排列组合综合问题教案
教学目标
通过教学，学生在进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组
合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想．
教学重点与难点
重点：排列、组合综合题的解法．
难点：正确的分类、分步．
教学用具
投影仪．
教学过程设计
(一)引入
师：现在我们大家已经学习和掌握了一些排列问题和组合问题的求解方法．今天
我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，来学习和讨论排列、组合综合题的一般解
法．
先请一位同学帮我们把解排列问题和组合问题的一般方法及注意事项说一下吧！
生：解排列问题和组合问题的一般方法有直接法、间接法、捆绑法、插空法等．求解
过程中要注意做到“不重”与“不漏”．
师：回答的不错！解排列问题和组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据分类
计数原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据分步计数原理，可用位置法；
这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求
解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”
等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．
(教师边讲，边板书)
互斥分类——分类法
先后有序——位置法
反面明了——排除法
相邻排列——捆绑法
分离排列——插空法
(二)举例
师：下面我们来分析和解决一些例题．
(打出片子——例 1)
例 1 有 12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数．
(1)分为两组，一组 7人，一组 5人；
(2)分为甲、乙两组，甲组 7人，乙组 5人；
(3)分为甲、乙两组，一组 7人，一组 5人；
(4)分为甲、乙两组，每组 6人；
(5)分为两组，每组 6人；
(6)分为三组，一组 5人，一组 4人，一组 3人；
(7)分为甲、乙、丙三组，甲组 5人，乙组 4人，丙组 3人；
(8)分为甲、乙、丙三组，一组 5人，一组 4人，一组 3人；
(9)分为甲、乙、丙三组，每组 4人；
(10)分为三组，每组 4人．
(教师慢速连续读一遍例 1，同时要求学生审清题意，仔细分析，周密考虑，独立
地求解．
这是一个层次分明的排列、组合题，涉及非平均分配、平均分配和排列组合综合．
各小题之间有区别、有联系，便于学生分析、比较、归纳，有利于学生加深理解，提高能
力)
师：请一位同学说一下各题的答案(只需要列式)．
师：从这个同学的解答中，我们可以看出他对问题的考虑分先后次序，用位置法
求解是掌握了的．但是还请大家审清题意，看(3)与(1)，(2)；(5)与(4)；(8)与(6)，(7)；
(10)与(9)是否分别相同，有没有出现“重复”和“遗漏”的问题．
(找班里水平较高的一位学生回答)
生：(3)和(1)，(2)；(5)和(4)；(8)和(6)，(7)；(10)和(9)并不相同．(3)，(5)，(8)，
(10)的答案都错了，既出现了“重复”也出现了“遗漏”的问题．(3)的答案是
(教师在学生回答时板书各题答案)
师：回答的正确，请说出具体的分析．
生：(3)把 12人分成甲、乙两组，一组 7人，一组 5人，但并没有指明甲、乙谁
是(5)只要求平均分成两组，这样甲、乙组两元素的所有不同排列顺序，甲乙、乙甲
师：分析的很好！我们大家必须认识到，题目中具体指明甲、乙与没有具体指明是
有区别的．如果在解题过程中不加以区别，就会出现“重复”和“遗漏”的问题，这
是解决排列、组合题时要特别注意的．
例 1中，(1)，(2)，(6)，(7)都是非平均分配问题，虽然(1)，(6)都没有指出组名，
而(2)，(7)给出了组名，但是在非平均分配中是一样的．这是因为(2)，(7)不仅给出了组
名，而且还指明了谁是几个人，这一点上又与(3)，(8)有差异．(3)，(8)给了组名却没有
指明谁是几个人．
题中(4)，(5)，(9)，(10)都属于平均分配问题，在平均分配中，如果没有给出组名，
一定要除以组数的阶乘！
如果 12个人分成三组，其中一组 2人，另外两组都是 5人，求所有不同的分法种
数．这里有不平均(一组 2人)，又有平均(两组都是 5人)．怎么办？
师：很好！大家已经理解了不平均分配的、平均分配，以及部分平均分配的计算，
部分平均分配问题先考虑不平均分配，剩下的仍是平均分配，平均分配要商除．这样
分配问题已彻底解决了．
请看例题 2．
(打出片子——例 2)
例 2 求不同的排法种数：
(1)6男 2女排成一排，2女相邻；(2)6男 2女排成一排，2女不能相邻；(3)4男 4女
排成一排，同性者相邻；(4)4男 4女排成一排，同性者不能相邻．
(教师读题、巡视)
师：请一位同学说出(1)，(2)的答案．
师：完全正确！他是用捆绑法解决“相邻”问题的，把 2女“捆绑”在一起看成
(教师的复述是为了使水平较差学生明白解题思路，了解分析方法，真正理解解法)
师：(2)的不相邻的分离排列还有没有其它解法？
生乙：可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在 7个空位中排 2女，共有
(板书(1)，(2)算式)
师：对于(2)的两种解法思路不同，但殊途同归，结果一样，都是正确的．两种解
法解决分离问题是否都很方便呢？试想，如果“5男 3女排成一排，3女都不能相
生：前者是 36000，后者是 14400，不一样，肯定有问题．
生：3女相邻．
师：3女相邻的反面是什么？
师：这一例题说明什么？
生：不相邻的分离排列还是用插空法要稳妥一些．
师：请大家下课后想一想，用捆绑法结合排除法能否解决上述问题，如果能解决，
应该怎么做？我们继续分析和解决(3)，(4)两小题．
(板书(3)，(4)的算式)
(板书)
(女男男女男女男女)两男或两女相邻的问题．这时同性不相邻必须男女都排好，即
男奇数位，女偶数位，或者对调．
(通过对例 2的讨论和分析，能够帮助学生对于分离排列、排除法以及插空法有更清
楚的认识，只有这样学生才会找到合理的解法，提高分析问题和解决问题的能力．)
师：我们再来看一个例题．
(打出片子——例 3)
例 3某乒乓球队有 8男 7女共 15名队员，现进行混合双打练习，两边都必须是 1
男 1女，共有多少种不同的搭配方法？
(教师朗读一遍例 3后巡视)
师：请同学说一下答案．
师：怎么分析的呢？
师：选出的 4名队员做全排列，那么(板书)男A男 B、女A女 B行吗？
生：不行，有“重复”了，应该乘以什么呢？
师：这就需要我们再把问题想想清楚了，当选出 2男 2女队员进行混合双打时，
有几种搭配方法呢？
(板书)男女——男女
①Aa Bb
②Ab Ba
③Ba Ab
④Bb Aa
以上四种吗？
生：不是！③与②，④与①属于同一种，只有 2种搭配，应该乘以 2．
(板书)
师：最后看例 4．
(打出片子——例 4)
例 4高二(1)班要从 7名运动员中选出 4名组成 4×100米接力队，参加校运会，其
中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？
(教师读题，引导分析)
师：从 7人中选 4人分别安排第一、二、三、四棒这四个不同任务，一定与组合和排
列有关，对甲、乙有特殊要求，这就有了不同情况．要分类相加了．先不考虑谁跑哪棒，
就说 4人的选择有几类情况呢？
师：很好，这个排列组合综合题在求解中的分类十分重要，大家要认真体会，了
解其思路和方法．
(三)小结
我们通过对 4个例题的分析和讨论，总结了分配问题，分离排列问题的解法，以
及排列、组合综合题的解法．
解排列、组合综合题，一般应遵循：先组后排的原则．
解题时一定要注意不重复、不遗漏．
(四)作业
1．四名优秀生保送到三所学校去，每所学校至少得 1名，则不同的保送方案总
2．有印着 0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许 9当作 6用，那么从
课堂教学设计说明
关于排列组合的应用题，由于其内容独特，自成体系；种类繁多，题目多变；解
法别致，思维抽象；条件隐晦，难以捉摸；得数较大，不易检验．所以这一课历来是
学生学习中的难点．
为了降低解题的难度，在教会学生基本方法的同时，一定要使学生学会转化，分
类的思想方法，将复杂的排列、组合综合题转化为若干个简单的排列、组合问题．基于
这一点，在例题的选排上，特别安排了例 1，在复习巩固前面所学基本解法的基础上，
总结了分配问题的解法，并引出了简单的排列组合综合问题．通过例 2来讨论排列中
常见的相邻排列和分离排列问题，以及排除法、插空法等解法在应用中需注意的事项．
例 3、例 4是典型的排列、组合综合题，分别侧重了分步和分类两个难点．
教学方法上，以问答形式，通过讨论分析，引导学生正确思维，培养学生分析问
题和解决问题的能力．操作过程中也要根据学生的具体情况，采取多变的方式．学生
配合的好，就以学生为主，学生回答问题不尽如人意时，就需要教师在提高语言、方式
等方面多做文章，或以教师的讲授为主．
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