22 AO BO BD BE  , ∴ AOB ∽ DBE 16、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线 ( 1)2 3 3( 0)y a x a    经过点 ( 2 )A  ，0 ，抛物线的顶点为 D，过O作射线OM AD∥ ．过顶点D平行于 x轴的直线交射线OM 于点C， B在 x轴正半轴上，连 结BC． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点 P从点O出发，以每秒 1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点 P运动的时间为 ( )t s ． 问当 t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB ，动点 P和动点Q分别从点O和点 B同时出发，分别以每秒 1个长度单位和 2个长度 单位的速度沿OC和 BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时 间为 t ( )s ，连接PQ，当 t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长． 【关键词】抛物线 【答案】（1）Q抛物线 2( 1) 3 3( 0)y a x a    经过点 ( 2 0)A  ， ， 30 9 3 3 3a a      二次函数的解析式为： 23 2 3 8 33 3 3y x x    （2） DQ 为抛物线的顶点 (1 3 3)D ， 过D作DN OB 于N ，则 3 3DN  ， 2 23 3 (3 3) 6 60AN AD DAO      ，° OM ADQ ∥ ①当 AD OP 时，四边形DAOP是平行四边形 6 6(s)OP t    ②当DP OM 时，四边形DAOP是直角梯形 过O作OH AD 于H ， 2AO  ，则 1AH  （如果没求出 60DAO  °可由Rt RtOHA DNA△∽△ 求 1AH  ） 5 5(s)OP DH t    ③当PD OA 时，四边形DAOP是等腰梯形 2 6 2 4 4(s)OP AD AH t        综上所述：当 6t  、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． （3）由（2）及已知， 60COB OC OB OCB  °，，△ 是等边三角形 则 6 2 6 2 (0 3)OB OC AD OP t BQ t OQ t t         ，，， 过P作PE OQ 于E，则 32PE t 1 1 36 3 3 (6 2 )2 2 2BCPQS t t        = 23 3 63 32 2 8t      当 32t  时， BCPQS 的面积最小值为 63 38 此时 3 3 3 9 3 33 32 4 4 4 4OQ OP OE QE PE      ，=， 2 2 2 2 3 3 9 3 3 4 4 2PQ PE QE                 17、（2009威海）如图，在直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为（-1，0），（3，0）。（0，3），过 A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线 l ，D为对称轴 l上一动点． （1） 求抛物线的解析式； （2） 求当AD+CD最小时点D的坐标； （3） 以点 A为圆心，以 AD为半径作⊙A． ①证明：当AD+CD最小时，直线BD与⊙A相切． ②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：___________． 【关键词】待定系数法，直线与圆的位置关系 【答案】（1）设抛物线的解析式为 ( 1)( 3)y a x x   ． x y M CD P QO A B x y M CD P QO A BNE H OA B C ly x 将 (0 3)， 代入上式，得3 (0 1)(0 3)a   ． 解，得 1a   ． 抛物线的解析式为 ( 1)( 3)y x x    ． 即 2 2 3y x x    ． （2）连接BC，交直线 l于点D．Q点B与点 A关于直线 l对称， AD BD  ． AD CD BD CD BC     ． 由“两点之间，线段最短”的原理可知： 此时 AD CD 最小，点D的位置即为所求． 设直线BC的解析式为 y kx b  ， 由直线BC过点 (3 0)， ， (0 3)， ，得 0 33 . k b b    ， 解这个方程组，得 1 3. k b    ， 直线BC的解析式为 3y x   ． 由（1）知：对称轴 l为 2 12 ( 1)x     ，即 1x  ． 将 1x  代入 3y x   ，得 1 3 2y     ． 点D的坐标为（1，2）． 说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可，答案正确给2分． （3）①连接 AD．设直线 l与 x轴的交点记为点E． 由（1）知：当 AD CD 最小时，点D的坐标为（1，2）． 2DE AE BE    ． 45DAB DBA    °． 90ADB  °． AD BD ⊥ ． BD 与 A⊙ 相切． ② (1 2)， ． 18、（2009年内蒙古包头）已知二次函数 2y ax bx c   （ 0a  ）的图象经过点 (1 0)A ， ， (2 0)B ， ， (0 2)C ， ，直线 x m （ 2m  ）与 x轴交于点D． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线 x m （ 2m  ）上有一点 E（点 E在第四象限），使得 E D B、、 为顶点的三角形与以 A O C、、 为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ，使得四边形 ABEF为平行四边形？若存在，请 求出m的值及四边形 ABEF的面积；若不存在，请说明理由． 【解析】本题考查二次函数关系式求法、坐标系中有关线段的长度与点的坐标之间的关系，探究三角形相似 的条件和判定四边形为平行四边形的条件，涉及到一元二次方程的解法等综合性较强，稍有疏忽就容易 失分。 y xO OA B C ly x D E 【答案】(1)根据题意，得 0 4 2 0 2 a b c a b c c         ，解得 1 3 2 a b c      ∴ 2 3 2y x x    。 (2)当 ΔEDB∽ΔAOC时，得 AO COED BD 或 AO CO BD ED 。 ∵AO=1，CO=2，BD=m-2，当 AO COED BD 时，得 1 2 2ED m  ， ∴ 22 mED  。 ∵点 E在第四象限， ∴ 1 2, 2 mE m     ，当 AO CO BD ED 时，得 1 2 2m ED ，∴ 2 4ED m  ，∵点 E在 第四象限， ∴  1 , 4 2E m m 。 (3)假设抛物线上存在一点这 P，使得四边形 ABEF为平行四边形，则 EF=AB=1，点 F的横坐标为m-1,当 点 1E 的坐标为 2, 2 mm     时，点 1F 的坐标为 21, 2 mm     ， ∵点 1F 在抛物线的图象上， ∴    22 1 3 1 22 m m m       ， ∴ 22 11 14 0m m   ， ∴    2 7 2 0m m   ∴ 7 , 22m m  (舍去) ∴ 1 5 3,2 4F     ， ∴ 3 31 4 4ABEFS   W 。 当点 2E 的坐标为  , 4 2m m 时，点 2F 的坐标为  1,4 2m m  ， ∵点 F2在抛物线的图象 上， ∴    24 2 1 3 1 2,m m m       ∴ 2 7 10 0,m m   ∴    2 5 0m m   ∴ 2m  (舍去)， 5m  ∴  1 4, 6 ,F  ∴ 1 6 6ABEFS   平行四边形 　　点拨：（2）中讨论 ΔEDB与 ΔAOC相似的条件时，题目中未用相似符号连接应按不同的对应关系分 情况讨论，否则易漏解。在由线段的长度求 E点坐标时要注意点的坐标的符号。 （3）中在求是否存在点 E问题，应先假设存在，列得关系式如果有解，并且符合题意就存在；如果无解 或解得的结果不符合题意，就不存在。 19、（2009山西省太原市）已知，二次函数的表达式为 24 8y x x  ．写出这个函数图象的对称轴和顶点 坐标，并求图象与 x轴的交点的坐标． 【关键词】二次函数最值、与坐标轴交点坐标 【答案】 解：在 24 8y x x  中， 4 8 0a b c  ，，． ∴ 2 28 4 4 4 0 81 42 2 4 4 4 b ac b a a            ，．4 ∴这个函数图象的对称轴是 1x   ，顶点坐标是：  1 4 ，． 评分说明：直接写出正确结果也得 2分．令 y＝０，则 24 8 0x x  ．解得 1 20 2x x  ，． ∴函数图象 与 x轴的交点的坐标为    0 0 2 0，，，． 20、（2009湖北省荆门市） 一开口向上的抛物线与 x轴交于 A（ 2m  ，0），B（m＋2，0）两点，记抛 物线顶点为 C，且 AC⊥BC． （1）若m为常数，求抛物线的解析式； （2）若m为小于 0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ （3）设抛物线交 y轴正半轴于 D点，问是否存在实数 m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x－m＋2）（x－m－2）＝a（x－m）2－4a．∵AC⊥BC，由抛物 线的对称性可知：△ACB为等腰直角三角形，又 AB＝4，∴C（m， 2 ）代入得 a＝ 12．∴解析式为：y ＝ 12（x－m）2 2 ．（亦可求 C点，设顶点式） （2）∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移 2个单位，可以使抛物 线 y＝ 12（x－m）2 2 顶点在坐标原点． （3）由（1）得D（0， 12 m2 2 ），设存在实数 m，使得△BOD为等腰三角形．∵△BOD为直角三角 形，∴只能OD＝OB．∴ 12 m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得 m＝4或m＝ 2 （舍）．当 m＋2＜0时， 解得m＝0（舍）或m＝ 2 （舍）；当m＋2＝0时，即m＝ 2 时，B、O、D三点重合（不合题意，舍）， 综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形． 20、（2009年淄博市）如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的边长是 2．O为坐标原点，点 A在 x 的正半轴上，点 C在 y的正半轴上．一条抛物线经过 A点，顶点D是OC的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）正方形OABC的对角线OB与抛物线交于 E点，线段 FG过点 E与 x轴垂直，分别交 x轴和线段 BC于 F，G点，试比较线段OE与 EG的长度； （3）点 H是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段 IJ过点 H与 x轴垂直，分别交 x轴和线段 BC 于 I、J点，点 K在 y轴的正半轴上，且OK=OH，请证明△OHI≌△JKC． 解：（1）由题意，设抛物线的解析式为： 2y ax b  ． 将点D的坐标（0，1），点 A的坐标（2，0）代入，得 a = 14 ，b=1． 所求抛物线的解析式为 21 14y x   ． （2）由于点 E在正方形的对角线OB上，又在抛物线上， O BA C D x y 第 25题图 O A BC D E y xF G H I J K （第 24题） 设 点 E 的 坐 标 为 （ m ， m ） （ 0 2m  ） ， 则 21 14m m   ． 解 得 1 22 2 2 , 2 2 2m m     （ 舍 去 ） ． 所 以 OE= 2 4 2 2m   ． 所 以 2 2 (2 2 2) 4 2 2EG GF EF m         ．所以OE=EG． （3）设点H的坐标为（p，q）（ 0 2p  ， 0 2q  ）， 由 于 点 H 在 抛 物 线 21 14y x   上 ， 所 以 21 14q p   ， 即 2 4 4p q  ． 因 为 2 2 2 2 2 2 24 4 (2 )OH OI HI p q q q q         ， 所以 OH=2–q．所以 OK=OH=2–q．所以 CK=2－（2－q）=q=IH． 因为 CJ=OI， ∠OIH=∠JCK=90º，所以△OHI≌△JKC． 21、（2009年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房 100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房 费 100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高 20元，则减少 10间包房租出，若每间包房收费再 提高20元，则再减少 10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。 （1）设每间包房收费提高 x（元），则每间包房的收入为 y1（元），但会减少 y2间包房租出，请分 别写出y1、y2与x之间的函数关系式。 （2）为了投资少而利润大，每间包房提高 x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y（元）， 请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理 由。 【关键词】二次函数的应用 【答案】解：（1） xy 1001 ， xy 2 1 2  （2） )2 1100()100( xxy  ，即：y 11250)50(2 1 2  x 因为提价前包房费总收入为100×100=10000。 当 x=50时，可获最大包房收入 11250元，因为11250>10000。又因为每次提价为20元，所以每间包 房晚餐应提高 40元或60元。 22、（2009年贵州省黔东南州）已知二次函数 22  aaxxy 。 （1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。 （2）设 a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为 13时，求出此二次函数的解析式。 （3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点 P，使得△PAB的面积为 2 133 ， 若存在求出 P点坐标，若不存在请说明理由。 【关键词】二次函数的综合应用 【答案】解（1）因为△= 04)2()2(4 22  aaa 所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。 （2）设 x1、x2是 022  aaxxy 的两个根，则 axx  21 ， 221  axx ，因两交点的 距离是 13，所以 13)(|| 22121  xxxx 。 即： 13)( 221  xx 变形为： 134)( 21221  xxxx 所以： 13)2(4)( 2  aa 整理得： 0)1)(5(  aa 解方程得： 15  或a 又因为：a<0 所以：a=－1 所以：此二次函数的解析式为 32  xxy （3）设点 P的坐标为 ),( 0yxo ，因为函数图象与 x轴的两个交点间的距离等于 13，所以：AB= 13 所以：S△PAB= 2 13||2 1 0  yAB 所以： 2 13 2 ||13 0 y 即： 3|| 0 y ，则 30 y 30 y 时， 3320  oxx ，即 0)2)(3( 0  oxx 解此方程得： 0x =－2或 3 当 30 y 时， 3320  oxx ，即 0)1(0 oxx 解此方程得： 0x =0或 1 综上所述，所以存在这样的 P点，P点坐标是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)。 23、（2009年江苏省）如图，已知二次函数 2 2 1y x x   的图象的顶点为 A．二次函数 2y ax bx  的 图象与 x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数 2 2 1y x x   的图象的对称轴上． （1）求点 A与点C的坐标； （2）当四边形 AOBC为菱形时，求函数 2y ax bx  的关系式． 【关键词】待定系数法 【答案】解：（1） 2 22 1 ( 1) 2y x x x      ，所以顶点 A的坐标为 (1 2)， ． （3分） 因为二次函数 2y ax bx  的图象经过原点，且它的顶点在二次函数 2 2 1y x x   图象的对称轴 l上， 所以点C和点O关于直线 l对称，所以点C的坐标为 (2 0)， ． （2）因为四边形 AOBC 是菱形，所以点B和点 A关于直线OC对称，因此，点B的坐标为 (1 2)， ． 因为二次函数 2y ax bx  的图象经过点B (1 2)， ， (2 0)C ， ，所以 24 2 0. a b a b      ， 解得 2 4 a b    ， ． 所以二次函数 2y ax bx  的关系式为 22 4y x x   ． 24、（2009年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线 1F 得到抛物线 2F ，使 2F 经过 1F 的顶点 A．设 2F 的对称轴分别交 1 2F F， 于点D B， ，点C是点 A关于直线BD的对称点． （1）如图 1，若 1F ： 2y x ，经过变换后，得到 2F ： 2y x bx  ，点C的坐标为 (2 0)， ，则①b的值 等于______________； ②四边形 ABCD为（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）如图2，若 1F ： 2y ax c  ，经过变换后，点B的坐标为 (2 1)c ， ，求 ABD△ 的面积； （3）如图 3，若 1F ： 21 2 73 3 3y x x   ，经过变换后， 2 3AC  ，点 P是直线 AC上的动点，求点 P到点D的距离和到直线 AD的距离之和的最小值． 【关键词】二次函数应用 【答案】 25、（2009 年吉林省）某数学研究所门前有一个边长为 4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种 颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中 AE MN ．准备在形如 Rt AEH△ 的四个全等三角形内种 植红色花草，在形如 Rt AEH△ 的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草， 每种花草的价格如下表： 品种 红色花草 黄色花草 紫色花草 价格（元/米 2） 60 80 120 设 AE的长为 x米，正方形EFGH 的面积为 S平方米，买花草所需的费用为W 元，解答下列问题： （1） S与 x之间的函数关系式为 S ； （2）求W 与 x之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元； （3）当买花草所需的费用最低时，求EM 的长． 【关键词】二次函数的极值问题、与二次函数有关的面积问题 【答案】解：（1） 2 2 2(4 ) 2 8 16.x x x x   或 （2） 60 4 AEB EFGN MNPQ MNPQW S S S  △ 正方形正方形正方形80( - S )+120 =60 2 2 2 214 (4 ) 80[ (4 ) ] 120 .2 x x x x x x        =80 2 160 1280.x x  配方，得 280( 1) 1200.W x   当 1x  时， 1200W 最小值 元． A B F C G DH Q P N M 红 黄 紫 E （3）设EM a 米，则 ( 1)MH a  米 . 在 Rt EMH△ 中， 2 2 2 2( 1) 1 3 ,a a    解得 1 19 .2a   0, 19 1.2 a a    Q EM 的长为 19 12  米． 26、（2009 年深圳市）已知：Rt△ABC的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形放置在平面 直角坐标系中，使其斜边AB与 x轴重合（其中OA<OB），直角顶点 C落在 y轴正半轴上。 （1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。（4分） （2）如图，点 D的坐标为（2，0），点 P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中 m>0，n>0），连接 DP交 BC于点 E。 ①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点 E的坐标。 ②又连接 CD、CP，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面的最大面积和此时点 P的坐标； 若没有，请说明理由。 【关键词】 【答案】（1）由 Rt AO△ C∽Rt CO△ B易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4 ∴A(-1,0)B(4,0)C(0,2)可设解析式为 y=a(x+1)(x-4),将点 C(0,2)代入，可求 a= 12 ∴ 21 3 22 2y x x    为所求 （ 2） 1 1(3, )2E ； 2 4 8( , )5 5E 3 4 2(4 5, 5)5 5E  提示：直线 BC 的解析式为 1 22y x   设 ( , )E x y ，利用勾股定理和点 ( , )E x y 在直线 BC 上，可得两个方程组 2 2 2 1 22 (2 ) 2 y x x y        图 11 2 2 2 1 22 (4 ) 2 y x x y        分别可求 2E 和 3E （ 3）过 D 作 X 轴的垂线，交 PC 于 M，易求 PC 的解析式为 2 2ny xm   ，且 2 4(2, 2)nM m   ，故 2 2 1 ( )( )2 1 1 2 4( 2) 22 2 1 3( 2) 22 2 1 5 2 2 CDP CDM DMP P C M D P M S S S x x y y nx y m m nm m m m m m                      V V g 故，当 52m  时， 25 8CDPS V 最大值 ， 5 21( , )2 8P 27、（2009年台州市）如图，已知直线 1 12y x   交坐标轴于 BA， 两点，以线段 AB为边向上作正方 形 ABCD，过点 CD，A， 的抛物线与直线另一个交点为E． （1）请直接写出点 DC, 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒 5个单位长度的速度沿射线 AB下滑，直至顶点D落在 x轴上时停止．设正方形 落在 x轴下方部分的面积为 S，求 S关于滑行时间 t的函数关系式，并写出相应自变量 t的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上 EC , 两点间的抛物线弧所扫 过的面积． 【关键词】与二次函数有关的面积问题 【答案】（1） )3,1(),2,3( DC ； （2）设抛物线为 cbxaxy  2 ，抛物线过 ),1,0( )3,1(),2,3( ，       .239 ,3 ,1 cba cba c 解得 5 ,6 17 ,6 1. a b c      ∴ 16 17 6 5 2  xxy ． （3）①当点 A运动到点 F时， ,1t 当 10  t 时，如图 1， ∵ 'OFA GFB   ， ,2 1tan  OF OAOFA 备用图 O A B C D E y x 112yx 图 1 ∴ ,2 1 5 ' ' ''tan  t GB FB GBGFB ∴ ,2 5' tGB  ∴ 2' 4 5 2 552 1''2 1 tttGBFBS GFB  ； ②当点C运动到 x 轴上时， 2t ， 当 21  t 时，如图 2， 2 2' ' 2 1 5,A B AB    ∴ ,55'  tFA ∴ 2 55'  tGA ， ∵ 2 5' tHB  ， ∴ ' ' 1 ' ' ) ' '2A B HGS A G B H A B  梯形 （ 5)2 5 2 55(2 1  tt 4 5 2 5  t ； ③当点D运动到 x 轴上时， 3t ， 当 32  t 时，如图 3， ∵ 2 55'  tGA ， ∴ 2 553 2 555' ttGD  ， ∵ 1,1212 1  OAS AOF ， AOF ∽ 'GD H ∴ 2' )'( OA GD S S AOF HGD    ， ∴ 2' )2 553( tS HGD  ， ∴ 2 2' ' ' 3 5 55 )2GA B C H tS  五边形 （）（ = 4 25 2 15 4 5 2  tt ． （解法不同的按踩分点给分） （4）∵ 3t , 53'' AABB , ∴ ' ' ' 'BB C C AA D DS S S 阴影矩形矩形 　 = 'AAAD = 15535  28、（2009 年宁波市）如图，抛物线 2 5 4y ax ax a   与 x轴相交于点 A、B，且过点 (5 4)C ， ． （1）求a的值和该抛物线顶点 P的坐标； （2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式． 图 2 D' C' A' B'图 4 图 3 A B P x y O （第 23题） C （ 5,4 ） 【关键词】平移，二次函数 【答案】解：（1）把点 (5 4)C ， 代入抛物线 2 5 4y ax ax a   得， 25 25 4 4a a a   ， 解得 1a  ． 该二次函数的解析式为 2 5 4y x x   ． 2 2 5 95 4 2 4y x x x         Q 顶点坐标为 5 92 4P    ， ． （2）（答案不唯一，合理即正确） 如先向左平移 3个单位，再向上平移 4个单位， 得到的二次函数解析式为 2 25 9 1 73 42 4 2 4y x x                  ， 即 2 2y x x   ． 29、(2009年义乌)如图，抛物线 2y ax bx c   与 x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包 括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个 动点，则 (1)abc # .0 (填“”或“”)； (1)a的取值范围是 # . 【关键词】抛物线 2y ax bx c   系数的取值范围 【答案】（1） （2） 3 24 25a ≤≤ 30、（2009河池） 如图 12，已知抛物线 2 4 3y x x   交 x轴于 A、B两点，交 y轴于点 C，抛物线的对称轴交 x轴于点 E，点 B的坐标为（ 1 ，0）． （1）求抛物线的对称轴及点 A的坐标； （2）在平面直角坐标系 xoy中是否存在点 P， 与 A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在， 请写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连结 CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在 点M，使得直线 CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？ 若存在，请求出直线 CM的解析式；若不存在，请说明理由． 【关键词】二次函数、坐标、存在、面积 【答案】（1） ①对称轴 4 22x     ②当 0y  时，有 2 4 3 0x x   解之，得 1 1x   ， 2 3x   ∴点 A的坐标为（ 3 ，0）． O D B C A x y E 图 12 （2）满足条件的点 P有 3个，分别为（ 2 ，3），（2，3），（ 4 ， 3 ）． （3）存在． 当 0x  时， 2 4 3 3y x x    ∴点 C的坐标为（0，3） ∵ DE∥ y轴，AO 3，EO 2，AE 1，CO 3 ∴ AED△ ∽ AOC△ ∴ AE DEAO CO 即 1 3 3 DE ∴ DE 1。 ∴ DEOCS 梯形 1 (1 3) 22     4 在OE上找点 F，使OF 43 ，此时 COFS △ 1 4 32 3   2，直线 CF把四边形DEOC 分成面积相等的两部分，交抛物线于点M． 设直线 CM的解析式为 3y kx  ，它经过点 4 03F    ， ． 则 4 3 03 k   ， 解之，得 94k  ∴直线 CM的解析式为 9 34y x  ， 31、（2009柳州） 如图 11，已知抛物线 baxaxy  22 （ 0a ）与 x轴的一个交点为 ( 1 0)B  ， ，与 y轴的负半轴交于 点 C，顶点为D． （1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与 x轴的另一个交点 A的坐标； （2）以 AD为直径的圆经过点 C． ①求抛物线的解析式； ②点E在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上， 且以 EFAB ，，， 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标． 【关键词】二次函数、对称轴、坐标、函数解析式、平行四边形 【答案】解：（1）对称轴是直线： 1x ， 点 A的坐标是（3，0）． （说明：每写对 1个给 1分，“直线”两字没写不扣分） （2）如图 11，连接 AC、AD，过D作 轴 yDM  于点M， 解法一：利用 AOC CMD△∽△ ∵点 A、D、C的坐标分别是 A （3，0），D（1， ba  ）、 C（0， b ）， ∴AO＝3，MD=1． 由 MD OC CM AO  得 1 3 b a  ∴ 03  ab ， 又∵ baa  )1(2)1(0 2 ， ∴由     03 03 ba ab 得     3 1 b a ， ∴函数解析式为： 322  xxy ， 解法二：利用以 AD为直径的圆经过点 C O x y AB C D 图 11 ∵点 A、D的坐标分别是 A （3，0） 、D（1， ba  ）、C（0， b ）， ∴ 29 bAC  ， 21 aCD  ， 2)(4 baAD  ∵ 222 ADCDAC  ∴ 03  ab …① ， 又∵ baa  )1(2)1(0 2 …② ， 由①、②得 1 3a b ， ， ∴函数解析式为： 322  xxy ， （3）如图所示，当 BAFE为平行四边形时 则BA∥EF ，并且BA＝EF ． ∵BA =4，∴EF =4 由于对称为 1x ， ∴点 F的横坐标为 5． 将 5x 代入 322  xxy 得 12y ， ∴F（5，12）． 根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在 点 F，使得四边形 BAEF 是平行四边形，此时点 F 坐标为（ 3 ， 12）． 当四边形 BEAF是平行四边形时，点 F即为点D， 此时点 F的坐标为（1， 4 ）． 综上所述，点 F的坐标为（5，12）， （ 3 ，12）或（1， 4 ）． 32、(2009烟台市) 如图，抛物线 2 3y ax bx   与 x轴交于 A B， 两点，与 y轴交于 C点，且经过点 (2 3 )a， ，对称轴是直线 1x  ，顶点是M ． （1） 求抛物线对应的函数表达式； （2） 经过 C,M 两点作直线与 x轴交于点 N ，在抛物线上是否存在这样的点 P，使以点 P A C N，，， 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说 明理由； （3） 设直线 3y x   与 y轴的交点是D，在线段 BD上任取一点 E（不与 B D， 重合），经过 A B E，， 三点的圆交直线BC于点F ，试判断 AEF△ 的形状，并说明理由； （4） 当E是直线 3y x   上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）． 【关键词】二次函数的综合应用 【答案】 解：（1）根据题意，得 3 4 2 3 1.2 a a b b a       ， 解得 1 2. a b    ， O B x y A M C 1 3 y xO AB C D 图 11 E F 抛物线对应的函数表达式为 2 2 3y x x   （2）存在． 在 2 2 3y x x   中，令 0x  ，得 3y   ． 令 0y  ，得 2 2 3 0x x   ， 1 21 3x x   ， ． ( 1 0)A  ， ， (3 0)B ， ， (0 3)C ， ． 又 2( 1) 4y x   ，顶点 (1 4)M ， ． 容易求得直线CM 的表达式是 3y x   ． 在 3y x   中，令 0y  ，得 3x   ． ( 3 0)N  ， ， 2AN  ． 在 2 2 3y x x   中，令 3y   ，得 1 20 2x x ， ． 2CP AN CP   ， ． AN CPQ ∥ ，四边形 ANCP为平行四边形，此时 (2 3)P ， ． （3） AEF△ 是等腰直角三角形． 理由：在 3y x   中，令 0x  ，得 3y  ，令 0y  ，得 3x  ． 直线 3y x   与坐标轴的交点是 (0 3)D ， ， (3 0)B ， ． OD OB  ， 45OBD  °． 又Q点 (0 3)C ， ， OB OC  ． 45OBC  °． 由图知 45AEF ABF    °， 45AFE ABE    °． 90EAF  °，且 AE AF ． AEF△ 是等腰直角三角形． （4）当点E是直线 3y x   上任意一点时，（3）中的结论成立． 33、（2009恩施市）如图，在 ABC△ 中， 90 10A BC ABC  °，，△ 的面积为 25，点D为 AB边上的 任意一点（D不与 A、 B重合），过点D作DE BC∥ ，交 AC于点 E．设DE x ，以DE为折线将 ADE△ 翻折（使 ADE△ 落在四边形DBCE所在的平面内），所得的 A DE△ 与梯形DBCE重叠部分 的面积记为 y． （1）用 x表示 ADE△ 的面积； （2）求出0 5x ≤ 时 y与 x的函数关系式； （3）求出5 10x  时 y与 x的函数关系式； （4）当 x取何值时， y的值最大？最大值是多少？ y x E D N OA C M P N1 F 【关键词】相似、二次函数 【答案】解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∴ 2)(BC DE S S ABC ADE    即 24 1 xS ADE  (2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为 5 ∴当0﹤ 5x 时 24 1 xSy ADE   （3） x5 ﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形 ∵S△A'DE=S△ADE= 24 1 x ∴DE边上的高AH=AH'= x2 1 由已知求得AF=5 ∴A'F=AA'-AF=x-5 由△A'MN∽△A'DE知 2 DEA' MNA' )HA' FA'(   S S 2 MNA' )5(  xS ∴ 25104 3)5(4 1 222  xxxxy （4）在函数 24 1 xy  中 ∵0﹤x≤5 ∴当x=5时y最大为： 4 25 在函数 25104 3 2  xxy 中 当 3 20 2  a bx 时y最大为： 3 25 ∵ 4 25 ﹤ 3 25 ∴当 3 20x 时，y最大为： 3 25 E A D B C A B C A NM F H ED CB A 34、1．（2009年甘肃白银）［12分+附加 4分］如图 14（1），抛物线 2 2y x x k   与 x轴交于 A、B 两点，与 y轴交于点 C（0， 3 ）．［图 14（2）、图 14（3）为解答备用图］ （1） k 　　　　　，点 A的坐标为　　　　　　，点 B的坐标为　　　　　； （2）设抛物线 2 2y x x k   的顶点为M，求四边形 ABMC的面积； （3）在 x轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC的面积最大？若存在，请求出点 D的坐标； 若不存在，请说明理由； （4）在抛物线 2 2y x x k   上求点Q，使△BCQ是以 BC为直角边的直角三角形． 【关键词】抛物线顶点和对称轴 【答案】本小题满分 16分(含附加 4分) 解：（1） 3k   ， A（-1，0）， B（3，0）． （2）如图 14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM． 则 △AOC的面积= 2 3 ，△MOC的面积= 2 3 ， △MOB的面积=6， ∴四边形 ABMC的面积 =△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9． 图 14（ 1）　　　　　　图 14（ 2）　　　　　　　　图 14 （ 3） 图 14 （１） 说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形 ABMC的面 积转化为求 1个梯形与 2个直角三角形面积的和． （3）如图 14（2），设D（m， 322  mm ），连结OD． 则 0＜m＜3， 322  mm ＜0． 且 △AOC的面积= 2 3 ，△DOC的面积= m2 3 ， △DOB的面积=- 2 3 （ 322  mm ）， ∴四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积 = 62 9 2 3 2  mm = 8 75)2 3(2 3 2  m ． ∴存在点D 3 15( )2 4， ，使四边形 ABDC的面积最大为 8 75． （4）有两种情况： 如图 14（3），过点 B作 BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交 y轴于点 E，连接Q1C． ∵∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3． ∴点 E的坐标为（0，3）． ∴直线 BE的解析式为 3y x   ． 由 2 3 2 3 y x y x x       ， 解得 1 1 2 5 x y ， ； ì = -ïïíï =ïî 2 2 3 0. x y ，ì =ïïíï =ïî ∴点Q1的坐标为（-2，5）．如图 14（4），过点 C作 CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交 x轴于点 F， 连接 BQ2． ∵∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3． ∴点 F的坐标为（-3，0）． ∴直线 CF的解析式为 3y x   ． 由 2 3 2 3 y x y x x       ， 解得 1 1 0 3 x y ， ； ì =ïïíï = -ïî 2 2 1 4 x y ， ． ì =ïïíï = -ïî ∴点Q2的坐标为（1，-4）． 综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以 BC为直角边的直角三 图 14（ 2） 图 14 （ 3 ） 图 14（ 4） 角形． 说明：如图 14（4），点Q2即抛物线顶点M，直接证明△BCM为直角三角形同样得 2分． 35、（2009年甘肃庆阳）（10分）图 19是二次函数 21 22y x   的图象在 x轴上方的一部分，若这段图 象与 x轴所围成的阴影部分面积为 S，试求出 S取值的一个范围． 【关键词】二次函数和抛物线有关概念 【答案】本小题满分 10分 解：方法一： 由题意，可知这段图象与x轴的交点为A（-2，0）、B（2，0），与y轴的交点为C（0，2）． 显然，S在 ABC 面积与过A、B、C三点的⊙O半圆面积之间． ∵ ABCS△ =4， 1 2 OSe = 2π， ∴ 4<S< 2π． 说明：关于半圆⊙O的面积大于图示阴影部分面积的证明，如下（对学生不要求）： 设 P（x，y）在图示抛物线上，则 OP2=x2+y2=（4-2y）+y2=（y-1）2+3． ∵ 0≤y≤2， ∴ 3≤OP2≤4． ∴ 点 P在半圆 x2+y2=3、x2+y2=4所夹的圆环内， 以及点 P为内圆周点（ 2 ，1）与外圆周点 A 、B、C． ∴半圆⊙O的面积大于图示阴影部分的面积． 由于内半圆的面积为 12 OSe - 3π 2 ， ∴ 3π2 <S<2π． 如果学生能得出此结论，可在上面结论基础上，加 4分． 方法二： 由题意，可知这段图象与x轴的交点为A（-2，0）、B（2，0），与y轴的交点为C（0，2）． 显然，这段图象在图示半径为 3、2的两个半圆所夹的圆环内，以及过内半圆上点 P（ 2 ，1）与半外圆上点A、B、C． ∴ S在图示两个半圆面积之间． 即 21 π( 3)2  <S< 21 22  ． ∴ 3π2 <S<2π． 图 19 B C A Ｏ x y 36（2009年甘肃庆阳）如图 18，在平面直角坐标系中，将一块腰长为 5的等腰直角三角板 ABC放在第二 象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点 C的坐标为（ 1 ，0），点 B在抛物线 2 2y ax ax   上． （1）点 A的坐标为 ，点 B的坐标为 ； （2）抛物线的关系式为 ； （3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积； （4）将三角板 ABC绕顶点 A逆时针方向旋转 90°，到达 AB C △ 的位置．请判断点B、C是否在（2） 中的抛物线上，并说明理由． 【关键词】平面直角坐标系；旋转；二次函数 【答案】本小题满分 12分 解： （1）A（0，2）， B（ 3 ，1）． （2） 21 1 22 2y x x   ． （3）如图 1，可求得抛物线的顶点D（ 1 172 8 ， ）． 设直线 BD的关系式为 y kx b  ， 将点 B、D的坐标代入，求得 54k   ， 11 4b   ， ∴ BD的关系式为 5 114 4y x   ． 设直线 BD和 x 轴交点为 E，则点 E（ 115 ，0），CE= 6 5． ∴ △DBC的面积为 1 6 17 152 5 8 8   （1） ． PP A B C Ｏ x y 图 18 （4）如图 2，过点B作B M y ⊥ 轴于点M，过点 B作BN y⊥ 轴于点 N，过点C作C P y ⊥ 轴于点 P． 在 Rt△AB′M与 Rt△BAN中， ∵ AB=AB′， ∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM， ∴ Rt△AB′M≌Rt△BAN．∴ B′M=AN=1，AM=BN=3， ∴ B′（1， 1 ）． 同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点 C′（2，1）； 将点 B′、C′的坐标代入 21 1 22 2y x x   ，可知点 B′、C′在抛物线上． （事实上，点 P与点 N重合） 37、（2009年广西南宁）如图 14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下 底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度 相等．设甬道的宽为 x米． （1）用含 x的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关 系，比例系数是 5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所 建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？ 【关键词】二次函数的应用 【答案】解：（1）横向甬道的面积为：  2120 180 150 m2 x x  ， 图 1 E D C′ x A B′ B C O y P 图 2 M NB C′ x A B′ C O y 图 14 （2）依题意： 2 1 120 1802 80 150 2 808 2x x x       ， 整理得： 2 155 750 0x x   1 25 150x x ， （不符合题意，舍去）， 甬道的宽为 5米． （3）设建设花坛的总费用为 y万元．  2120 1800.02 80 160 150 2 5.72y x x x x          ， 20.04 0.5 240x x   当 0.5 6.252 2 0.04 bx a    时， y的值最小．， 因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6米， 6x 当 米时，总费用最少． 最少费用为： 20.04 6 0.5 6 240 238.44     万元 38、(2009 年鄂州)24、如图所示．某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已 知△ABC的边 BC长 120米，高AD长 80米。学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形 EFGH 四部分(如图)。其中矩形 EFGH的一边 EF在边 BC上．其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上。现计划在 △AHG上种草，每平方米投资 6元；在△BHE、△FCG上都种花，每平方米投资 10元；在矩形 EFGH上 兴建爱心鱼池，每平方米投资 4元。 (1)当 FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？ (2)当矩形 EFGH的边 FG为多少米时，△ABC空地改造总投资最小？最小值为多少？ 【关键词】二次函数的应用 【答案】（1）设 FG=x米，则AK=(80－x)米，△AHG∽△ABCBC=120，AD=80可得： 80 80 120 xHG  ∴ xHG 2 3120  BE+FC=120－ ）（ x2 3120  = x2 3 ∴ xxxx ·2 3 2 180·2 3120 · 2 1  ）（）（ 解得 x=40 ∴当 FG的长为 40米时，种草的面积和种花的面积相等。 （2）设改造后的总投资为W元 W= 2880024064·)2 3120(10··2 3 2 16·80·2 3120 · 2 1 2  xxxxxxxx ）（）（ =6(x－20)2+26400 ∴当 x=20时,W 最小=36400 答:当矩形 EFGH的边 FG长为 20米时，空地改造的总投资最小，最小值为 26400元。 39、(2009 年鄂州)如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在 BC上 F处，以 CF为边作正方 形 CFGH，延长 BC至M，使 CM＝｜CF—EO｜，再以 CM、CO为边作矩形 CMNO (1)试比较 EO、EC的大小，并说明理由 (2)令 ；四边形 四边形 CNMN CFGH S Sm  ，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由 (3)在(2)的条件下，若 CO＝1，CE＝ 3 1 ，Q为AE上一点且QF＝ 3 2 ，抛物线 y＝mx2+bx+c经过 C、Q两 点，请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下，若抛物线 y＝mx2+bx+c与线段AB交于点 P，试问在直线 BC上是否存在点K，使得以 P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与 y轴的交点 T的坐标?若不存在，请说 明理由。 【关键词】二次函数的应用（存在性问题） 【答案】（1）EO＞EC，理由如下： 由折叠知，EO=EF，在 Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故 EO＞EC …2分 （2）m为定值 ∵S 四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC) S 四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ∴ 1 CMNO CFGH S Sm 四边形 四边形 （3）∵CO=1， 3 2 3 1  QFCE ， ∴EF=EO= QF 3 2 3 11 ∴cos∠FEC= 2 1 ∴∠FEC=60°， ∴  30602 60180 EAOOEAFEA ， ∴△EFQ为等边三角形， 3 2EQ 作QI⊥EO于 I，EI= 3 1 2 1 EQ ，IQ= 3 3 2 3 EQ ∴IO= 3 1 3 1 3 2  ∴Q点坐标为 )3 1,3 3( ∵抛物线 y=mx2+bx+c过点 C(0，1)， Q )3 1,3 3( ，m=1 ∴可求得 3b ，c=1 ∴抛物线解析式为 132  xxy （4）由（3）， 33 23  EOAO 当 33 2x 时， 3 1133 23)33 2( 2 y ＜AB ∴P点坐标为 )3 1,3 32( …………………8分 ∴BP= 3 2 3 11  AO 方法 1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下： ① 3 32 3 2 3 2  BK 时， 9 32BK ∴K点坐标为 )1,9 34( 或 )1,9 38( ② 3 2 3 2 3 32  BK 时， 3 32BK ∴K点坐标为 )1,3 34( 或 )1,0( …………10分 故直线KP与 y轴交点 T的坐标为 )1,0()3 1,0()3 7,0()3 5,0( 或或或  …………………………………………12分 方法 2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或 60°，过 P作 PR⊥y轴于 R，则∠RTP=60°或 30° ①当∠RTP=30°时， 233 32 RT ②当∠RTP=60°时， 3 233 32 RT ∴ )1,0()3 1,0()3 5,0()3 7,0( 4321 TTTT ，，，  40 、 （ 2009 年 河 南 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 矩 形 ABCD 的 三 个 顶 点 B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过 A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点 P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点 Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为 t秒.过点 P作 PE⊥AB交 AC于点 E ①过点 E作 EF⊥AD于点 F，交抛物线于点 G.当 t为何值时，线段 EG最长? ②连接EQ．在点 P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的 t值. 【关键词】二次函数与三角形综合 【答案】 (1)点 A的坐标为（4，8） 将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a +8b 解 得a=- 12 ,b=4 ∴抛物线的解析式为：y=- 12 x 2+4x （2）①在 Rt△APE和 Rt△ABC中，tan∠PAE= PEAP = BC AB ,即 PE AP = 4 8 ∴PE= 12 AP= 1 2 t．PB=8-t． ∴点Ｅ的坐标为（4+ 12 t，8-t）. ∴点 G的纵坐标为：- 12 （4+ 1 2 t） 2+4(4+ 12 t）=- 1 8 t 2+8. ∴EG=- 18 t 2+8-(8-t) =- 18 t 2+t. ∵- 18＜0，∴当 t=4时，线段 EG最长为2. ②共有三个时刻. t1=163 ， t2= 40 13 ，t3= 8 5 2 5 ． 41、如图，△OAB是边长为 2的等边三角形，过点A的直线 。轴交于点与 Exmxy  3 3 （1）求点 E的坐标； （2）求过 A、O、E三点的抛物线解析式； （3）若点 P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为 S，求 S的最大值。 【关键词】等边三角形、一次函数的图像、抛物线解析式和最大值 【答案】解：（1）作AF⊥x轴与 F ∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°= 3 ∴点A（1， 3）………………………………………………………1分 代入直线解析式，得 313 3  m ，∴m= 3 34 ∴ 3 34 3 3  xy 当 y=0时， 03 34 3 3  x 得 x=4， ∴点 E（4，0）……………………………………………3分 （2）设过A、O、E三点抛物线的解析式为 cbxaxy  2 ∵抛物线过原点 ∴c=0 ∴ ∴ ∴ 抛物线的解析式为 xxy 3 34 3 3 2  …………………………………………6分 （3）作 PG⊥x轴于G，设 )( 00 yxP ， 2 )4( 2 )1)(3( 2 3 0000 yxxySSSS PGEFGPAOG  △△△ )353(2 1)33(2 1 0 2 000 xxyx  ………………………………………8分 8 325)2 5(2 3 2 0  x 当 38 25 2 5 0  最大时，Sx … 42、（2009江西）如图，抛物线 2 2 3y x x    与 x轴相交于 A、B 两点（点 A在点B的左侧），与 y轴相交于点C，顶点为D . （1）直接写出 A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P为线段 BC上的 一个动点，过点 P作 PF DE∥ 交抛物线于点 F ，设点 P的横坐标 为m； ①用含m的代数式表示线段 PF 的长，并求出当m为何值时，四边 形PEDF 为平行四边形？ ②设 BCF△ 的面积为 S，求 S与m的函数关系式. 【关键词】抛物线、动点、面积 【答案】解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）． 抛物线的对称轴是：x=1． （2）①设直线 BC的函数关系式为：y=kx+b． 把 B（3，0），C（0，3）分别代入得： 3 0 3 k b b    ， 解得：k= -1，b=3． 所以直线 BC的函数关系式为： 3y x   ． 当 x=1时，y= -1+3=2，∴E（1，2）． 当 x m 时， 3y m   ， ∴P（m，m+3）． 在 2 2 3y x x    中，当 1x  时， 4y  ．　 x y D C A O B （第 24题） x y D C A O B E P F M （第 24题） ∴  1 4D ，． 当 x m 时， 2 2 3y m m    ，∴  2 2 3F m m m  ，． ∴线段DE=4-2=2，线段  2 22 3 3 3PF m m m m m          ． ∵PF DE∥， ∴当PF ED 时，四边形PEDF 为平行四边形． 由 2 3 2m m   ，解得： 1 22 1m m ， （不合题意，舍去）． 因此，当 2m  时，四边形PEDF 为平行四边形． ②设直线PF 与 x轴交于点M ，由    3 0 0 0B O，，，， 可得： 3OB OM MB   ． ∵ BPF CPFS S S △△ ． 即 1 1 1 1( )2 2 2 2S PF BM PF OM PF BM OM PF OB    g g g g ．     2 21 3 93 3 0 32 2 2S m m m m m       ≤≤． 43、（2009年烟台市） 某商场将进价为 2000元的冰箱以 2400元售出，平均每天能售出 8台，为了配合 国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低 50元， 平均每天就能多售出 4台． （1）假设每台冰箱降价 x元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y元，请写出 y与 x之间的函数表达式； （不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 【关键词】二次函数的实际应用 【答案】 解：（1）根据题意，得 (2400 2000 ) 8 4 50 xy x         ， 即 22 24 320025y x x    ． （2）由题意，得 22 24 3200 480025 x x    ． 整理，得 2 300 20000 0x x   ． 解这个方程，得 1 2100 200x x ， ． 要使百姓得到实惠，取 200x  ．所以，每台冰箱应降价 200元． （3）对于 22 24 320025y x x    ， 当 24 15022 25 x        时， 150(2400 2000 150) 8 4 250 20 500050y           最大值 ． 所以，每台冰箱的售价降价 150元时，商场的利润最大，最大利润是 5000元． 44、（2009年烟台市）如图，抛物线 2 3y ax bx   与 x轴交于 A B， 两点，与 y轴交于 C点，且经过 点 (2 3 )a， ，对称轴是直线 1x  ，顶点是M ． （5） 求抛物线对应的函数表达式； （6） 经过 C,M 两点作直线与 x轴交于点 N ，在抛物线上是否存在这样的点 P，使以点 P A C N，，， 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说 明理由； （7） 设直线 3y x   与 y轴的交点是D，在线段 BD上任取一点 E（不与 B D， 重合），经过 A B E，， 三点的圆交直线BC于点F ，试判断 AEF△ 的形状，并说明理由； （8） 当E是直线 3y x   上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）． 【关键词】二次函数综合题 【答案】 解：（1）根据题意，得 3 4 2 3 1.2 a a b b a       ， 解得 1 2. a b    ， 抛物线对应的函数表达式为 2 2 3y x x   ． （2）存在． 在 2 2 3y x x   中，令 0x  ，得 3y   ． 令 0y  ，得 2 2 3 0x x   ， 1 21 3x x   ， ． ( 1 0)A  ， ， (3 0)B ， ， (0 3)C ， ． 又 2( 1) 4y x   ，顶点 (1 4)M ， ． 容易求得直线CM 的表达式是 3y x   ． 在 3y x   中，令 0y  ，得 3x   ． ( 3 0)N  ， ， 2AN  ． 在 2 2 3y x x   中，令 3y   ，得 1 20 2x x ， ． 2CP AN CP   ， ． AN CPQ ∥ ，四边形 ANCP为平行四边形，此时 (2 3)P ， ． （3） AEF△ 是等腰直角三角形． 理由：在 3y x   中，令 0x  ，得 3y  ，令 0y  ，得 3x  ． 直线 3y x   与坐标轴的交点是 (0 3)D ， ， (3 0)B ， ． OD OB  ， 45OBD  °． 又Q点 (0 3)C ， ， OB OC  ． 45OBC  °． 由图知 45AEF ABF    °， 45AFE ABE    °． 90EAF  °，且 AE AF ． AEF△ 是等腰直角三角形． （4）当点E是直线 3y x   上任意一点时，（3）中的结论成立． 45、（2009年嘉兴市）如图，曲线 C是函数 xy 6 在第一象限内的图象，抛物线是函数 422  xxy 的图象．点 ),( yxPn （ 1 2n  L，，）在曲线 C上，且 x y， 都是整数． （1）求出所有的点 ( )nP x y， ； （2）在 nP 中任取两点作直线，求所有不同直线的条数； （3）从（2）的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率． O B x y A M C 1 3 y x E D N OA C M P N1 F 6 4 2 2 4 6 y xO 【关键词】反比例函数图像的性质与二次函数的性质. 【答案】（1）∵ x y， 都是正整数，且 xy 6 ，∴ 1 2 3 6x  ，，，． ∴ 1(1 6)P ， ， 2 (2 3)P ， ， 3(3 2)P ， ， 4 (61)P ， （2）从 1P ， 2P ， 3P ， 4P 中任取两点作直线为： 21PP ， 31PP ， 41PP ， 32PP ， 42PP ， 43PP ． ∴不同的直线共有 6条．　 （3）∵只有直线 42PP ， 43PP 与抛物线有公共点， ∴从（2）的所有直线中任取一条直线与抛物线有公共点的概率是 3 1 6 2  　 46、(2009年牡丹江市)如图二次函数 2y x bx c   的图象经过  1A  ，0 和  3 0B ， 两点，且交 y轴于点 C． （1）试确定b、c的值； （2）过点C作CD x∥ 轴交抛物线于点D，点M 为此抛物线的顶点，试确定 MCD△ 的形状． 参考公式：顶点坐标 24 2 4 b ac b a a     ， 【关键词】确定二次函数的解析式, 抛物线顶点 【答案】（1）将 A、B两点坐标代入解析式，有： 0 10 9 3 b c b c       解得： 2 3b c   ， （2）求出抛物线的顶点  1 4M ， ’    0 3 2 3 2C D CD  ，，，， . CDM△ 是等腰直角三角形. 47、（2009南宁市）26．如图 14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上 下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽 度相等．设甬道的宽为 x米． （1）用含 x的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关 系，比例系数是 5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所 建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？ 0 x y A B C 【关键词】二次函数的极值问题 【答案】26．解：（1）横向甬道的面积为：  2120 180 150 m2 x x  （2）依题意： 2 1 120 1802 80 150 2 808 2x x x       整理得： 2 155 750 0x x   1 25 150x x ， （不符合题意，舍去） 甬道的宽为 5米． （3）设建设花坛的总费用为 y万元．  2120 1800.02 80 160 150 2 5.72y x x x x          20.04 0.5 240x x   当 0.5 6.252 2 0.04 bx a    时， y的值最小． 因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6米， 6x 当 米时，总费用最少． 最少费用为： 20.04 6 0.5 6 240 238.44     万元 48、（2009年清远）已知二次函数 2y ax bx c   中的 x y， 满足下表： x … 2 1 0 1 2 …y … 4 0 2 2 0 … 求这个二次函数关系式． 【关键词】待定系数法 【答案】解：把点 (0 2)， 代入 2y ax bx c   得 2c   再把点 ( 1 0) (2 0) ，，， 分别代入 2 2y ax bx   2 0 4 2 2 0 a b a b       解得 1 1 a b    这个二次函数的关系式为： 2 2y x x   49、（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片 ABC，BC边的长为 8，BC边上的高为6， B 和 C 都为锐角，M 为 AB一动点（点M 与点 A B、 不重合），过点M 作MN BC∥ ，交 AC于点 N ，在 AMN△ 中，设MN 的长为 x，MN 上的高为h． （1）请你用含 x的代数式表示h． （2）将 AMN△ 沿MN 折叠，使 AMN△ 落在四边形 BCNM 所在平面，设点 A落在平面的点为 1A， 1AMN△ 与四边形BCNM 重叠部分的面积为 y，当 x为何值时， y最大，最大值为多少？ 【关键词】分类讨论思想 【答案】解：（1） MN BCQ ∥ AMN ABC△∽△ 6 8 h x  3 4 xh  （2） 1AMN AMNQ△≌△ 1AMN△ 的边MN 上的高为h， ①当点 1A落在四边形BCNM 内或BC边上时， 1AMNy S △ = 21 1 3 32 2 4 8MN h x x x ·· （0 4x ≤ ） ②当 1A落在四边形BCNM 外时，如下图 (4 8)x  ， 设 1AEF△ 的边EF 上的高为 1h ， 则 1 32 6 62h h x    1 1EF MN AEF AMNQ ∥△∽△ 1 1AMN ABC A EF ABCQ△∽△△∽△ 1 2 1 6 A EFS h S      △ △ABC 1 6 8 242ABCS    Q △ 2 2 3 6 32 24 12 246 2EF x S x x            1△A 1 1 2 2 23 3 912 24 12 248 2 8AMN A EFy S S x x x x x             Q △△ 所以 29 12 24 (4 8)8y x x x      综上所述：当0 4x ≤ 时， 238y x ，取 4x  ， 6y 最大 当4 8x  时， 29 12 248y x x    ， 取 163x  ， 8y 最大 8 6Q 当 163x  时， y最大， 8y 最大 B C NM A 50、（2009年衢州）如图，已知点 A(-4，8)和点 B(2，n)在抛物线 2y ax 上． (1)　求 a的值及点 B关于 x轴对称点 P的坐标，并在 x轴上找一点Q，使得 AQ+QB最短，求出点Q的坐 标； 　(2)　平移抛物线 2y ax ，记平移后点 A的对应点为 A′，点 B的对应点为 B′，点 C(-2，0)和点D(-4，0) 是 x轴上的两个定点． ①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ②　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时 抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 【关键词】二次函数的应用 【答案】解：(1) 将点 A(-4，8)的坐标代入 2y ax ，解得 12a  ． 将点 B(2，n)的坐标代入 212y x ，求得点 B的坐标为(2，2)， 则点 B关于 x轴对称点 P的坐标为(2，-2)． 直线 AP的解析式是 5 43 3y x   ． 令 y=0，得 45x  ．即所求点Q的坐标是( 4 5 ，0)． M N CB E F A A1 4 x2 2 A 8 -2O -2-4 y 6 B CD -4 4 (2)①　解法 1：CQ=︱-2- 45 ︱= 14 5 ， 故将抛物线 212y x 向左平移 14 5 个单位时，A′C+CB′最短， 此时抛物线的函数解析式为 21 14( )2 5y x  ． 解法 2：设将抛物线 212y x 向左平移 m个单位，则平移后 A′，B′的坐标分别为 A′(-4-m，8)和 B′(2- m，2)，点 A′关于 x轴对称点的坐标为 A′′(-4-m，-8)． 直线 A′′B′的解析式为 5 5 43 3 3y x m   ． 要使 A′C+CB′最短，点 C应在直线 A′′B′上， 将点 C(-2，0)代入直线 A′′B′的解析式，解得 145m  ． 故将抛物线 212y x 向左平移 14 5 个单位时 A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为 21 14( )2 5y x  ． ②　左右平移抛物线 212y x ，因为线段 A′B′和 CD的长是定值，所以要使四边形 A′B′CD的周长最短，只 要使 A′D+CB′最短； 第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有 A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形 A′B ′CD的周长最短． 第二种情况：设抛物线向左平移了 b个单位，则点 A′和点 B′的坐标分别为 A′(-4-b，8)和 B′(2-b，2)． 因为 CD=2，因此将点 B′向左平移 2个单位得 B′′(-b，2)， 要使 A′D+CB′最短，只要使 A′D+DB′′最短． 点 A′关于 x轴对称点的坐标为 A′′(-4-b，-8)， 直线 A′′B′′的解析式为 5 5 22 2y x b   ． 要使 A′D+DB′′最短，点D应在直线 A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线 A′′B′′的解析式，解得 165b  ． 故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形 A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为 4 x2 2 A 8 -2O -2-4 y 6 B CD -4 4 Q P 4 x2 2 A′ 8 -2O -2-4 y 6 B′ CD -4 4 A′′ 21 16( )2 5y x  ． 51、（2009年舟山）如图，已知点 A(-4，8)和点 B(2，n)在抛物线 2y ax 上． (1)　求 a的值及点 B关于 x轴对称点 P的坐标，并在 x轴上找一点Q，使得 AQ+QB最短，求出点Q的坐 标； (2)　平移抛物线 2y ax ，记平移后点 A的对应点为 A′，点 B的对应点为 B′，点 C(-2，0)和点D(-4，0)是 x轴上的两个定点． ①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ②　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时 抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 【关键词】二次函数的应用 【答案】解：(1) 将点 A(-4，8)的坐标代入 2y ax ，解得 12a  ． 将点 B(2，n)的坐标代入 212y x ，求得点 B的坐标为(2，2)， 则点 B关于 x轴对称点 P的坐标为(2，-2)． 直线 AP的解析式是 5 43 3y x   ． 令 y=0，得 45x  ．即所求点Q的坐标是( 4 5 ，0)． 4 x2 2 A′ 8 -2O -2-4 y 6 B′ CD -4 4 A′′ B′′ 4 x2 2 A 8 -2O -2-4 y 6 B CD -4 4 (2)①　解法 1：CQ=︱-2- 45 ︱= 14 5 ， 故将抛物线 212y x 向左平移 14 5 个单位时，A′C+CB′最短， 此时抛物线的函数解析式为 21 14( )2 5y x  ． 解法 2：设将抛物线 212y x 向左平移 m个单位，则平移后 A′，B′的坐标分别为 A′(-4-m，8)和 B′(2- m，2)，点 A′关于 x轴对称点的坐标为 A′′(-4-m，-8)． 直线 A′′B′的解析式为 5 5 43 3 3y x m   ． 要使 A′C+CB′最短，点 C应在直线 A′′B′上， 将点 C(-2，0)代入直线 A′′B′的解析式，解得 145m  ． 故将抛物线 212y x 向左平移 14 5 个单位时 A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为 21 14( )2 5y x  ． ②　左右平移抛物线 212y x ，因为线段 A′B′和 CD的长是定值，所以要使四边形 A′B′CD的周长最短，只 要使 A′D+CB′最短； 第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有 A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形 A′B ′CD的周长最短． 第二种情况：设抛物线向左平移了 b个单位，则点 A′和点 B′的坐标分别为 A′(-4-b，8)和 B′(2-b，2)． 因为 CD=2，因此将点 B′向左平移 2个单位得 B′′(-b，2)， 要使 A′D+CB′最短，只要使 A′D+DB′′最短． 点 A′关于 x轴对称点的坐标为 A′′(-4-b，-8)， 直线 A′′B′′的解析式为 5 5 22 2y x b   ． 要使 A′D+DB′′最短，点D应在直线 A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线 A′′B′′的解析式，解得 165b  ． 故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形 A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为 4 x2 2 A 8 -2O -2-4 y 6 B CD -4 4 Q P 4 x2 2 A′ 8 -2O -2-4 y 6 B′ CD -4 4 A′′ 21 16( )2 5y x  ． 53、3.（2009年广州市）如图 13，二次函数 )0(2  pqpxxy 的图象与 x轴交于A、B两点，与 y 轴交于点 C（0，-1），ΔABC的面积为 4 5 。 （1）求该二次函数的关系式； （2）过 y轴上的一点M（0，m）作 y轴上午垂线，若该垂线与ΔABC的 外接圆有公共点，求m的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使四边形ABCD为直角梯形？ 若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。 54、（2009年衡阳市）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是 （1，－2），求这个二次函数的关系式． 【关键词】二次函数解析式的求法 【答案】解：设这个二次函数的关系式为 2)1( 2  xay 得： 2)10(0 2 a 解得： 2a ∴这个二次函数的关系式是 2)1(2 2  xy ，即 xxy 42 2  55、（2009年益阳市）阅读材料： 如图 12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线 在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计 算三角形面积的新方法： ahS ABC 2 1 ，即三角形面积等于水平宽 与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题： 如图 12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x轴于点 A(3,0)，交 y轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB的解析式； (2)点 P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P点运动到顶点 C时，求 △CAB的铅垂高 CD及 CABS ； (3)是否存在一点 P，使 S△PAB= 8 9 S△CAB，若存在，求出 P点的坐标；若不存在，请说明理由. 4 x2 2 A′ 8 -2O -2-4 y 6 B′ CD -4 4 A′′ B′′ B C 铅垂高 水平宽 h a 图 12-1 A 2 【关键词】二次函数 【答案】解：(1)设抛物线的解析式为： 4)1( 21  xay . 把 A（3,0）代入解析式求得 1a 所以 324)1( 221  xxxy . 设直线 AB的解析式为： bkxy 2 由 3221  xxy 求得 B点的坐标为 )3,0( . 把 )0,3(A ， )3,0(B 代入 bkxy 2 中 解得： 3,1  bk 所以 32  xy . (2)因为 C点坐标为(１,4) 所以当 x＝１时，y1＝4，y2＝2 所以 CD＝4-2＝2. 3232 1 CABS (平方单位). (3)假设存在符合条件的点 P，设 P点的横坐标为 x，△PAB的铅垂高为 h， 则 xxxxxyyh 3)3()32( 2221  . 由 S△PAB= 8 9 S△CAB 得： 38 9)3(32 1 2  xx 化简得： 09124 2  xx 解得， 2 3x 将 2 3x 代入 3221  xxy 中， 解得 P点坐标为 )4 15,2 3( 56、（2009年济宁市）某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出 80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件. （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？ （2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？ 【关键词】二次函数的实际应用 【答案】解：(1) （130-100）×80=2400（元）； （2）设应将售价定为 x元，则销售利润 130( 100)(80 20)5 xy x     24 1000 60000x x    24( 125) 2500x    .当 125x  时， y有最 大值2500.∴应将售价定为125元,最大销售利润是2500元. 57、（2009 年日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该 设施的下部 ABCD是矩形，其中 AB=2米，BC=1米；上部 CDG是等边三角形，固定点 E为 AB的中点． 图 12-2 x C O y A B D 1 1 △EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动 且始终保持和 AB平行的伸缩横杆． （1）当MN和 AB之间的距离为 0.5米时，求此时△EMN的面积； （2）设MN与 AB之间的距离为 x米，试将△EMN的面积 S（平方米）表示成关于 x的函数； （3）请你探究△EMN的面积 S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由． 【关键词】二次函数的极值问题, 二次函数的应用, 相似三角形判定和性质 【答案】 解：（1）由题意，当MN和 AB之间的距离为 0.5米时，MN应位于 DC下方，且此时△EMN中MN边上 的高为 0.5米. 所以，S△EMN= 5.022 1  =0.5（平方米）. 即△EMN的面积为 0.5平方米. （2）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动， 即0＜x≤1时， △EMN的面积 S= x22 1 = x ； ②如图 2所示，当MN在三角形区域滑动， 即1＜x＜ 31 时， 如图，连接 EG，交 CD于点 F，交MN于点H， ∵ E为 AB中点， ∴ F为 CD中点，GF⊥CD,且 FG＝ 3 . 又∵ MN∥CD， ∴ △MNG∽△DCG． ∴ GF GH DC MN  ，即 2[ 3 1 ]3 xMN   ． 故△EMN的面积 S＝ 1 2[ 3 1 ]2 3 x x   ＝ xx )3 31(3 3 2  ； 综合可得：              3113 313 3 10 2 ＜＜＜ ＜＜ xxx xx S （3）①当MN在矩形区域滑动时， xS  ，所以有 10  S ； EA B G N D M C （第 23题图） E N EB B G D M A B C 图 1 EA B G N D M C 图 2 H F ②当MN在三角形区域滑动时，S= xx )3 31(3 3 2  . 因而，当 2 31 2  a bx （米）时,S得到最大值， 最大值 S= a bac 4 4 2 = ）（ ）（ 3 34 3 31 2   = 3 3 2 1  （平方米）. ∵ 13 3 2 1  ， ∴ S有最大值，最大值为 3 3 2 1  平方米. 58、（2009年福州）已知直线 l：y=－x+m（m≠0）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在 线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将△ACM绕点M旋转 180°，得到△FEM，则点 E 在 y轴上, 点 F在直线 l上;取线段 EO中点 N,将 ACM沿MN所在直线 翻折，得到△PMG，其中 P与 A为对称点.记：过点 F的双曲线为 1C ， 过点M且以 B为顶点的抛物线为 2C ，过点 P且以M为顶点的抛物线 为 3C . (1) 如图 10，当m=6时，①直接写出点M、F的坐标，②求 1C 、 2C 的函数解析式； （2）当m发生变化时， ①在 1C 的每一支上，y随 x的增大如何变化？ 请说明理由。 ②若 2C 、 3C 中的 y都随着 x的增大而减小,写出 x的取值范围。 【关键词】相似三角形,用待定系数法求反比例函数和二次函数解析式,函 数增减性. 【答案】（１）①点Ｍ的坐标为（２，４），点Ｆ的坐标为（－２， ８）． 2 设 1C 的函数解析式为 x ky  （ )0k ． 　∵ 1C 过点Ｆ（－２，８） 　∴ 1C 的函数解析式为 xy 16 ． ∵ 2C 的顶点Ｂ的坐标是（０，６）, ∴设 2C 的函数解析式为 2 6( 0)y ax a   ． ∵ 2C 过点 M（2，4）, ∴ 464 a . 2 1a ． ∴ 2C 的函数解析式为 62 1 2  xy ． （2）依题意得，A（m，０），B（０，m）， ∴点Ｍ坐标为（ mm 3 2,3 1 ），点Ｆ坐标为（ m3 1 ， m3 4 ）． ①设 1C 的函数解析式为 ky x （ )0k ． ∵ 1C 过点Ｆ（ m3 1 ， m3 4 ）, 图 10 ∴ 29 4mk  ． ∵ 0m ,∴ 0k  . ∴在 1C 的每一支上，y随着 x的增大而增大． ②答：当m ＞０时，满足题意的 x的取值范围为 0＜x＜ m3 1 ； 当m ＜０时，满足题意的 x的取值范围为 m3 1 ＜x＜０． 59、（2009年宜宾）如图，在平面直角坐标系 x O y 中，等腰梯形 OABC 的下底边 OA 在 x 的正半轴上， BC∥OA，OC=AB，tan∠BAO= 3 4 ,点B的坐标为（7，4）。 （1）求 A、C的坐标； （2）求经过点 O、B、C的抛物线的解析式； （3）在第一象限内（2）中的抛物线上是否存在一点 P，使得经过点 P且与等腰梯形一腰平行的直线将该 梯形分成面积相等的两个部分？若存在，请求出点 P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【关键词】正切，坐标的意义，求二次函数解析式，求一次函数解析式，梯形和平行四边形的面积，一元 二次方程，两直线平行时解析式的特征 【答案】(1)过点B作 BH⊥OA, 过点C作 CG⊥OA,垂足分别为 H、G.得△OCG≌△ABH. ∵tan∠BAO= 3 4 ,∴ AH BH = 3 4 . ∵点B的坐标为（7，4）,∴BH=4,AH=3. ∴CG=BH=4,OG=AH=3. ∴点A的坐标是(10,0),点C的坐标是(3,4). (2) 设经过点 O、B、C的抛物线的解析式为 cbxaxy  2 ,则       .439 4749 0 cba cba c ， ， 解得a= 21 4 ,b= 21 40 ,c=0. ∴ xxy 21 40 21 4 2  . (也可以利用抛物线的对称性求解析式) (3)直线AB的解析式是 3 40 3 4  xy ,直线 OC的解析式是 xy 3 4 . S 梯形 OABC=28， 若经过点 P且与等腰梯形 OABC腰 AB平行的直线解析式是 mxy  3 4 ，该直线交 OA、BC于点 M、N， ∵S 平行四边形 MABN= 3 4 S 梯形 OABC =14，∴BN= 4 14 = 2 7 .∴点 N的坐标是( 2 7 ,4). x y A BC O 24第 题图 HG 将( 2 7 ,4)代入 mxy  3 4 ,得 m= 3 26 .联立      .21 40 21 4 3 26 3 4 2 xxy xy ， 消去 y,得 091342 2  xx ,x= 2 10717 . 若经过点 P且与等腰梯形 OABC腰OC平行的直线解析式是 nxy 3 4 ，该直线交 OA、BC于点 K、L， ∵S 平行四边形 OKLC= 3 4 S 梯形 OABC =14，∴OK= 4 14 = 2 7 .∴点 K的坐标是( 2 7 ,0). 将( 2 7 ,0)代入 nxy 3 4 ,得 n=- 3 14 .联立      .21 40 21 4 3 14 3 4 2 xxy xy ， 消去 y,得 04962 2  xx , x= 2 1073 . 60、（2009 年福州）如图 9，等边 ABC 边长为 4， E 是边 BC上动点， ACEH  于 H，过 E 作 EF ∥ AC ，交线段 AB于点F ，在线段 AC 上取点P ，使 EBPE  。设 )20(  xxEC 。 （1） 请直接写出图中与线段EF 相等的两条线段（不再另外添加辅助线）； （2） Q是线段 AC 上的动点，当四边形 EFPQ是平行四边形时,求□EFPQ的面积（用含 x 的代数式 表示）； （3） 当（2）中 的□EFPQ面积最大值时，以 E为圆心， r 为半径作圆，根据⊙E与此时□EFPQ四条 边交点的总个数，求相应的 r 的取值范围。 【关键词】二次函数的极值,图形中的二次函数,菱形判定, 直线与圆 x y A BC O 24第 题图 HG x y A BC O 24第 题图 HG 的位置关系,分类讨论思想 【答案】（１）ＢＥ、ＰＥ、BF三条线段中任选两条． （２）在Ｒ t△Ｃ HＥ中，∠CHE＝9０°,∠Ｃ＝６０°， ∴ＥH＝ 32 x . ∵PQ=EF=BE=4-x, ∴ 23 2 32EFPQS x x  Y ． （３） 2 2 3 2 32 3 ( 2) 2 32 EFPQS x x x        Y ∴当 x＝２时， EFPQSY 有最大值． 此时 E、F、P分别为△ABC三边 BC、AB、AC的中点，且点 C、 点Q重合 ∴平行四边形 EFPQ是菱形． 过Ｅ点作ＥD⊥ＦＰ于D， ∴ＥD＝ＥH＝ 3． ∴当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是２个时，０＜r＜ 3； 当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是４个时，r＝ 3； 当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是６个时， 3＜r＜２； 当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是３个时，r＝２时； 当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是０个时，r＞２时． 61、（2009年重庆）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每 台的售价 y（元）与月份 x之间满足函数关系 50 2600y x   ，去年的月销售量 p（万台）与月份 x之间 成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表： 月份 1月 5月 销售量 3.9万台 4.3万台 （1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？ （2）由于受国际金融危机的影响，今年 1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年 12月份下降了 %m ，且每月的销售量都比去年 12月份下降了 1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买 新的家电产品，国家按该产品售价的 13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年 3至 5月份，该厂家销往 农村的这种电视机在保持今年 2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年 2月份增加了 1.5万 台．若今年 3至 5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴 936万元，求m的值（保留一位小 数）． （参考数据： 34 5.831≈ ， 35 5.916≈ ， 37 6.083≈ ， 38 6.164≈ ） 【关键词】确定一次函数解析式, 二次函数的极值问题, 一元二次方程的应用 【答案】(1)设去年的月销售量 p（万台）与月份 x之间的一次函数关系是 bkxp  ,根据题意,得     .53.4 ,9.3 bk bk 解得     .8.3 ,1.0 b k ∴ 8.31.0  xp . 设该品牌电视机在农村的销售金额为w万元,则 )260050)(8.31.0(  xxpyw = 9880705 2  xx = 10125)7(5 2  x ∴该品牌电视机在去年 7月销往农村的销售金额最大,最大是 10125万元. (2)当 12x 时, 2000y , 5p . 根据题意,列方程,得  9363%135.1%)5.11(5%)1(2000  mm 整理,得 053%)(14%)(75 2  mm . 解得 115 3714% m (舍去)或 528.015 3714% m .所以m的值是 52.8. 62、（2009年重庆）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形 OABC的边 OA在 y轴的正半轴上， OC在 x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点 O作∠AOC的平分线交 AB于点 D，连接 DC，过点 D作 DE⊥DC，交OA于点 E． （1）求过点 E、D、C的抛物线的解析式； （2）将∠EDC绕点 D按顺时针方向旋转后，角的一边与 y轴的正半轴交于点 F，另一边与线段OC交于 点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为 65，那么 EF=2GO是否成立？若成立， 请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 CQ与 AB的交点 P 与点 C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【关键词】全等三角形,矩形,待定系数法求二次函数解析式, 分类讨论思想 【答案】解：（1）由已知，得 (3 0)C ， ， (2 2)D ， ， 90ADE CDB BCD     Q ° ， 1tan 2 tan 2 12AE AD ADE BCD        g ．  (0 1)E ，． 设过点E D C、、 的抛物线的解析式为 2 ( 0)y ax bx c a    ． 将点E的坐标代入，得 1c  ． 将 1c  和点D C、 的坐标分别代入，得 4 2 1 2 9 3 1 0. a b a b       ， 解这个方程组，得 5 6 13 6 a b     故抛物线的解析式为 25 13 16 6y x x    ． （2） 2EF GO 成立． Q点M 在该抛物线上，且它的横坐标为 65， 点M 的纵坐标为125 ． 设DM 的解析式为 1( 0)y kx b k   ， 将点D M、 的坐标分别代入，得 1 1 2 2 6 12 .5 5 k b k b     ， 解得 1 1 2 3 k b     ， ．  DM 的解析式为 1 32y x   ．  (0 3)F ， ， 2EF  ． 过点D作DK OC⊥ 于点K， 则DA DK ． y x D B C A E O Ｍ F KG 90ADK FDG   Q °， FDA GDK   ． 又 90FAD GKD   Q °， DAF DKG△≌△ ． 1KG AF   ． 1GO  ． 2EF GO  ． （3）Q点P在 AB上， (1 0)G ， ， (3 0)C ， ，则设 (1 2)P ， ．  2 2 2( 1) 2PG t   ， 2 2 2(3 ) 2PC t   ， 2GC  ． ①若PG PC ，则 2 2 2 2( 1) 2 (3 ) 2t t     ， 解得 2t  ． (2 2)P ， ，此时点Q与点P重合．  (2 2)Q ， ． ②若PG GC ，则 2 2( 1) 2 2t    ， 解得 1t  ， (1 2)P ， ，此时GP x⊥ 轴． GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为 1， 点Q的纵坐标为 73 ．  71 3Q    ， ． ③若PC GC ，则 2 2 2(3 ) 2 2t   ， 解得 3t  ， (3 2)P ， ，此时 2PC GC  ， PCG△ 是等腰直角三角形． 过点Q作QH x⊥ 轴于点H ， 则QH GH ，设QH h ， ( 1 )Q h h  ， ． 25 13( 1) ( 1) 16 6h h h      ． 解得 1 2 7 25h h  ， （舍去）． 12 7 5 5Q     ， ． 综上所述，存在三个满足条件的点Q， 即 (2 2)Q ， 或 71 3Q    ， 或 12 7 5 5Q    ， ． 63、3（2009年广西钦州）如图，已知抛物线 y＝ 34 x 2＋bx＋c与坐标轴交于 A、B、C三点， A点的 坐标为（－1，0），过点 C的直线 y＝ 34 t x－3与 x轴交于点 Q，点 P是线段 BC上的一个动点，过 P作 PH⊥OB于点H．若 PB＝5t，且 0＜t＜1． （1）填空：点 C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_； （2）求线段QH的长（用含 t的式子表示）； y x D B C A E O Q P HG (P)(Q) Q (P) （3）依点 P的变化，是否存在 t的值，使以 P、H、Q为顶点的三角形与 △COQ相似？若存在，求出所有 t的值；若不存在，说明理由． 【关键词】二次函数、一次函数、相似三角形. 【答案】 解：（1）（0，－3），b＝－ 94 ，c＝－3． （2）由（1），得 y＝ 3 4 x2－ 9 4 x－3，它与 x轴交于 A，B两点，得 B（4，0）． ∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5． 由题意，得△BHP∽△BOC， ∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5， ∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5， ∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t． ∴OH＝OB－HB＝4－4t． 由 y＝ 34t x－3与 x轴交于点Q，得Q（4t，0）． ∴OQ＝4t． ①当H在Q、B之间时， QH＝OH－OQ ＝（4－4t）－4t＝4－8t． ②当H在O、Q之间时， QH＝OQ－OH ＝4t－（4－4t）＝8t－4． 综合①，②得QH＝｜4－8t｜； （3）存在 t的值，使以 P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似． ①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t， 若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得 4 83 t ＝ 34 t t ， ∴t＝ 732 ． 若△PHQ∽△COQ，则 PH∶CO＝HQ∶OQ，得 33 t＝ 4 84 t t  ， 即 t2＋2t－1＝0． ∴t1＝ 2－1，t2＝－ 2－1（舍去）． ②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4． 若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得 8 43 t  ＝ 34 t t ， ∴t＝ 2532 ． 若△PHQ∽△COQ，则 PH∶CO＝HQ∶OQ，得 33 t＝ 8 44 t t  ， 即 t2－2t＋1＝0． ∴t1＝t2＝1（舍去）． 综上所述，存在 t的值，t1＝ 2－1，t2＝ 732 ，t3＝ 25 32 ． 4.（2009年广西梧州）如图（9）-1，抛物线 2 3y ax ax b   经过 A（ 1 ，0），C（3， 2 ）两点， 与 y轴交于点D，与 x轴交于另一点 B． （1）求此抛物线的解析式； （2）若直线 )0(1  kkxy 将四边形 ABCD面积二等分，求 k的值； （3）如图（9）-2，过点 E（1，1）作 EF⊥ x 轴于点 F，将△AEF绕平面内某 点旋转 180°得△MNQ（点M、N、Q分别与点 A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，作MG⊥ x轴于点 G，若线段MG︰AG＝1︰2，求点M，N的坐标． 【关键词】二次函数、待定系数法、一元二次方程、四边形. 【答案】 （1）解：把 A（ 1 ，0），C（3， 2 ）代入抛物线 2 3y ax ax b   得     299 0)1(3)1( 2 baa baa 整理得     2 04 b ba 解得      2 2 1 b a ∴抛物线的解析式为 22 3 2 1 2  xxy （2）令 022 3 2 1 2  xx 解得 1 21 4x x  ， D O BA x y C y=kx+1 E F M N G O BA x y Q ∴ B点坐标为（4，0） 又∵D点坐标为（0， 2 ）　　∴AB∥CD ∴四边形 ABCD是梯形． ∴S 梯形ABCD ＝ 82)35(2 1  设直线 )0(1  kkxy 与 x轴的交点为H， 与 CD的交点为 T， 则H（ k 1 ，0）， T（ k 3 ， 2 ） ∵直线 )0(1  kkxy 将四边形 ABCD面积二等分 ∴S 梯形 AHTD ＝ 2 1 S 梯形ABCD＝４ ∴ 42)311(2 1  kk 　 ∴ 3 4k （3）∵MG⊥ x轴于点G，线段MG︰AG＝1︰2 ∴设M（m， 2 1 m ）， ∵点M在抛物线上 ∴ 22 3 2 1 2 1 2  mmm 解得 1 23 1m m  ， （舍去） ∴M点坐标为（3， 2 ）根据中心对称图形性质知，MQ∥AF，MQ＝AF，NQ＝EF， ∴N点坐标为（1， 3 ） 5. (2009年甘肃定西)如图 14（1），抛物线 2 2y x x k   与 x轴交于 A、B两点，与 y轴交于点 C（0， 3 ）．［图 14（2）、图 14（3）为解答备用图］ （1） k 　　　　　，点 A的坐标为　　　　　　，点 B的坐标为　　　　　； （2）设抛物线 2 2y x x k   的顶点为M，求四边形 ABMC的面积； （3）在 x轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC的面积最大？若存在，请求出点 D的坐标； 若不存在，请说明理由； （4）在抛物线 2 2y x x k   上求点Q，使△BCQ是以 BC为直角边的直角三角形． D O BA x y C B Cy=kx+1 H T E F M N G O BA x y Q 【关键词】一次函数、二次函数、待定系数法、一元二次方程、四边形. 【答案】 解：（1） 3k   ， A（-1，0）， B（3，0）． （2）如图 14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM． 则 △AOC的面积= 2 3 ，△MOC的面积= 2 3 ， △MOB的面积=6， ∴四边形 ABMC的面积 =△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9． 说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形 ABMC的面 积转化为求 1个梯形与 2个直角三角形面积的和． （3）如图 14（2），设D（m， 322  mm ），连结OD． 则 0＜m＜3， 322  mm ＜0． 且 △AOC的面积= 2 3 ，△DOC的面积= m2 3 ， △DOB的面积=- 2 3 （ 322  mm ）， ∴四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积 = 62 9 2 3 2  mm = 8 75)2 3(2 3 2  m ． ∴存在点D 3 15( )2 4， ，使四边形 ABDC的面积最大为 8 75． （4）有两种情况： 如图 14（3），过点 B作 BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交 y轴于点 E，连接Q1C． ∵∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3． ∴点 E的坐标为（0，3）． ∴直线 BE的解析式为 3y x   ． 由 2 3 2 3 y x y x x       ， 解得 1 1 2 5 x y ， ； ì = -ïïíï =ïî 2 2 3 0. x y ，ì =ïïíï =ïî ∴点Q1的坐标为（-2，5）． 图 14（ 2） 图 14 （ 3 ） 图 14（ 4） 如图 14（4），过点 C作 CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交 x轴于点 F，连接 BQ2． ∵∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3． ∴点 F的坐标为（-3，0）． ∴直线 CF的解析式为 3y x   ． 由 2 3 2 3 y x y x x       ， 解得 1 1 0 3 x y ， ； ì =ïïíï = -ïî 2 2 1 4 x y ， ． ì =ïïíï = -ïî ∴点Q2的坐标为（1，-4）． 综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以 BC为直角边的直角三 角形． 说明：如图 14（4），点Q2即抛物线顶点M，直接证明△BCM为直角三角形同样得 2分． 66、2009年包头）某商场试销一种成本为每件 60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且 获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数 y kx b  ，且 65x  时， 55y  ； 75x  时， 45y  ． （1）求一次函数 y kx b  的表达式； （2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价 x之间的关系式；销售单价定为多少元时， 商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于 500元，试确定销售单价 x的范围． 【关键词】一次函数、二次函数、最大值 解：（1）根据题意得 65 5575 45. k b k b     ， 解得 1 120k b  ， ． 所求一次函数的表达式为 120y x   ． （2分） （2） ( 60) ( 120)W x x   g 2 180 7200x x    2( 90) 900x    ， （4分） Q抛物线的开口向下，当 90x  时，W 随 x的增大而增大， 而60 87x≤≤ ， 当 87x  时， 2(87 90) 900 891W      ． 当销售单价定为 87元时，商场可获得最大利润，最大利润是 891元． （6分） （3）由 500W  ，得 2500 180 7200x x    ， 整理得， 2 180 7700 0x x   ，解得， 1 270 110x x ， ． （7分） 由图象可知，要使该商场获得利润不低于 500元，销售单价应在 70元到 110元之间，而 60 87x≤≤ ， 所以，销售单价 x的范围是70 87x≤≤ ． （10分） （2009年包头）已知二次函数 2y ax bx c   （ 0a  ）的图象经过点 (1 0)A ， ， (2 0)B ， ， (0 2)C ， ， 直线 x m （ 2m  ）与 x轴交于点D． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线 x m （ 2m  ）上有一点 E（点 E在第四象限），使得 E D B、、 为顶点的三角形与以 A O C、、 为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ，使得四边形 ABEF为平行四边形？若存在，请 求出m的值及四边形 ABEF的面积；若不存在，请说明理由． 【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线 y xO 解：（1）根据题意，得 0 4 2 0 2. a b c a b c c         ， ， 解得 1 3 2a b c    ，， ． 2 3 2y x x     ． （2分） （2）当 EDB AOC△∽△ 时， 得 AO COED BD 或 AO CO BD ED ， ∵ 1 2 2AO CO BD m   ，， ， 当 AO COED BD 时，得 1 2 2ED m  ， ∴ 22 mED  ， ∵点E在第四象限，∴ 1 2 2 mE m    ， ． （4分） 当 AO COBD ED 时，得 1 2 2m ED ，∴ 2 4ED m  ， ∵点E在第四象限，∴ 2 ( 4 2 )E m m， ． （6分） （3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形 ABEF为平行四边形，则 1EF AB  ，点F 的横坐标为 1m  ， 当点 1E 的坐标为 2 2 mm    ， 时，点 1F 的坐标为 21 2 mm    ， ， ∵点 1F 在抛物线的图象上， ∴ 22 ( 1) 3( 1) 22 m m m       ， ∴ 22 11 14 0m m   ， ∴ (2 7)( 2) 0m m   ， ∴ 7 22m m ， （舍去）， ∴ 1 5 3 2 4F    ， ， ∴ 3 31 4 4ABEFS   Y ． （9分） 当点 2E 的坐标为 ( 4 2 )m m， 时，点 2F 的坐标为 ( 1 4 2 )m m ， ， ∵点 2F 在抛物线的图象上， ∴ 24 2 ( 1) 3( 1) 2m m m       ， ∴ 2 7 10 0m m   ， ∴ ( 2)( 5) 0m m   ，∴ 2m  （舍去）， 5m  ， y xO BA D C (x=m) (F2)F1 E1 (E2) ∴ 2 (4 6)F ， ， ∴ 1 6 6ABEFS   Y ． （12分） 注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分． （2009 年长沙）如图，二次函数 2y ax bx c   （ 0a  ）的图象与 x轴交于 A B、 两点，与 y轴相交 于点C．连结 AC BC A C、，、 两点的坐标分别为 ( 3 0)A  ， 、 (0 3)C ， ，且当 4x   和 2x  时二次函数 的函数值 y相等． （1）求实数a b c，， 的值； （2）若点M N、 同时从 B点出发，均以每秒 1个单位长度的速度分别沿 BA BC、 边运动，其中一个点 到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为 t秒时，连结MN ，将 BMN△ 沿MN 翻折， B点 恰好落在 AC边上的P处，求 t的值及点P的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以 B N Q，， 为项点的三角形与 ABC△ 相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【关键词】二次函数、运动变化、相似、存在性 68、（2009年莆田）已知，如图 1，过点  0 1E ， 作平行于 x轴的直线 l，抛物线 214y x 上的两点 A B、 的横坐标分别为 1和 4，直线 AB交 y轴于点 F ，过点 A B、 分别作直线 l的垂线，垂足分别 为点C、D，连接CF DF、 ． （1）求点 A B F、、 的坐标； （2）求证：CF DF ； （ 3 ） 点 P 是 抛 物 线 21 4y x 对称轴右侧图象上的一动点，过点 P作 PQ PO⊥ 交 x轴于点Q，是否存在点 P使得 OPQ△ 与 CDF△ 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【关键词】二次函数、抛物线、一次函数、相似三角形 （1）解:方法一，如图 1，当 1x   时, 14y  当 4x  时, 4y  y O x C N B P MA E DC AF B xO y l E DC O F x y （ 图 1） 备用图 ∴1A     1，4 ，  4 4B ， ， 设直线 AB的解析式为 y kx b  ， 则 1 4 4 4 k b k b       　　　解得 3 4 1 k b    ∴直线 AB的解析式为 3 14y x  ， 当 0x  时, 1y   01F ，， 方法二:求 A B、 两点坐标同方法一,如图2,作FG BD , AH BD ,垂足分别为G、H ,交 y轴于点N , 则四边形FOMG和四边形NOMH 均为矩形,设FO x 3分 BGF BHAQ△∽△ BG FG BH AH  4 4 1 54 4 x   ， 解得 1x   0F ，1 ， (2)证明：方法一：在Rt CEF△ 中， 1, 2CE EF  2 2 2 2 21 2 5CF CE EF      5CF  ， 在Rt DEF△ 中， 4 2DE EF ， 2 2 2 2 24 2 20DF DE EF      2 5DF  由（1）得    1 1 4 1C D  ，，， 5CD  2 25 25CD   2 2 2CF DF CD   ， 90CFD  ° E DC AF B xO y l （ 图 1） E DC AF B xO y l （ 图 2） G H M CF DF⊥ ， 方法二：由 （1）知 23 5 51 4 4 4AF AC        ， AF AC  ， 同理：BF BD ACF AFC   AC EFQ ∥ ACF CFO   AFC CFO   ， 同理： BFD OFD   90CFD OFC OFD      ° 即CF DF⊥ ， （3）存在. 解：如图 3，作PM x⊥ 轴，垂足为点M 9分 又 PQ OPQ ⊥ Rt RtOPM OQP △∽△ PM OM PQ OP  PQ PM OP OM  ， 设  21 04P x x x     ， ，则 21 4PM x OM x ， ①当Rt RtQPO CFD△∽△ 时， 5 1 22 5 PQ CF OP DF   ， 21 14 2 xPM OM x   解得 2x   1 21P ，， ②当Rt RtOPQ CFD△∽△ 时， 2 5 25 PQ DF OP CF   ， 21 4 2 xPM OM x   解得 8x  E DC O F x y 图 3 M P l Q  2 816P ， 综上，存在点  1 21P ，、  2 816P ， 使得 OPQ△ 与 CDF△ 相似. 70、(2009宁夏)如图，抛物线 21 2 22 2y x x    与 x轴交于 A B、 两点，与 y轴交于C点． （1）求 A B C、、 三点的坐标； （2）证明 ABC△ 为直角三角形； （3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点 P，使 ABP△ 是直角三角形，若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【关键词】二次函数的图象 【答案】解：（1）Q抛物线 21 2 22 2y x x    与 x轴交于 A B、 两点， 21 2 2 02 2x x    ． 即 2 2 4 0x x   ． 解之得： 1 22 2 2x x  ， ． 点 A B、 的坐标为 ( 2 0) 2 2 0A B ，、（，） ． 将 0x  代入 21 2 22 2y x x    ，得C点的坐标为（0，2） （2） 6 2 3 3 2AC BC AB  Q ，， ， 2 2 2AB AC BC   ， 则 90ACB  °， ABC△ 是直角三角形． （3）将 2y  代入 21 2 22 2y x x    得 21 2 2 22 2x x    ， 1 20 2x x  ， ． P 点坐标为 ( 2 2)， ． 71、（2009肇庆）已知一元二次方程 2 1 0x px q    的一根为 2． （1）求q关于 p的关系式； （2）求证：抛物线 2 y x px q   与 x轴有两个交点； （3）设抛物线 2y x px q   的顶点为 M，且与 x 轴相交于 A（ 1x ，0）、B（ 2x ，0）两点，求使 △AMB 面积最小时的抛物线的解析式． 【关键词】二次函数 【答案】（1）解：由题意，得 22 2 1 0p q    ，即 (2 5)q p   ． （2）证明：∵一元二次方程 2 0x px q   的判别式 2 4p q   ， 由（1）得 2 2 24(2 5) 8 20 ( 4) 4 0p p p p p           ，∴一元二次方程 2 0x px q   有两 个不相等的实根． ∴抛物线 2y x px q   与 x轴有两个交点．（3）解：抛物线顶点的坐标为 24 2 4 p q pM     ， ，∵ 1 2x x， 是方程 2 0x px q   的两个根，∴ 1 2 1 2 . x x p x x q     ， y xBOA C ∴ 2 21 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 4AB x x x x x x p q       ∴ 2 2 21 4 1| | ( 4 ) 42 4 8AMB q pS AB p q p q   g△ ，要使 AMBS△ 最小，只须使 2 4p q 最小．而由（2） 得 2 24 ( 4) 4p q p    ， 所以当 4p   时，有最小值 4，此时 AMBS△ 1 3q ， ． 故抛物线的解析式为 2 4 3y x x   ． 72、1．（2009年中山）正方形 ABCD边长为 4，M 、N 分 别是 BC、 CD上的两个动点，当 M 点在 BC上运动时，保持 AM 和 MN 垂直， （1）证明：Rt RtABM MCN△∽△ ； （2）设BM x ，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y与 x之间的 函 数 关 系 式；当M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 面积最大，并 求 出 最 大 面积； （3）当M 点运动到什么位置时 Rt RtABM AMN△∽△ ， 求 x的值． 【关键词】与二次函数有关的面积问题，二次函数的极值问题 【 答 案 】 （ 1 ） 在 正 方 形 ABCD中 ， 4 90AB BC CD B C      ，° ， AM MNQ ， 90AMN  °， 90CMN AMB    °． 在Rt ABM△ 中， 90MAB AMB    °， CMN MAB   ， Rt RtABM MCN △∽△ ． （2） Rt RtABM MCNQ △∽△ ， 4 4 AB BM x MC CN x CN   ， ， 2 4 4 x xCN    ， 2 2 21 4 1 14 4 2 8 ( 2) 102 4 2 2ABCN x xy S x x x                g梯形 ， 当 2x  时， y取最大值，最大值为 10． （3） 90B AMN   Q °， 要使 ABM AMN△∽△ ，必须有 AM ABMN BM ， 由（1）知 AM ABMN MC ， BM MC  ， 当点M 运动到BC的中点时， ABM AMN△∽△ ，此时 2x  ． 2．（2009年漳州）阅读材料，解答问题． 例：用图象法解一元二次不等式： 2 2 3 0x x   ． 解：设 2 2 3y x x   ，则 y是 x的二次函数． 1 0a  Q ， ∴抛物线开口向上． 又Q当 0y  时， 2 2 3 0x x   ， 解得 1 21 3x x  ， ． 由此得抛物线 2 2 3y x x   的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当 1x   或 3x  时， 0y  ．  2 2 3 0x x   的解集是： 1x   或 3x  ． （1）观察图象，直接写出一元二次不等式： 2 2 3 0x x   的解集是____________； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式： 2 1 0x   ．（大致图象画在答题卡上） 【关键词】二次函数与一元二次不等式的解集 【答案】（1） 1 3x   ． （2）解：设 2 1y x  ，则 y是 x的二次函数． 1 0a   Q ， 抛物线开口向上． 又Q当 0y  时， 2 1 0x   ，解得 1 21 1x x  ， ． 由此得抛物线 2 1y x  的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当 1x   或 1x  时， 0y  ． 2 1 0x   的解集是： 1x   或 1x  ． 75、（2009年漳州）如图 1，已知：抛物线 212y x bx c   与 x轴交于 A B、 两点，与 y轴交于点C， 经过B C、 两点的直线是 1 22y x  ，连结 AC． （1）B C、 两点坐标分别为B（_____，_____）、C（_____，_____），抛物线的函数关系式为_______ _______； （2）判断 ABC△ 的形状，并说明理由； （3）若 ABC△ 内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D E F、、、G 在 ABC△ 各边上）？若能， 求出在 AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由． [抛物线 2y ax bx c   的顶点坐标是 24,2 4 b ac b a a     ] 【关键词】二次函数与一元二次方程根之间的内在联系，待定系数法，与二次函数有关的面积问题，二次 函数的极值问题 【答案】（1）B（4，0）， (0 2)C ， ． 21 3 22 2y x x   ． （2） ABC△ 是直角三角形． 证明：令 0y  ，则 21 3 2 02 2x x   ． 1 21 4x x   ， ． ( 1 0)A  ， ． 解法一： 5 5 2 5AB AC BC   ，， ． 2 2 25 20 25AC BC AB      ． ABC△ 是直角三角形． 解法二： 11 2 4 2 CO AOAO CO BO BO OC     Q ，，， 90AOC COB   Q °， C A O B x y C A O B x y 图 1 图 2( 备 用 ) 1 1 1 1 2 1y x  x y AOC COB△∽△ ． ACO CBO   ． 90CBO BCO   Q °， 90ACO BCO    °．即 90ACB  °． ABC△ 是直角三角形． （3）能．①当矩形两个顶点在 AB上时，如图 1，CO交GF 于H ． GF ABQ ∥ ， CGF CAB△∽△ ． GF CH AB CO  ． 解法一：设GF x ，则DE x ， 25CH x ， 22 5DG OH OC CH x     ． 22 22 25 5DEFGS x x x x         矩形 · = 22 5 5 5 2 2x       ． 当 52x  时， S最大． 5 12DE DG  ， ． ADG AOCQ△∽△ ， 1 1 22 2 AD DG AD OD OEAO OC      ，，， ． 1 02D     ， ， (2 0)E ， ． 解法二：设DG x ，则 10 52 xDE GF   ． 2 210 5 5 5 55 ( 1)2 2 2 2DEFG xS x x x x        矩形 · ． 当 1x  时， S最大． 51 2DG DE  ， ． ADG AOCQ△∽△ ， 1 1 22 2 AD DG AD OD OEAO OC      ，，， ． 1 02D     ， ， (2 0)E ， ． ②当矩形一个顶点在 AB上时，F 与C重合，如图 2， DG BCQ ∥ ， AGD ACB△∽△ ． GD AG BC AF  ． 解法一：设GD x ， 5, 2 5AC BC   ， 5 2 xGF AC AG     ． C A O B x y 图 2 D G G G A O B x y 图 1 D E FHC  215 52 2DEFG xS x x x       矩形 · =   21 552 2x   ． 当 5x  时， S最大． 55 2GD AG  ， ， 2 2 5 2AD AG GD    ． 3 2OD  3 02D     ， 解法二：设DE x ， 5AC Q ， 2 5BC  ， GC x  ， 5AG x  ． 2 5 2GD x   ．   22 5 2 2 2 5DEFGS x x x x     矩形 · = 25 52 2 2x       当 52x  时， S最大， 55 2GD AG  ， ． 2 2 5 2AD AG GD    ． 3 .2OD   3 02D    ， 综上所述：当矩形两个顶点在 AB上时，坐标分别为 1 02    ， ，（2，0）；当矩形一个顶点在 AB上 时，坐标为 3 02    ， 76、（2009年哈尔滨）张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的 一边利用足 够长的墙另三边用总长为 32米的篱笆恰好围成．围成的花圃 是如图所示 的矩形ABCD．设AB边的长为 x米．矩形ABCD的面积为 S 平方米． （1）求 S与 x之间的函数关系式（不要求写出自变量 x的 取值范围）． （2）当 x为何值时，S有最大值？并求出最大值． （参考公式：二次函数 2y ax bx c   （ 0a  ），当 2 bx a  时， 24 4 ac by a 最大(小)值 ) 【关键词】与二次函数有关的面积问题，二次函数的极值问题 【答案】（1）中，根据矩形的面积=长×宽，然后后用 x表示出宽，再利用此公式即可.（2）此题给我们公 式了，所以降低了此题的难度，直接利用公式代入即可. 由题意得 (32 2 )S AB BC x x  g 22 32S x x    2 0a   Q ， S 有最大值． 0 x y A B C 32 82 2 ( 2) bx a       ． 2 24 32 1284 4 ( 2) ac bS a     最大值 8x  时， S有最大值是 128． 77、（ 2009 年牡丹江）如图二次函数 2y x bx c   的图象经过  1A  ，0 和  3 0B ， 两点，且交 y轴于点C． （1）试确定b、c的值； （2）过点C作CD x∥ 轴交抛物线于点D，点M 为此抛物线的 顶点，试确 定 MCD△ 的形状． 参考公式：顶点坐标 24 2 4 b ac b a a     ， 【关键词】抛物线的顶点，待定系数法 【答案】（1）将 A、B两点坐标代入解析式，有： 0 10 9 3 b c b c       解得： 2 3b c   ， （2）求出抛物线的顶点  1 4M ，    0 3 2 3 2C D CD  ，，，， CDM△ 是等腰直角三角形 78、5、（2009年兰州）如图 17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6米，底部宽度 OM为 12米. 现以 O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系. (1)直接写出点 M及抛物线顶点 P的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB， 使 C、D点在抛物线上，A、B点在地面 OM上， 则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 【关键词】二次函数的图像和性质以及应用 【答案】解：(1) M(12，0)，P(6，6). (2) 设抛物线解析式为： 6)6( 2  xay . ∵抛物线 6)6( 2  xay 经过点(0，0)， ∴ 6)60(0 2 a ，即 6 1a ∴抛物线解析式为： xxyxy 26 1,6)6(6 1 22  即 . (3) 设 A(m，0)，则 B(12-m ， 0) ， )26 1,12( 2 mmmC  ， )26 1,( 2 mmmD  . ∴“支撑架”总长 AD+DC+CB = )26 1()212()26 1( 22 mmmmm  = 15)3(3 11223 1 22  mmm . ∵ 此二次函数的图象开口向下.∴ 当 m = 3米时，AD+DC+CB 有最大值为 15米. 7、（2009年遂宁）25.如图，二次函数的图象经过点 D(0， 39 7 )，且顶点C的横坐标为 4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P，使PA+PD最小，求出点 P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点 Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，请说 明理由． 【关键词】二次函数的图像的解析式、图像与性质、相似 【答案】⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k，∵顶点C的横坐标为 4，且过点(0， 39 7 ) ∴y=a(x-4)2+k ka 1639 7 ………………①，又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线 段长为 6，∴A(1，0)，B(7，0)，∴0=9a+k ………………②，由①②解得 a= 9 3 ，k= 3－ ，∴二次 函数的解析式为：y= 9 3 (x-4)2－ 3 ⑵∵点A、B关于直线x=4对称，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB，∴当点 P在线段DB上时 PA+PD取得最小 值，∴DB 与对称轴的交点即为所求点 P，设直线 x=4与 x轴交于点 M，∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又 ∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴ BO BM DO PM  ∴ 3 3 7 339 7   PM ，∴点 P 的坐标为(4， 3 3 ) ⑶ 由 ⑴ 知 点 C(4 ， 3 ) ， 又 ∵ AM=3 ， ∴ 在 Rt△AMC 中 ， cot∠ACM= 3 3 ，∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o ①当点 Q在 x轴上方时，过 Q 作 QN⊥x 轴于 N，如果 AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有 BQ=6，∠ABQ=120o，则 ∠QBN=60o，∴QN=3 3，BN=3，ON=10，此时点Q(10， 33 )，如果 AB=AQ，由对称性知 Q(-2， 33 ) ②当点 Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点 Q的坐标是(4， 3 )，经检验，点(10， 33 )与(- 2， 33 )都在抛物线上，综上所述，存在这样的点 Q，使△QAB∽△ABC，点 Q的坐标为(10， 33 )或(- 2， 33 )或(4， 3 )．  2 0y ax bx c a    8、（2009年济南）已知：抛物线的对称轴为与 x轴交于 A B， 两点，与 y轴交于点C，其中  3 0A  ， 、  0 2C ，． （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）已知在对称轴上存在一点 P，使得 PBC△ 的周长最小．请求出点 P的坐标． （3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE PC∥ 交 x轴于点E．连接 PD、PE．设CD的长为m， PDE△ 的面积为 S．求 S与m之间的函数关系式．试说明 S是否存在最 大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【关键词】二次函数的图像和性质 【答案】解：（1）由题意得 12 9 3 0 2 b a a b c c        ，解得 2 3 4 3 2 a b c      ∴此抛物线的解析式为 22 4 23 3y x x   ， （2）连结 AC、 BC .因为 BC的长度一定，所以 PBC△ 周长最小，就是使 PC PB 最小.B点关于对 称轴的对称点是 A点， AC与对称轴 1x   的交点即为所求的点P . 设直线 AC的表达式为 y kx b  ，则 3 02 k b b      ， ，解得 2 3 2 k b      ∴此直线的表达式为 2 23y x   ．把 1x   代入得 4 3y   ∴P点的坐标为 41 3     ， ， （ 3） S存在最大值，理由：∵ DE PC∥， 即 DE AC∥． ∴ OED OAC△∽△． ∴ OD OEOC OA ，即 A C x y BO OA C x y B E P D 1x   ， 2 2 3 m OE  ．∴ 3 33 32 2OE m AE OE m   ，， 方法一：连结OP OED POE POD OEDPDOES S S S S S    △△△△四边形 =    1 3 4 1 1 33 2 1 3 22 2 3 2 2 2m m m m                      = 23 3 4 2m m  ，∵ 3 04  ∴当 1m  时， 3 3 34 2 4S    最大 ， 方法二： OAC OED AEP PCDS S S S S   △△△△ =  1 1 3 1 3 4 13 2 3 2 12 2 2 2 2 3 2m m m m                 =   223 3 3 314 2 4 4m m m      ， ∵ 3 04  ，∴当 1m  时， 3 4S 最大 。 9、（2009年凉山州）如图，已知抛物线 2y x bx c   经过 (1 0)A ， ， (0 2)B ， 两点，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）将 OAB△ 绕点 A顺时针旋转 90°后，点 B落到点C的位置，将抛物线沿 y轴平移后经过点C，求 平移后所得图象的函数关系式； （3）设（2）中平移后，所得抛物线与 y轴的交点为 1B ，顶点为 1D ，若点 N 在平移后的抛物线上，且 满足 1NBB△ 的面积是 1NDD△ 面积的 2倍，求点N 的坐标． 【关键词】二次函数的图像的解析式、图像与性质 【答案】（1）已知抛物线 2y x bx c   经过 (1 0) (0 2)A B，，， ， 0 1 2 0 0 b c c        解得 3 2 b c    ,所求抛物线的解析式为 2 3 2y x x   ． （ 2） (1 0)AQ ， ， (0 2)B ， ， 1 2OA OB  ， ,可得旋转后 C点的坐标为 (31)， ,当 3x  时，由 2 3 2y x x   得 2y  ，可知抛物线 2 3 2y x x   过点 (3 2)， ,将原抛物线沿 y轴向下平移 1个单位 后过点C． 平移后的抛物线解析式为： 2 3 1y x x   ． （3）Q点N 在 2 3 1y x x   上，可设N 点坐标为 20 0 0( 3 1)x x x ， 将 2 3 1y x x   配方得 23 5 2 4y x       ， 其对称轴为 32x  ． ①当 0 30 2x  时，如图①， 1 12NBB NDDS SQ △△ 0 0 1 1 31 2 12 2 2x x            0 1x Q y x B AO D （ 第 26 题） y x C B A O N D B1 D1 图① 此时 20 03 1 1x x    N 点的坐标为 (1 1)， ． ②当 0 32x  时，如图② 同理可得 0 0 1 1 31 22 2 2x x          0 3x  此时 20 03 1 1x x   点N 的坐标为 (31)，． 综上，点N 的坐标为 (1 1)， 或 (31)，． 83、3.（2009年广州市）如图 13，二次函数 )0(2  pqpxxy 的图象与 x轴交于A、B两点，与 y 轴交于点 C（0，-1），ΔABC的面积为 4 5 。 （1）求该二次函数的关系式； （2）过 y轴上的一点M（0，m）作 y轴上午垂线，若该垂线与ΔABC的 外接圆有公共点，求m的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使四边形ABCD为直角梯形？ 若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。 4.（2009年衡阳市）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是 （1，－2），求这个二次函数的关系式． 【关键词】二次函数解析式的求法 【答案】解：设这个二次函数的关系式为 2)1( 2  xay 得： 2)10(0 2 a 解得： 2a ∴这个二次函数的关系式是 2)1(2 2  xy ，即 xxy 42 2  5.（2009年益阳市）阅读材料： 如图 12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线 在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计 算三角形面积的新方法： ahS ABC 2 1 ，即三角形面积等于水平宽 与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题： 如图 12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x轴于点 A(3,0)，交 y轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB的解析式； (2)点 P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P点运动到顶点 C时，求 △CAB的铅垂高 CD及 CABS ； (3)是否存在一点 P，使 S△PAB= 8 9 S△CAB，若存在，求出 P点的坐标；若不存在，请说明理由. y x C B A O D B1 D1 图② N B C 铅垂高 水平宽 h a 图 12-1 A 2 【关键词】二次函数 【答案】解：(1)设抛物线的解析式为： 4)1( 21  xay . 把 A（3,0）代入解析式求得 1a 所以 324)1( 221  xxxy . 设直线 AB的解析式为： bkxy 2 由 3221  xxy 求得 B点的坐标为 )3,0( . 把 )0,3(A ， )3,0(B 代入 bkxy 2 中 解得： 3,1  bk 所以 32  xy . (2)因为 C点坐标为(１,4) 所以当 x＝１时，y1＝4，y2＝2 所以 CD＝4-2＝2. 3232 1 CABS (平方单位). (3)假设存在符合条件的点 P，设 P点的横坐标为 x，△PAB的铅垂高为 h， 则 xxxxxyyh 3)3()32( 2221  . 由 S△PAB= 8 9 S△CAB 得： 38 9)3(32 1 2  xx 化简得： 09124 2  xx 解得， 2 3x 将 2 3x 代入 3221  xxy 中， 解得 P点坐标为 )4 15,2 3( 89、（2009年济宁市）某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可 卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件. （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？ （2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？ 【关键词】二次函数的实际应用 【答案】解：(1) （130-100）×80=2400（元）； （2）设应将售价定为 x元，则销售利润 130( 100)(80 20)5 xy x     24 1000 60000x x    24( 125) 2500x    . 图 12-2 x C O y A B D 1 1 xy (12,36) O 当 125x  时， y有最大值2500. ∴应将售价定为125元,最大销售利润是2500元. 90、2. （2009年株洲市）（本题满分 10分）如图 1，Rt ABC 中， 90A  ， 3tan 4B  ，点P在线段 AB上运动，点Q、 R分别在线段 BC、 AC上，且使得四边形 APQR是矩形．设 AP的长为 x，矩形 APQR的面积为 y，已知 y是 x的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）． （1）求 AB的长； （2）当 AP为何值时，矩形 APQR的面积最大，并求出最大值． 为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论： 张明：图 2中的抛物线过点（12，36）在图 1中表示什么呢？ 李明：因为抛物线上的点 ( , )x y 是表示图 1 中 AP的长与矩形 APQR面积的对应关系，那么， （12，36）表示当 12AP  时， AP的长与矩形 APQR面积的对应关系. 赵明：对，我知道纵坐标 36是什么意思了！ 孔明：哦，这样就可以算出 AB，这个问题就可以解决了. 请根据上述对话，帮他们解答这个问题. 图 1 图 2 【关键词】二次函数最值 【答案】（1）当 12AP  时， 36AP PQ  ∴ 3PQ  ， 又在Rt BPQ 中， 3tan 4B  ，∴ 3 4 PQ PB  ∴ 4PB  ∴ 16AB  ……………4分 （ 2 ） 解 法 一 ： 若 AP x ， 则 16PB x  ， 3 (16 )4PQ x  ， ∴ 3 (16 )4y x x  ， 整 理 得 23 ( 8) 484y x    ∴ 当 8x  时， 48y最大值＝ . 解法二：由 16AB  ，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0）、（12，36），可设抛物线解析式 为 ( 16)y ax x  ，将（12，36）代入求得 34a   ，∴ 3 ( 16)4y x x   ，整理得 23 ( 8) 484y x    ， ∴ 当 8x  时， 48y最大值＝ . R Q P C BA 解法三：由 16AB  ，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0），知抛物线对称轴为 8x  ，∴抛 物线顶点的横坐标为 8.∴当 8AP  时，矩形 APQR的面积最大，此时， 8PB  ，∴ 38 64PQ    ， ∴最大面积为 48. 3.（2009年株洲市）已知 ABC 为直角三角形， 90ACB  ， AC BC ,点 A、C在 x轴上，点 B坐 标为（3，m）（ 0m  ），线段 AB与 y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D． （1）求点 A的坐标（用m表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q为抛物线上点 P至点 B之间的一动点，连结 PQ并延长交 BC于点 E，连结 BQ并延长交 AC于点F ，试证明： ( )FC AC EC 为定值． 【关键词】二次函数的综合题 【答案】（1）由 (3, )B m 可知 3OC  ， BC m ，又△ABC为等腰直角三角形，∴ AC BC m  ， 3OA m  ，所以点 A的坐标是（3 ,0m ）. ………………… 3分 （2）∵ 45ODA OAD     ∴ 3OD OA m   ，则点D的坐标是（0, 3m  ）. 又抛物线顶点为 (1,0)P ，且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为： 2( 1)y a x  ，得： 2 2 (3 1) (0 1) 3 a m a m       解得 1 4 a m   ∴抛物线的解析式为 2 2 1y x x   ………7分 （3）过点Q作QM AC 于点M ，过点Q作QN BC 于点 N ，设点Q的坐标是 2( , 2 1)x x x  ，则 2( 1)QM CN x   ， 3MC QN x   . ∵ //QM CE ∴ PQM ∽ PEC ∴QM PMEC PC 即 2( 1) 1 2 x x EC   ，得 2( 1)EC x  ∵ //QN FC ∴ BQN ∽ BFC ∴QN BNFC BC 即 23 4 ( 1) 4 x x FC    ，得 4 1FC x  y x Q P F E D C B A O 又∵ 4AC  ∴ 4 4 4( ) [4 2( 1)] (2 2) 2( 1) 81 1 1FC AC EC x x xx x x            即 ( )FC AC EC 为定值 8. 93. （2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种 童装开始时的售价为每件 20元，并且每周（7天）涨价 2元，从第 6周开始，保持每件 30元的稳定价格 销售，直到 11周结束，该童装不再销售。 （1）请建立销售价格 y（元）与周次x之间的函数关系； （2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价 z（元）与周次 x 之间的关系为 12)8(8 1 2  xz ， 1≤ x ≤11，且 x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最 大？并求最大利润为多少？ 【关键词】二次函数极值 【答案】【答案】（1） 20 2( 1) 2 18 30 x xy      (1 6)( 11)( ) x x x x     为整数) (6为整数 （2）设利润为w 2 2 2 2 1 120 2( 1) ( 8) 12 14(1 6)8 8 1 130 ( 8) 12 ( 8) 18(6 11)8 8 ( y z x x x x xw y z x x x x                        为整数 为整数) 21 148w x  当 5x  时， 117 (8w 最大 元) 21 ( 8) 188w x   当 11x  时， 1 19 18 1 188 8w     最大 119 ( )8 元 综上知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件 119 8元. 94、 （2009年重庆市江津区）如图，抛物线 cbxxy  2 与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交 y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC的周长最小？ 若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点 P的 坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由. 【关键词】与二次函数有关的面积问题 第 26题图 AB C 【答案】解：（1）将A（1，0）B（-3，0）代入 2y x bx c    中得 1 0 9 3 0 b c b c         ∴ 2 3 b c    ∴抛物线解析式为： 2 2 3y x x    （2）存在 理由如下：由题意知A、B两点关于抛物线的对称轴 1x   对称 ∴直线 BC与 1x   的交点即为Q点，此时△AQC周长最小 ∵ 2 2 3y x x    ∴C的坐标为：（0，3） 直线 BC解析式为 3y x  Q点坐标即为 1 3 x y x     的解 ∴ 1 2 x y    ∴Q（-1，2） （3）答：存在 理由如下： 设P点 2( , 2 3)x x x   ( 3 0)x   ∵ BPC BOCBPCOS S S  四边形 = 92BPCOS 四边形 若 BPCOS四边形 有最大值，则 BPCS 就最大， 过 P点作 PE⊥ x轴于 E ∴ Rt BPEBPCO PEOCS S S 四边形直角梯形 1 1 ( )2 2BE PE OE PE OC    2 21 1( 3)( 2 3) ( )( 2 3 3)2 2x x x x x x           23 3 9 27( )2 2 2 8x     当 32x   时， BPCOS四边形 最大= 9 27 2 8 ∴ BPCS 最大= 9 27 9 272 8 2 8   当 32x   时， 2 152 3 4x x    ∴点 P坐标为 3 15( , )2 4 . 95、3．(2009 年宁德市)（本题满分 13分）如图，已知抛物线C1：的顶点为 P，与 x轴相交于 A、B 两点（点 A在点 B的左边），点 B的横坐标是 1． （1）求P点坐标及a的值；（4分） （2）如图（1），抛物线 C2与抛物线 C1关于 x轴对称，将抛物线 C2向右平移，平移后的抛物线记 为C3，C3的顶点为M，当点 P、M关于点 B成中心对称时，求C3的解析式；（4分） （3）如图（2），点Q是 x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转 180°后得到抛物线C4．抛物线 C4的顶点为 N，与 x轴相交于 E、F两点（点 E在点 F的左边），当以点 P、N、F为顶点的三角形是直角三 角形时，求点Q的坐标．（5分） 【关键词】二次函数,勾股定理的运用 解： （1）由抛物线C1：  52 2  xay 得 顶点 P的为（-2，-5） ∵点 B（1，0）在抛物线 C1上 ∴   5210 2 a 解得，a＝ （2）连接 PM，作 PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G ∵点 P、M关于点 B成中心对称 ∴PM过点 B，且 PB＝MB ∴△PBH≌△MBG ∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3 ∴顶点M的坐标为（4，5） 抛物线C2由C1关于 x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到 ∴抛物线C3的表达式为   549 5 2  xy （3）∵抛物线C4由C1绕点 x轴上的点Q旋转 180°得到 ∴顶点 N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点 N的纵坐标为 5 设点 N坐标为（m，5） 作 PH⊥x轴于H，作 NG⊥x轴于G y x A O B P M 图 1 C1 C2 C3 图 （ 1） y x A O B P N 图 2 C1 C4 Q E F 图 （ 2）y x A O B P M 图 (1) C1 C2 C3 H G y xA O B P N 图 (2) C1 C4 Q E F H G K 作 PK⊥NG于 K ∵旋转中心Q在 x轴上 ∴EF＝AB＝2BH＝6 ∴FG＝3，点 F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5）， 根据勾股定理得 PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104 PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50 NF2＝52+32＝34 ①当∠PNF＝90º时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0） ②当∠PFN＝90º时，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0） ③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º 综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点 P、N、F为顶点 的三角形是直角三角形． 4.(2009 年河北)已知抛物线 2y ax bx  经过点 ( 3 3)A  ， 和点 P （t，0），且 t ≠ 0． （1）若该抛物线的对称轴经过点 A，如图 12， 请通过观察图象，指出此时 y的最小值， 并写出 t的值； （2）若 4t   ，求 a、b的值，并指出此时抛 物线的开口方向； （3）直接写出使该抛物线开口向下的 t的一个值． 【关键词】二次函数 解：（1）－3． t =－6． （2）分别将（－4，0）和（－3，－3）代入 2y ax bx  ， 得 0 16 4 ,3 9 3 . a b a b      解得 1,4. a b   向上． （3）－1（答案不唯一）． 【注：写出 t＞－3且 t≠0或其中任意一个数均给分】 98、(2009年潍坊 )如图，在平面直角坐标系 xOy中，半径为 1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴 分别交于 A B C D、、、 四点．抛物线 2y ax bx c   与 y轴交于点D，与直线 y x 交于点M N、 ， 且MA NC、 分别与圆O相切于点 A和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交 x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F ，求EF 的长． （3）过点B作圆O的切线交DC 的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由． A OP x y 图 12 - 3 - 3 O x y N C D E F BM A 解：（1）Q 圆心O在坐标原点，圆O的半径为 1， 点 A B C D、、、 的坐标分别为 ( 1 0) (0 1) (1 0) (0 1)A B C D ，、，、，、， Q 抛物线与直线 y x 交于点M N、 ，且MA NC、 分别与圆O相切于点 A和点C，  ( 1 1) (11)M N ，、， ． Q 点D M N、、 在抛物线上，将 (0 1) ( 1 1) (11)D M N ，、，、， 的坐标代入 2y ax bx c   ，得： 1 1 1 c a b c a b c         解之，得： 1 1 1 a b c     抛物线的解析式为： 2 1y x x    ． （2） 2 2 1 51 2 4y x x x           Q 抛物线的对称轴为 12x  ， 1 1 512 4 2OE DE    ， ． 连结 90BF BFD ，° ， BFD EOD△∽△ ， DE ODDB FD  ， 又 5 1 22DE OD DB  ，， ， 4 5 5FD  ， 4 5 5 3 5 5 2 10EF FD DE      ． （3）点P在抛物线上． 设过D C、 点的直线为： y kx b  ， 将点 (1 0) (0 1)C D，、， 的坐标代入 y kx b  ，得： 1 1k b  ， ， 直线DC 为： 1y x   ． 过点B作圆O的切线BP与 x轴平行，P点的纵坐标为 1y   ， 将 1y   代入 1y x   ，得： 2x  ．  P点的坐标为 (2 1)， ， 当 2x  时， 2 21 2 2 1 1y x x          ， 所以，P点在抛物线 2 1y x x    上． 说明：解答题各小题中只给出了 1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数． 99、（09湖北宜昌）已知：直角梯形OABC的四个顶点是O(0，0)，A( 32 ，1)， B(s，t)，C( 7 2 ，0)，抛物 线 y=x2＋mx－m的顶点 P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数． (1)求 s与 t的值，并在直角坐标系中画出直角梯形OABC； (2)当抛物线 y=x2＋mx－m与直角梯形OABC的边 AB相交时，求m的取值范围． O x y N C D E F BM A P （第 24题） 【关键词】二次函数 2y ax bx c   （a≠0）与a，b，c的关系、解一元一次不等式（组）、不等式（组） 的简单应用 【答案】解：（1）如图，在坐标系中标出O，A，C三点，连接OA，OC． ∵∠AOC≠90°， ∴∠ABC=90°， 故 BC⊥OC， BC⊥AB，∴B（ 72 ，1）． 即 s= 72 ，t=1．直角梯形如图所画． （大致说清理由即可） （2）由题意，y=x2+mx－m与 y=1（线段 AB）相交， 得， 1 2y = x mx m, y = .   ∴1＝x 2+mx－m， 由 (x－1)(x+1+m)=0，得 1 21, 1x x m    ． ∵ 1x =1< 32 ，不合题意，舍去． ∴抛物线 y=x2+mx-m与 AB边只能相交于（ 2x ，1）， ∴ 32 ≤－m－1≤ 7 2 ，∴ 9 2 5 2m   ． ① 又∵顶点 P( 2 4 2 4, m m m  )是直角梯形OABC的内部和其边上的一个动点， ∴ 70 2 2 m   ，即 7 0m   ． ② ∵ 2 2 24 ( 2) 4 ( 1)4 4 2 1 1 m m m m          ， （或者抛物线 y=x2+mx－m顶点的纵坐标最大值是 1） ∴点 P一定在线段 AB的下方． 又∵点 P在 x轴的上方， ∴ 2 4 4 0 m m  ， ( 4) 0,m m   ∴ 0, 0, 4 0 4 0 m m m m          或者 ． 4 (9 ) 0. m  分 ③（9分） 又∵点 P在直线 y= 23 x的下方，∴ 2 4 2 ( )4 3 2 m m m    ，（10分）即 (3 8) 0.m m   0, 0, 3 8 0 3 8 0. m m m m          或者 8 0.3m m   (11分)，或 ④ 由①②③④ ，得 4  83m   ． 100 、 （ 09 湖 南 怀 化 ） 如 图 11 ， 已 知 二 次 函 数 -1 -1 3 21 543 2 1 O y x A B C 22)( mkmxy  的图象与 x轴相交于两个不同的点 1( 0)A x， 、 2( 0)B x， ，与 y轴的交点为C．设 ABC△ 的外接圆的圆心为点P． （1）求 P⊙ 与 y轴的另一个交点D的坐标； （2）如果 AB恰好为 P⊙ 的直径，且 ABC△ 的面积等于 5，求m和 k的值． 【关键词】二次函数的应用、与二次函数有关的面积问题 【答案】解 （1）易求得点C的坐标为 (0 )k， 由 题 设 可 知 1 2x x， 是 方 程 0)( 22  mkmx 即 022  kmxx 的 两 根 ， 所 以 2 1 2 2 ( 2 ) 4 2 m m kx    ， ，所 1 2 1 22x x m x x k    ， 如图 3，∵⊙P与 y轴的另一个交点为 D， 由于 AB、CD是⊙P的两条相交弦，设它们的交点为点 O，连结 DB，∴△AOC∽△DOC，则 .121  k k k xx OC OBOAOD 由题意知点C在 y轴的负半轴上，从而点D在 y轴的正半轴上， 所以点D的坐标为（0，1） （2）因为AB CD⊥ ， AB又恰好为⊙P的直径，则 C、D关于点 O对 称，所以 点C的坐标为 (0 1)， ，即 1k ）又 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2( ) 4 ( 2 ) 4 2 2 1AB x x x x x x m k m k m            ， 所以 21 1 2 1 1 52 2ABCS AB OC m      △ 解得 .2m 101、（09湖南邵阳）如图（十二），直线 l的解析式为 4y x   ，它与 x轴、y轴分别相交于 A B、 两 点．平行于直线 l的直线m从原点O出发，沿 x轴的正方形以每秒 1个单位长度的速度运动，它与 x轴、y轴分别相交于M N、 两点，设运动时间为 t秒（0 4t ≤ ）． （1）求 A B、 两点的坐标； （2）用含 t的代数式表示 MON△ 的面积 1S ； （ 3 ） 以 MN 为 对 角 线 作 矩 形 OMPN ，记 MPN△ 和 OAB△ 重 合 部 分的面积为 2S ， ①当 2 t ≤4时，试探究 2S 与 t之 间 的 函数关系式； ②在直线m的运动过程中，当 t为何 值 时 ， 2S 为 OAB△ 面积的 516？ 【关键词】直角坐标系、一元二次方程解法及应用、一次函数的实际应用、二次函数的应用、与二次函数有关 的面积问题 【答案】解 （1）当 0x  时， 4y  ；当 0y  时， 4x  ． (4 0) 0 4A B ，，（，）； （2） 1OM OAMN AB ON OB  Q ∥， ， 2 1 1 1 2 2OM ON t S OM ON t     ，· ； （3）①当2 4t ≤ 时，易知点P在 OAB△ 的外面，则点P的坐标为 ( )t t， , F 点的坐标满足 4 x t y t     ， ，即 ( 4 )F t t， ， 同理 (4 )E t t ， ，则 2 4PF PE t t t    (4- ) ， 所以 2 MPN PEF OMN PEFS S S S S   △△△△ O M A PN yl m x B O M A PN yl m x B E PF 图十二 2 2 21 1 1 1 32 4 2 4 8 82 2 2 2 2t PE PF t t t t t         ·( )( ) ； ②当0 2t ≤ 时， 2 22 1 1 5 1 54 42 2 16 2 2S t t     ， ， 解得 1 25 0 5 2t t    ，， 两个都不合题意，舍去； 当2 4t ≤ 时， 22 3 58 82 2S t t     ，解得 3 4 73 3t t ， ， 综上得，当 73t  或 3t  时， 2S 为 OAB△ 的面积的 5 16． 102、（2009安徽年）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义． 【解】 （2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的 函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果． 【解】 （3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出 60kg以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， 使得当日获得的利润最大． 【解】 【关键词】二次函数综合 【答案】（1）解：图①表示批发量不少于 20kg且不多于 60kg的该种水果， 可按 5元/kg批发；……3分 图②表示批发量高于 60kg的该种水果，可按 4元/kg批发 （2）解：由题意得： 20 60 60 5 4 m mw m m   ≤≤（） ）＞（ ，函数图象如图所示． 由图可知资金金额满足 240＜w≤300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果． （3）解法一： 设当日零售价为 x元，由图可得日最高销量 320 40w m  当m＞60时，x＜6.5 由题意，销售利润为 2( 4)(320 40 ) 40[ ( 6) 4]y x m x       当 x＝6时， 160y 最大值 ，此时m＝80 即经销商应批发 80kg该种水果，日零售价定为 6元/kg， 当日可获得最大利润 160元． 解法二： 设日最高销售量为 xkg（x＞60） 则由图②日零售价 p满足： 320 40x p  ，于是 32040 xp  销售利润 2320 1( 4) ( 80) 16040 40 xy x x      当 x＝80时， 160y 最大值 ，此时 p＝6 即经销商应批发 80kg该种水果，日零售价定为 6元/kg， 当日可获得最大利润 160元． （2009 年湖北荆州）23．（7 分）已知：点 P（ 1a  ， 1a  ）关于 x轴的对称点在反比例函数 8 ( 0)y xx   的图像上， y关于 x的函数 2 2 (2 1) 1y k x k x    的图像与坐标轴只有两个不同的交点 A﹑B，求 P 点坐标和 △PAB的面积. 【关键词】二次函数和反比例函数相关 【答案】 （2009年湖北荆州）24．（10分）由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖． 某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为 0.1万元／台，并预付 了 5万元押金。他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不 低于 34万元，但不高于 40万元．若一年内该产品的售价 y（万元／台）与月次 x（1 12x  且为整 数）满足关系是式： 0.05 0.25 (1 4) 0.1 (4 6) 0.015 0.01 (6 12) x x y x x x           ，一年后发现实际每月的销售量 p（台）与月次 x 之间存在如图所示的变化趋势． ⑴ 直接写出实际每月的销售量 p（台）与月次 x之间 的函数关系式； ⑵ 求前三个月中每月的实际销售利润w（万元）与月 次 x之间的函数关系式； ⑶ 试判断全年哪一个月的的售价最高，并指出最高售价； ⑷ 请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量． 【关键词】二次函数综合题 【答案】 （2009年茂名市）10．如图，把抛物线 2y x 与直线 1y  围成的图形OABC绕原点O顺时针旋转90° 后，再沿 x轴向右平移 1个单位得到图形 1 1 1 1O ABC，则下列结论错误的是（ ） A．点 1O 的坐标是 (1 0)， 　 　B．点 1C 的坐标是 (2 1)， C．四边形 1 1 1O BAB 是矩形 D．若连接OC，则梯形 1 1OCAB 的面积是 3 【关键词】二次函数与圆 【答案】 103、（2009年茂名市）茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题 出厂价 成本价 排污处理费 甲种塑料 2100（元/吨） 800（元/吨） 200（元/吨） 乙种塑料 2400（元/吨） 1100（元/吨） 100（元/吨） 每月还需支付设备管理、 维护费 20000元 （1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各 x吨，利润分别为 1y 元和 2y 元，分别求 1y 和 2y 与 x的函数 关系式（注：利润=总收入-总支出）；（6分） （2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过 400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共 700吨，求 该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？（4分） 【关键词】二次函数综合运用 【答案】 104、（2009年茂名市）如图，在Rt ABC△ 中， 90 60 24BAC C BC    °，°，， 点 P是 BC边上 的动点（点P与点B C、 不重合），过动点P作PD BA∥ 交 AC于点D． （1）若 ABC△ 与 DAP△ 相似，则 APD 是多少度？ （2分） （2）试问：当PC等于多少时， APD△ 的面积最大？最大面积是多少？ （4分） （3）若以线段 AC为直径的圆和以线段BP为直径的圆相外切，求线段BP的长．（4分） 36 4月 20 40 Ｏ x （台） 12月 O y x1O B 1B 1A11A （，） 11C（，） 价 目品 种 【关键词】二次函数、圆、相似综合题 【答案】 105、1．（2009年湖北十堰市）如图①， 已知抛物线 32  bxaxy （a≠0）与 x轴交于点 A(1，0)和点 B (－3，0)，与 y轴交于点 C． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点 P，使△CMP为等腰三角形？若存在， 请直接写出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点 E为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE面积的最大值，并求此时 E点的坐标． 【关键词】二次函数和抛物线有关概念、二次函数的极值问题 【答案】解: (1)由题知:     0339 03 ba ba ， 解得:     2 1 b a ， ∴ 所求抛物线解析式为: 322  xxy 。 (2) 存在符合条件的点 P, 其坐标为 P (－1, 10 )或 P(－1,－ 10 ) 或 P (－1, 6) 或 P (－1, 3 5 )。 (3)解法①： 过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F , 设 E ( a ,- 2a -2a＋3 )( －3< a < 0 ) ∴EF=- 2a -2a＋3，BF=a＋3，OF=－a， ∴S 四边形BOCE = 2 1 BF·EF + 2 1 (OC +EF)·OF = 2 1 ( a＋3 )·(－ 2a －2a＋3) + 2 1 (－ 2a －2a＋6)·（－a） 60° A D CB P = 2 9 2 9 2 3 2  aa =－ 2 3 2)2 3( a + 8 63 ∴ 当 a =－ 2 3 时，S 四边形BOCE 最大, 且最大值为 8 63．， 此时，点 E 坐标为 (－ 2 3 ， 4 15 )， 解法②： 过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F， 设 E ( x , y ) ( －3< x < 0 ) ， 则 S 四边形BOCE = 2 1 (3 + y )·(－x) + 2 1 ( 3 + x )·y = 2 3 ( y－x)= 2 3 ( 332 x－x－ ) = － 2 3 2)2 3( x + 8 63 ∴ 当 x =－ 2 3 时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为 8 63． ， 此时，点 E 坐标为 (－ 2 3 ， 4 15 ) ， 说明:（1）抛物线解析式用其它形式表示，只要正确不扣分. （2）直接应用公式法求抛物线顶点坐标或最大值不扣分． （3）其它解法请参照评分说明给分. 107、（2009年山东青岛市）某水产品养殖企业为指导该企 业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养 殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价 1y （元）与销售月份 x（月）满足关系式 3 368y x   ，而 其每千克成本 2y （元）与销售月份 x（月）满足的函数关 系如图所示． （1）试确定b c、 的值； （2）求出这种水产品每千克的利润 y（元）与销售月份 x （月）之间的函数关系式； （3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ 【关键词】二次函数和抛物线有关概念、二次函数的极值问题 【答案】解：（1）由题意： 2 2 125 3 38 124 4 48 b c b c          解得 718 129 2 b c     （2） 1 2y y y  23 1 15 136 298 8 8 2x x x          25 24 y2 （元） x（月）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第 2题图 2 2 1 8yxbc O 21 3 168 2 2x x    ； （3） 21 3 168 2 2y x x    21 1 1( 12 36) 4 68 2 2x x      21 ( 6) 118 x    ∵ 1 08a    ， ∴抛物线开口向下． 在对称轴 6x  左侧 y随 x的增大而增大． 由题意 5x  ，所以在 4月份出售这种水产品每千克的利润最大． 最大利润 21 1(4 6) 11 108 2     （元）． 108、（ 2009 年新疆乌鲁木齐市）如图 9，在矩形 OABC中，已知 A、 C两点的坐标分别为 (4 0) (0 2)A C，、， ，D为OA的中点．设点P是 AOC 平分线上的一个动点（不与点O重合）． （1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等； （2）当点 P运动到与点 B的距离最小时，试确定过O P D、、 三点 的 抛物线的解析式； （3）设点 E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点 P运动到何处时， PDE△ 的周长最小？求出此时点P的坐标和 PDE△ 的周长； （ 4）设点 N 是矩形 OABC的对称中心，是否存在点 P，使 90CPN  °？若存在，请直接写出点P的坐标． 【关键词】确定一次函数解析式、次函数 2y ax bx c   （a≠0）与 a，b，c的关系 【答案】解：（1）∵点D是OA的中点，∴ 2OD  ，∴OD OC ． 又∵OP是 COD 的角平分线，∴ 45POC POD    °， ∴ POC POD△≌△ ，∴PC PD ． （2）过点B作 AOC 的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求． 易知点F 的坐标为（2，2），故 2BF  ，作PM BF⊥ ， ∵ PBF△ 是等腰直角三角形，∴ 1 12PM BF  ， ∴点P的坐标为（3，3）． ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为 2y ax bx  ． 又∵抛物线经过点 (3 3)P ， 和点 (2 0)D ， ， ∴有 9 3 3 4 2 0 a b a b     解得 1 2 a b    ∴抛物线的解析式为 2 2y x x  ． （3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于 AOC 的平分线的对称点即为C点． 连接EC，它与 AOC 的平分线的交点即为所求的 P点（因为 PE PD EC  ，而两点之间线段最短）， 此时 PED△ 的周长最小． ∵抛物线 2 2y x x  的顶点E的坐标 (1 1)， ，C点的坐标 (0 2)， ， 设CE所在直线的解析式为 y kx b  ，则有 12 k b b     ，解得 3 2 k b    ． y O x P D B (40)A ， (02)C ， 图 9 y O xD B (40)A ， C P E (0 2)， F M ∴CE所在直线的解析式为 3 2y x   ． 点P满足 3 2y xy x     ，解得 1 2 1 2 x y    ，故点P的坐标为 1 12 2    ， ． PED△ 的周长即是 10 2CE DE   ． （4）存在点P，使 90CPN  °．其坐标是 1 12 2    ， 或 (2 2)， ． 109、19．（2009 年佛山市）（1）请在坐标系中画出二次函数 2 2y x x   的大致图象； （2）在同一个坐标系中画出 2 2y x x   的图象向上平移两个单位后的图象； （3）直接写出平移后的图象的解析式. 注：图中小正方形网格的边长为1. 【关键词】二次函数综合应用 【答案】（1）画图（略） 注：基本反映图形的特征（如顶点、对称性、变化趋势、平滑）给2分，满足其中的两至三项给1分，满足一 项以下给0分； （2）画图、写解析式（略） 注：画图满分2分，同（1）的标准；写解析式2分（无过程不扣分）． 110、（2009年广东省）正方形 ABCD边长为 4，M 、N 分别是BC、CD上的两个动点，当 M 点 在 BC上运动时，保持 AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt RtABM MCN△∽△ ； （2）设 BM x ，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y与 x之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时， 四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积； （3）当M 点运动到什么位置时Rt RtABM AMN△∽△ ，求此时 x的值． 【关键词】正方形的性质；相似三角形判定和性质；直角梯形；与二次函数有关的面积问题；二次函数的 极值问题；相似三角形有关的计算和证明 【答案】 解：（1）在正方形 ABCD中， 4 90AB BC CD B C      ，° ， AM MNQ ⊥ ， 90AMN  °， 90CMN AMB    °， 在Rt ABM△ 中， 90MAB AMB    °， CMN MAB   ， Rt RtABM MCN △∽△ ， （2） Rt RtABM MCNQ △∽△ ， 4 4 AB BM x MC CN x CN   ， ， D M A B C N x y O 第 19题图 2 4 4 x xCN    ，  2 221 4 1 14 4 2 8 2 102 4 2 2ABCN x xy S x x x               梯形 · ， 当 2x  时， y取最大值，最大值为 10． （3） 90B AMN   Q °， 要使 ABM AMN△∽△ ，必须有 AM ABMN BM ， 由（1）知 AM ABMN MC ， BM MC  ， 当点M 运动到BC的中点时， ABM AMN△∽△ ，此时 2x  ． （其它正确的解法，参照评分建议按步给分） 2．（2009年山西省）某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间 内，甲种水果的销售利润 y甲（万元）与进货量 x（吨）近似满足函数关系 0.3y x甲 ；乙种水果的销 售利润 y乙（万元）与进货量 x（吨）近似满足函数关系 2y ax bx 乙 （其中 0a a b ，， 为常数）， 且进货量 x为1吨时，销售利润 y乙为1.4万元；进货量 x为 2吨时，销售利润 y乙为 2.6万元． （1）求 y乙（万元）与 x（吨）之间的函数关系式． （2）如果市场准备进甲、乙两种水果共 10吨，设乙种水果的进货量为 t吨，请你写出这两种水果所获 得的销售利润之和W （万元）与 t（吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得 的销售利润之和最大，最大利润是多少？ 【关键词】待定系数法；二次函数的极值问题；二次函数的应用 【答案】解：（1）由题意，得： 1.44 2 2.6 a b a b     ， ．解得 0.1 1.5 a b    ， ． ∴ 20.1 1.5y x x  乙 ． （2）    20.3 10 0.1 1.5W y y t t t      乙甲 ． ∴ 20.1 1.2 3W t t    ．   20.1 6 6.6W t    ．∴ 6t  时，W 有最大值为6.6. ∴10 6 4  （吨）. 答：甲、乙两种水果的进货量分别为 4吨和 6吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是 6.6万元. 5．（2009年黄石市）已知关于 x的函数 2 1y ax x   （a为常数） （1）若函数的图象与 x轴恰有一个交点，求a的值； （2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在 x轴上方，求a的取值范围． 【关键词】抛物线顶点；二次函数 2y ax bx c   （a≠0）与a，b，c的关系；二次函数与一元二次方程 根之间的内在联系 【答案】解：（1）当 0a  时，函数为 1y x  ，它的图象显然与 x轴 只有一个交点 ( 1 0) ， ． 当 0a  时，依题意得方程 2 1 0ax x   有两等实数根． 1 4 0a    ， 14a  ． 当 0a  或 14a  时函数图象与 x轴恰有一个交点． （2）依题意有 4 1 04 a a   分类讨论解得 14a  或 0a  ． 当 14a  或 0a  时，抛物线顶点始终在 x轴上方． 6．（2009年黄石市）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对 购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数 y （台）与补贴款额 x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额 x的不断增大，销 售量也不断增加，但每台彩电的收益 Z （元）会相应降低且 Z 与 x之间也大致满足如图②所示的一次函 数关系． （1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ （2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数 y和每台家电的收益 Z 与政府补贴款额 x之 间的函数关系式； （3）要使该商场销售彩电的总收益 w（元）最大，政府应将每台补贴款额 x定为多少？并求出总收益w 的最大值． 【关键词】确定一次函数解析式；一次函数的实际问题；二次函数的应用；二次函数的极值问题 【答案】解：（1）该商场销售家电的总收益为800 200 160000  （元） （2）依题意可设 1 800y k x  ， 2 200Z k x  有 1400 800 1200k   ， 2200 200 160k   ， 解得 1 2 11 5k k  ， ． 所以 800y x  ， 1 2005Z x   ． （3） 1( 800) 2005W yZ x x        g 21 ( 100) 1620005 x    政府应将每台补贴款额 x定为 100元，总收益有最大值． 其最大值为162000元． 113、（2009年黄石市）正方形 ABCD在如图所示的平面直角坐标系中， A在 x轴正半轴上，D在 y轴 的负半轴上， AB交 y轴正半轴于E BC， 交 x轴负半轴于F ， 1OE  ，抛物线 2 4y ax bx   过 A D F、、 三点． （1）求抛物线的解析式；（3分） （2）Q是抛物线上D F、 间的一点，过Q点作平行于 x轴的直线交边 AD于M ，交BC所在直线于N ， 若 32 FQNAFQMS S △四边形 ，则判断四边形 AFQM 的形状；（3分） （3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H ，使得 AP PH⊥ 且 AP PH ，若 存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．（4分） 1200 800 0 400 y(台 ) x(元 ) z(元 ) x(元 ) 200 160 2000 图① 图② 【关键词】正方形的性质；待定系数法；相似三角形判定和性质；特殊平行四边形相关的面积问题；等腰 梯形的判定；全等三角形的性质与判定 【答案】解：（1）依条件有 (0 4)D ， ， (0 1)E ，． 由 OEA ADO△∽△ 知 2 4OA OE OD g ． ∴ (2 0)A ， 由Rt RtADE ABF△≌△ 得DE AF ． ∴ ( 3 0)F  ， ． 将 A F、 的坐标代入抛物线方程， 得 4 2 4 0 9 3 4 0 a b a b       2 3a b   ． ∴抛物线的解析式为 22 2 43 3y x x   ． （2） 设QM m ， 1 ( 5) | |2 QAFQMS m y  g四边形 ， 1 (5 ) | |2FQN QS m y  g△ ． ∴ 3( 5) | | (5 ) | | 12Q Qm y m y m    g g 设 ( )Q a b， ，则 ( 1 )M a b ， ∴ 22 2 43 2( 1) 4 b a aa b a        2 2 3 0a a    ， 1a   （舍去 3a  ） 此时点M 与点D重合，QF AM ， AF QM ， AF QM∥ ， 则 AFQM 为等腰梯形． （3）在射线DB上存在一点P，在射线CB上存在一点H ． 使得 AP PH⊥ ，且 AP PH 成立，证明如下： 当点 P如图①所示位置时，不妨设 PA PH ，过点 P作 PQ BC⊥ ， PM CD⊥ ， PN AD⊥ ，垂足 分别为Q M N、、 ． 若PA PH ．由PM PN 得： O y x B E A D C F O y x B E A D C F N MQ AN PQ ， Rt RtPQH APN △≌△ HPQ PAN   ． 114、22．(2009年云南省)（本小题 11分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分 别为 (0 4)A ， 和 ( 2 0)B  ， ，连结 AB． （1）现将 AOB△ 绕点A按逆时针方向旋转 90°得到 1 1AO B△ ，请画出 1 1AO B△ ，并直接写出点 1B 、 1O 的坐标（注：不要求证明）； （2）求经过B、 A、 1O 三点的抛物线对应的函数关系式，并画出抛物线的略图． 【关键词】抛物线 二次函数 旋转作图 【答案】解：（1）如图，画出△AO1B1； B1（4，2），O1（4，4）； （2）设所求抛物线对应的函数关系式为 y=a（x-m）2+n， 由 AO1∥x轴，得 m=2． ∴y=a（x-2）2+n． ∵抛物线经过点 A、B， ∴ 4 416 0 . a n a n     ， 解得 1 3 16 .3 a n     ， ∴所求抛物线对应的函数关系式为 21 16( 2)3 3y x    ， 即 21 4 43 3y x x    ． 所画抛物线图象如图所示． 115、（20 0 9 年枣庄市） 24． 如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点 O，与x轴的另一个交点 为B． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的 3倍； （3）连结OA，AB，在 x轴下方的抛物线上是否存在点 N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出 N点的坐标；若不存在，说明理由． 【关键词】二次函数综合题 B A N DMC Q H P ① B A D M C Q H P ② N H N A DC BM P ③ O x A B y y O x A B O1 B1 y x O A B 第 24 题 图 【答案】（1）由题意，可设抛物线的解析式为 2( 2) 1y a x   ， ∵抛物线过原点， ∴ 2(0 2) 1 0a    ， 14a   ． ∴抛物线的解析式为 21 ( 2) 14y x    21 4 x x   ． （2） AOB△ 和所求 MOB△ 同底不等高， 3MOB AOBS S△△且 ， ∴ MOB△ 的高是 AOB△ 高的 3倍，即M点的纵坐标是 3 ． ∴ 213 4 x x    ，即 2 4 12 0x x   ． 解之，得　 1 6x  ， 2 2x   ． ∴满足条件的点有两个： 1(6 3)M ， ， 2 ( 2 3)M  ， ． （3）不存在． 由抛物线的对称性，知 AO AB ， AOB ABO   ． 若 OBN△ 与 OAB△ 相似，必有 BON BOA BNO     ． 设ON交抛物线的对称轴于 A点，显然 (2 1)A ， ． ∴直线ON的解析式为 12y x  ． 由 21 12 4x x x    ，得 1 0x  ， 2 6x  ． ∴　 (6 3)N ， ． 过N 作NE x 轴，垂足为E．在Rt BEN△ 中， 2BE  ， 3NE  ， ∴ 2 22 3 13NB    ． 又OB=4， ∴NB OB ， BON BNO   ， OBN△ 与 OAB△ 不相似． 同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点． 所以在该抛物线上不存在点 N，使 OBN△ 与 OAB△ 相似． 116、 y xO A B E N AA′