由一道几何题引发的猜想
深圳市蛇口学校初中部 陆秀朋
猜想，就是根据科学的事实与原理，对所研究的问题进行大胆的猜想和联想。
日本第六届算术奥林匹克决赛中有这样一道题，下面给出原题及我对此题的分析：
原题：如图（1），用125个 1cm×1cm×1cm的小立方体
累积一个5cm×5cm×5cm的大立方体，现在用通过A、B、C
三点的平面切断这个大立方体，请回答下面这两个问题：
（问1）切断面是什么形状？回答出这个形状的名称。
（问2）这个平面切到了多少个小立方体？
注：如图（2）所示的几种情况，平面只是接触到
了小立方体的顶点、边和面。这几种情况都不算平面切
到了小立方体。
分析（1）：由立方体的对称性，易找出A、B、C三
点关于立方体对称中心的对称点 ' ' 'A B C、、 三点，即
平面ABC的对称平面 ' ' 'A B C 。所以，切断面为正六边形，
如图（3）所示。
分析（2）：我们假想有一个过 ' ' 'A B C A B C、、、、、 六点的正六边形卡刀（可以
伸缩），当这个卡刀往里切，切到了最外层时，请注意六个边
的刀片同时往里切。这时，我们把切到小立方体的一层去掉，
即把最外层去掉，露出里边边长为3cm的立方体，这就启发
我们先从边长为3cm的立方体考虑。
如图（4），对于边长为3cm的立方体，以最上层为
例，同样过它的六个边的中点 ' ' 'D、E、F、D、E、F ,
易知正六边形卡刀在最上层切到了四个，如图（4）用※和＃分别表示可以看到的和看不到
的立方体，由于立方体的对称性，其它五个面同样也切到了四个小立方体，因为标有
' ' 'D、E、F、D、E、F六点的小立方体的计算是重复的，所以应该去掉六个。最外层切完，
1
图（ 2）
（ A、B、C分
别是各边的中
点）
图（ 1）
A
B
C
··
·
（A、B、C，分别
是各边的中点）
图（ 1）
C
A
B
··
·
图
（ 3）
'A· 'B·
'C·
·
D
E
F
'D 'E
'F
·
·
·
·
·
（※表示看到的，＃表示
看不到的，下同）
图（ 4）
※※※＃
A
B
·
·
※
※
※
※
※
＃
＃
图
（ 5）
切开里面最后还有一个位于立方体中心的小立方体，由以上分析可知，边长为 3cm的立方
体用卡刀去切共切到了（4×6－6＋1＝19个）。
下面我们再分析5cm×5cm×5cm的立方体的最外层
用卡刀去切能切到多少个小立方体，同样以最上层为例，
用平面图来表示，如图（5）所示最上层共切到了七个小
立方体，用※和＃分别表示可以看到的和看不到的立方体。
由于立方体的对称性，其它五个面同样也切到了七个，并
去掉重复标有 ' ' 'A B C A B C、、、、、 点的六个小立方体，所以对于5cm×5cm×5cm的立
方体，在最外层共切到了（7×6－6＝36）个，再加上3cm×3cm×3cm的立方体切到的小立
方体19个，共切到了小立方体为（19+36＝55）个。
以上分析即为原竞赛题的答案。
对于这道竞赛题我们不妨做出这样的猜想：
（1）如果对于7cm×7cm×7cm的立方体情况如何？
（2）如果对于（2n+1）cm×(2n+1)cm×(2n+1)cm的立方体情况又如何？为此我们做
出下面的分析：
如图（6）连结A、B两点，我们从外观看卡刀切到
了七个小立方体。我们再来看图（4）与图（5），对于
3cm×3cm×3cm的立方体，最上层从外观看切到了三个，
看不到但实际上切到的为一个，对于5cm×5cm×5cm的
立方体，最上层从外观看切到了五个，看不到但实际上
切到的为两个。所以，我们推测7cm×7cm×7cm的立方
体，从外观看不到但实际上却切到的小立方体为三个。即最上层共切到的小立方体为10个，
正方体的六个面共切到了（6×10-6＝54）个，加上切到的5cm×5cm×5cm的小立方体55
个，所以，对于7cm×7cm×7cm的立方体，卡刀共切到了（55+54＝109）个小立方体，猜
想（1）得到了答案。
对于（2n+1）cm×(2n+1)cm×(2n+1)cm的立方体，可以作出下面的分析：
由立方体的对称性，我们先讨论立方体最上层的情况，其它层同形。
当边长为1cm时，卡刀在最上层切到的小立方体为一个。
当边长为3cm时，卡刀在最上层切到的小立方体为四个。
当边长为5cm时，卡刀在最上层切到的小立方体为七个。
当边长为7cm时，卡刀在最上层切到的小立方体为十个。
由以上规律，我们不妨用 ( 1,3,5,...2 1)ka k n= + 代表最上层切到的小立方体的个数，从而
2
A
B ※
※
※
※
※
※
※
＃
＃
＃
·
·
图
（ 6）
有下面的式子：
1 3 5 71, 4, 7, 10......a a a a= = = =
即有 3 1 3.........................................a a- = ①
5 3 3.........................................a a- = ②
7 5 3.........................................a a- = ③
… … …
2 1 2 1 3................................n na a+ -- = n
以上n个式子相加，
2 1 1 3na a n 即 2 1 3 1na n+ = +
即对于（2n+1）cm×(2n+1)cm×(2n+1)cm的立方体，卡刀在最外层共切到了
6 (3 1) 6 18n n 个小立方体。
为了以后说明方便，令 6 (3 1) 6 18n n 为 （*）
最后，我们讨论卡刀切到所有小立方体的情况：
当边长为1cm时，卡刀共切到的小立方体为一个，
当边长为3cm时，切到了19个小立方体，
当边长为5cm时，切到了55个小立方体，
当边长为7cm时，切到了109个小立方体，
由以上规律，不妨用 kb 代表切到的所有立方体的个数（ k代表边长），所以有下面的
式子：
1 3 5 71, 19, 55, 109.........b b b b= = = =
即有 3 1 18 18 1...............................b b ①
5 3 36 18 2...............................b b ②
7 5 54 18 3...............................b b ③
… … … …
3
2 1 2 1 18 ...............................n nb b n
以上n个式子相加，
2 1 1 18 (1 2 3 ... )nb b n
即 2 1
( 1)18 12n
n nb
2 1 9 ( 1) 1nb n n+ = + +
下面给出这个由不完全归纳法得到的式子的严格证明。
证明：（1）当 0n= 时， 1 1b = 成立。当 1n= 时， 3 19b = 成立。
（2）假设当n k= 时， 2 1 9 ( 1) 1kb k k+ = + + 也成立。
当 1n k= + 时，下面证明 2( 1) 1 9( 1)( 2) 1kb k k+ + = + + + 。
即要证明 2 3 9( 1)( 2) 1kb k k+ = + + +
由前面的分析可知，对于边长为 (2 3)k cm+ 的立方体，卡刀切到的小立方体的个数即为切
到边长为 (2 1)k cm+ 的立方体的个数加上切到边长为 (2 3)k cm+ 的最外层的个数。由
（*）可知，对于边长为 (2 3)k cm+ 的立方体，切到最外层的小立方体的个数为18( 1)k+
个。
即有 2 3 2 1 18( 1)k kb b k+ += + +
2 3 9 ( 1) 1 18( 1)kb k k k+ = + + + +
2 3 9 ( 1) 18( 1) 1kb k k k+ = + + + +
2 3 9( 1)( 2) 1kb k k
根据归纳（1）与（2），所以猜想得证。 （＃）
由于上面的证明依据为前面由不完全数学归纳法得出的（*），而（*）式没有严格的
证明，即上面的结论只能停留在猜想的基础上，本文只是想做一个引子，希望广大教师及
学生大胆猜想，以开发大脑中的潜在思维。
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n
最后，以科学家牛顿的一句名言结束本文：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发
现”。
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