0 0 类别 : 教案

分类计数原理与分步计数原理教案 ●教学目标 （一）教学知识点 1.分类计数原理. 2.分步计数原理. （二）能力训练要求 1.正确理解分类计数原理与分步计数原理的内容. 2.正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题. 3.了解基本原理在实际生产、生活中的应用. 4.提高分析问题、解决问题的能力. （三）德育渗透目标 要求学生在现实生活中面对复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准 确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力，从而认识数学知 识与现实生活的内在联系及不可分割性. ●教学重点 分类计数原理与分步计数原理. ●教学难点 正确运用分类计数原理与分步计数原理. ●教学方法 启发引导式 在两个基本原理的教学过程中，应启发学生由特殊情形归纳出一般原理， 这一过程遵循由简单到复杂的认知规律，而且在基本原理的语言叙述上，也采 用了生活化的语言，使学生易于理解.其次，要引导学生通过寻求两个原理的区 别来理解原理.其一，认识到理解分类计数原理的关键是分类标准的确定，然后 在确定的标准下分类，而完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别 属于不同两类的两种方法都是不同的方法.其二，分步计数原理应根据问题的特 点先确定一个分步的标准，还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成这 n个步骤后这件事才算完成. ●教学准备 投影片三张 第一张：问题一及图示（记作§10.1.1 A） 第二张：问题二及图示（记作§10.1.1 B） 第三张：本节例题（记作§10.1.1 C） ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］从引言部分大家了解到，排列组合是完成某项工作的方法种数的知 识，在实际生产生活中有着十分广泛的应用，而学习排列组合知识，首先要熟 悉分类计数原理与分步计数原理这两个关于计数的基本原理，它们是在人们大 量实践经验的基础上归纳出来的基本规律.它们不仅是指导排列数、组合数计算 公式的依据，而且其基本思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终. 下面，我们将通过实例给出两个基本原理，并结合实例进一步熟悉两个原 理. Ⅱ.讲授新课 ［师］首先，我们来看问题一.（给出投影片§10.1.1 A） 问题一： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有 2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 图示： ［师生共析］要完成从甲地到乙地这件事，从交通工具上可以有两类选择， 即乘火车或者乘汽车，无论乘坐哪一类都可达到目的.若乘火车有3种走法，若 乘汽车有2种走法.由于每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有 3+2=5种不 同的走法，如图所示. ［师］在上述的分析过程中，就体现了分类计数原理.（板书原理内容） 分类计数原理：完成一件事，有 n类办法，在第 1类办法中有 m1种不同的 方法，在第 2类办法中有 m2种不同的方法……在第 n类办法中有 mn种不同的方 法.那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法. ［师］对于分类计数原理，我们应注意以下几点. （1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事， 且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理； （2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的 分类标准下进行分类； （3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的 两种方法都是不同的方法. ［师］接下来，我们再看问题二.（给出投影片§10.1.1 B） 问题二： 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地. 一天中，火车有 3班，汽车有 2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不 同的走法？ ［师］问题二与问题一同是研究从甲地到乙地的不同走法，但是，我们要 注意找出这两个问题的不同之处. ［生］在前一问题中，采用乘火车或乘汽车中的任何一种方式，都可以从 甲地到乙地.而在这个问题中，必须经过先乘火车，后乘汽车两个步骤，才能从 甲地到达乙地. ［师］很好，下面我们就按照上述思路来完成问题二的解答. ［师生共析］要完成从甲地到乙地这件事，需要分成两个步骤，即第一步 乘火车，第二步乘汽车.因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，并且两步 依次完成后才能达到目的，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共 有3×2=6种不同的走法. ［师］从如下的图示中，我们可以具体地看到这 6种走法. 图示： 所有走法 火车 1——汽车 1 火车 1——汽车 2 火车 2——汽车 1 火车 2——汽车 2 火车 3——汽车 1 火车 3——汽车 2 ［师］在问题二的分析过程中，就体现了分步计数原理.（板书原理内容） 分步计数原理：完成一件事，需要分成 n个步骤，做第1步有 m1种不同的 方法，做第2步有 m2种不同的方法……做第n步有 mn种不同的方法.那么完成这 件事共有 N=m1×m2×…×mn种不同的方法. ［师］对于分步计数原理，我们还应注意以下几点. （1）分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完 成了，这件事才算完成； （2）分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准； （3）分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成 n个步骤后这 件事才算完成. ［师］下面，我们结合例题来一起体会两个基本原理的正确运用. ［例 1］电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后 两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有 30封，乙信箱中有 20封，现由 主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名 幸运伙伴，有多种不同的结果？ 分析：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中， 故可分两种情形考虑. 解：分两大类： （1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴 有： 30×29×20=17400种结果； （2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果， 因此共有不同结果 17400+11400=28800种. ［师］大家在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又能合理分步，一 般情形是先分类后分步. ［例2］4张卡片的正、反面分别有0与1，2与3，4与 5，6与 7，将其中3 张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？ 分析：分三步确定百位、十位、个位，注意到首位不能为 0，且正反两面可 用. 解：分三个步骤： 第一步：首位可放8－1=7个数； 第二步：十位可放6个数； 第三步：个位可放 4个数. 根据分步计数原理，可以组成 N=7×6×4=168个数. ［师］分类计数原理和分步计数原理是排列组合的理论基础，这两个原理 的本质区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数原理.用分 类计数原理的关键在于恰当分类，分类要做到“不重不漏”，应用分步计数原 理的关键在于分步，要正确设计分步程序. ［师］下面我们通过课堂练习来进一步熟悉基本原理的应用. Ⅲ.课堂练习 课本 P86练习： 1.解：（1）分两类： 第一类：从 5人中选 1人，有 5种选法； 第二类：从4人中选 1人，有4种选法； 根据分类计数原理，共有不同选法：N=5+4=9种. （2）分两步： 第一步：从A村去 B村，有3种走法； 第二步：从B村去 C村，有2种走法； 根据分步计数原理，共有不同走法：N=3×2=6种. 2.解：（1）分三类： 第一类：从高一学生中选，有3种选法； 第二类：从高二学生中选，有 5种选法； 第三类：从高三学生中选，有4种选法. 根据分类计数原理，共有：N=3+5+4=12种. （2）分三步： 第一步：从高一学生中选，有3种选法； 第二步：从高二学生中选，有 5种选法； 第三步：从高三学生中选，有4种选法. 根据分步计数原理，共有： N=3×5×4=60种. 3.解：分三步： 第一步：从第一个括号中选，有3种选法； 第二步：从第二个括号中选，有4种选法； 第三步：从第三个括号中选，有 5种选法； 根据分步计数原理，共有：N=3×4×5=60种不同项. Ⅳ.课时小结 ［师］通过本节学习，要求大家正确理解分类计数原理与分步计数原理， 并能正确运用两个基本原理分析、解决生产、生活中的实际应用. Ⅴ.课后作业 （一）课本习题10.1 1.解：分两类： 第一类：选本地产品有4种选法； 第二类：选外地产品有 7种选法； 根据分类计数原理有：N=4+7=11种选法. 2.解：分两大类： 第一大类：由甲地经乙地到丁地，又可分为两步：第一步：甲到乙有 2种 走法； 第二步：由乙到丁有3种走法； 由分步计数原理，第一类共有2×3=6种走法； 第二大类：由甲地经丙地到丁地，又可分为两步：第一步：甲到丙有 4种 走法； 第二步：由丙到丁有2种走法； 由分步计数原理，第二类共有 4×2=8种走法； 再根据分类计数原理，从甲到丁共有： N=6+8=14种不同走法. 3.解：构造分数分两步： 第一步：分子从1，5，9，13中选取，有4种选法； 第二步：从4，8，12，16中选分母，有4种选法. 由分步计数原理，有不同分数 N=4×4=16种. 构造真分数分四类： 第一类：1作分子，分母有4种选法； 第二类：5作分子，分母有3种选法； 第三类：9作分子，分母有2种选法； 第四类：13作分子，分母有1种选法. 由分类计数原理，共有 N=4+3+2+1=10个不同真分数. （二）1.预习课本 P85例1～例3. 2.预习题纲： （1）熟悉基本原理应用； （2）各例题中分类或分步的标准是什么. ●板书设计 §10.1.1 分类计数原理与分步计数原理 1.分类计数原理: 2.分步计数原理： 完成一件事有n类办法： 完成一件事分n步： 第1类：有 m1种不同方法； 第1步：有 m1种不同方法； 第2类：有 m2种不同方法； 第2步：有 m2种不同方法； …… …… 第n类：有 mn种不同方法； 第n步：有 mn种不同方法. 则完成这件事，共有 则完成这件事，共有 N=m1+m2+…+mn N=m1×m2×…×mn 种不同方法. 种不同方法. 3.例题解析： 例1 例2 解答过程 解答过程