双曲线的渐近线教案
教学目的
(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画
双曲线的图形．
(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作
初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．
教学过程
一、揭示课题
师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？
生(众)：能画出来．
师：能画得比较精确点吗？
(学生默然．)
其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．
在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线
我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远
处时，它逐渐地越
的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即
x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够
清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如
何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何
处去”这样一个问题．
(板书课题：双曲线的渐近线．)
二、讲述定义
师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一
下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？
直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一
点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．
设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则
考察一下y变化的范围：
因为x2－a2＜x2，所以
这个不等式意味着什么？
(稍停，学生思考．)
平面区域．
之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．
为此，我们考虑下列问题：
经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y＝
±b，
以看出，双曲线
的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．
下面，我们来证明这个事实．
双曲线在第一象限内的方程可写成
设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线
上与M有相同横坐标的点，则
设|MQ|是点M到直线
的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限
增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的
部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．
在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线
叫做双曲线的渐近线．
现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实
轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母
对调所得到，自然，前者
这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较
精确地画出双
手画出比较精确的双曲线．
[提出问题，解决问题，善始善终．]
三、初步练习
(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线
方程这两要求，出四个小题让学生练习．)
1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出
双曲线：
(1) 4x2－y2＝4； (2) 4x2－y2＝－4．
2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：
求双曲线方程并画出双曲线．
(练习毕，由学生回答，教师总结．)
解题的主要步骤：
第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定
义写出渐近线方程．
第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近
线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，
得到关于a、b的另一个关系式；(4)解 a、b的方程组，求得a、b，写出双
曲线方程．
师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲
线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是
因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难
度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有
许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的
综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向
问题的能力．
[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、
逆两方面思考问题的训练．]
四、建立法则
师：仔细分析一下上述练习的结果：
双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．
双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．
双曲线方程：x2－4y 2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．
双曲线方程：x2－4y 2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．
可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．
(启发学生讨论、归纳．)
生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就
得到渐近线方程．
生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负
号连结起来等于零，就是渐近线方程．
生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相
同，与常数项无关．
生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，
常数可以不同．
生戊：应该说二次项系数成比例．
师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，
也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得
到渐近线方程？
把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？
点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．
就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是
特殊的双曲线．同样，
b2x2－a2y2＝0，
即 bx±ay＝0；
b2y2－a2x2＝0，
即 by±ax＝0．
所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有
一般性吗？也就是说对任意双曲线
A2x2－B2y2＝C(C≠0)
它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0？回答是肯定的．
分情况证明一下：
C＞0，A2x2－B2y2＝C，
故渐近线方程为
也可以化成 Ax±By＝0，
即 A2x2－B2y2＝0．
其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为
Ax±By＝0
的双曲线方程是什么？可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，
实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：
(1)双曲线 A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是
A2x2－B2y2＝0；
(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是
A2x2－B2y2＝C
(C≠0的待定常数)．
现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？
生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为
x2－4y2＝C．
∴ 双曲线方程为x2－4y2＝4．
∴ 双曲线方程为x2－4y2＝－4．
[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培
养．]
五、巩固应用
师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用
定义或者法则再做两个练习．
2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．
(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)
师：解练习 1的方法有两种．一是直接运用定义．
由双曲线求渐近线：
由渐近线求双曲线：
二是直接运用法则．
练习 2的解法如下：
六、布置作业
课本练习；略．
教案说明
(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到
突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至
于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我
认为这些做法都是比较自然的．
(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的
互求的方法．
本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．
(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方
便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训
练．
/4
