二项式系数的性质教案 2
1 引导学生利用直觉思维发现二项式系数的性质 1
教师：请同学们利用杨辉三角形分别写出(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋
b)5，(a＋b)6的二项式系数．然后观察对应的二项式系数具有哪些性质？
抽一名中上水平的学生A将结果写在黑板上，如图 1所示．再由这位学生A回答
上述问题．
学生A：从图 1可以看出：在二项展开式中，第一项和倒数第一项的二项式系数
都是 1，第二项和倒数第二项的二项式系数相等，第三项和倒数第三项的二项式系数也
相等．
教师：能不能将这一事实概括一下，用一句话来表达？
学生 B：能！在二项展开式中，顺数第 k项的二项式系数和倒数第 k项的二项式系
数相等(k∈N)．
教师：学生 B概括的结论比学生A的回答要简捷一些．大家再想一想，还能不能
用更简捷的语言为表达这一事实？
教师作引导：第 k项与第 1项间隔多少个项？倒数第 k项与倒数第 1项间隔多少个
项？它们间隔的距离相等吗？引出间隔距离相等这个概念之后抽学生 C(中等水平)回答．
学生 C：在二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等．
2 将直觉思维产生的结论推广到一般情况，并给予理论证明
(由特殊到一般的思考方法是常用的归纳思维方法，将直觉思维产生的结论给出理
论证明是每一个数学问题的基本要求)．
教师：学生 C的回答准确简捷！但是，这个结论是由几个具体事例通过直觉观察
得出来的，它对一般情况成立吗？
学生D：成立！
教师：为什么？
情况仍然成立．
教师：学生D的回答正确，由此我们得到二项式系数的第 1个性质：
性质 1：在二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等．
我们把这个性质叫做二项式系数的对称性．
3 再次利用直觉思维，引导学生发现二项式系数的性质 2．
教师：请大家再观察一下图 1所示的二项式系数特征表．想一想，除了性质 1之
外，二项式系数还有没有其它的性质？
学生 E：有！从图 1容易看出：二项式系数开始逐渐递增，然后又逐渐递减，到中
间位置达到最大值．
教师：学生 E观察出的结论对图 1中的二项式系数来说是正确的．这个结论对任
意情况都成立吗？
4 将直觉思维产生的结论进行一般性的理论推证．
学生由于认知水平的局限，回答这个问题感觉困难．教师作如下引导：请大家观
察二项式系数表达式的结构特征：
根据结构特征分析它们的大小变化规律抽一名学生回答(上等水平的学生)
学生 F：从二项式系数的表达式可以看出：后一个二项式系数的分子是前一个二
项式系数的分子乘以一个逐次少 1的数，分母乘以一个逐次多 1的数．因此，各项的
二项式系数开始逐渐递增，随着分母的逐渐增大，到某一项达到最大值之后又逐渐开
始递增．
教师：在哪一项达到最大值？
学生一时不能回答这个问题，教师给予引导：请大家观察一下相邻两个项的二项
式系数
这个问题难度较大．由教师作如下讲解．(此问题是本节内容的难点)．
请大家想一想，根据以上分析，再观察图 2的变化规律．我们能不能确定二项式
系数在哪一项取得最大值？
教师：对！由此我们看到：当 n为奇数时，二项式系数最大的项有两项．它们
学生 P：中间位置．
教师：为什么？
教师：学生 P的回答正确．这个结论我们可用图 3来表示．请大家再思考，当 n
为偶数时，二项式系数的最大值在哪一项取得？
学生 R：由二项式系数的单调性和对称性可知，当 n为偶数时，二项式系数的最
大值也应在中间项取得．
教师：当 n为偶数时，中间项有几项？它在展开式中是第几项？这一项的二项式
系数是多少？
教师：为什么？
学生 R：因为展开式共有 n＋1项．当 n为偶数时，n＋1为奇数，此时中间
教师：学生 R的回答完全正确！他的思维过程我们可以用图 4来给予说明．
通过上面的探讨，我们得到二项式系数的第 2个性质．
性质 2：如果二项式的幂指数是偶数．中间一项的二项式系数最大；如果二项式的
幂指数是奇数．中间两项的二项式系数相等且最大．
教师小结：本节课我们从杨辉三角形出发，发现了二项式系数的两个性质，并利
用组合数的有关知识对这两个性质给出了一般性的证明．性质 1的理解和证明容易掌
握，性质 2的理解和证明具有一定难度．是本节内容的难点，没有理解好的同学请课
后再去思考，争取掌握好．
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