直线方程的一般形式教案
教学目标
1．使学生经历一般式的发现过程，并掌握直线方程的一般形式，以及点斜
式、斜截式、两点式、截距式和一般式的联系与转化．
2．向学生渗透用分类讨论的数学思想解决问题．
3．培养学生观察、归纳、猜想等合情推理的能力．
教学重点与难点
理解寻求直线方程的一般形式是重点，分类、讨论是难点．
教学过程
师：我们已研究过直线方程的4种形状，请叙述这4种直线方程，并各举
一例，而且请指明它们的条件及应用范围．
(学生回答，教师打出投影片．见表一)
师：在平面内任意给定一条直线一定可以用以上4种形式之一来表示吗？
(提出问题，再次突出4种直线方程的不足．)
生：不一定．
(引起学生的反思：研究了4种直线方程但并不能表示平面内任一条直线，
是不是…．从而呼唤有一种直线方程能表示平面内的任一条直线．)
附：表一
方程名称 已知条件 举例 应用范围
点斜式
斜截式
两点式
截距式
师：是否有另一种直线方程能表示平面内任何一条直线？如果这样的直线
方程存在，我们可以把它叫做……．
(由学生取名，引出课题：直线方程的一般形式(？)板书课题．课题后画个
问号表明：它是否存在还需等待探求的结果来最后验证．)
师：根据我们已学过的直线方程的有关知识，结合所举的例子，请同学们
通过观察、分析、猜测直线方程的一般形式．
(若学生基础较差，教师可引导学生观察所举各例中都含有几个未知数，各
是几次？学生容易发现含两个未知数，均是一次．因此直线方程是含两个未知
数的一次方程，即二元一次方程．同时可以让学生对几种特殊形式化简整理成
一边等于零的方程形式．)
最后学生可以猜测出是一个二元一次方程．数学形式可以表示成
Ax+By+C=0，其中A、 B、 C是常数．
(马上提出一个问题，Ax+By+C=0总表示直线吗？引导学生对字母A、B、C去
讨论，从而也明确A、B的限定条件．)
师：Ax+By+C=0总表示直线吗？若是，它又表示怎样的直线，我们该怎么
去研究？
生：根据A、B、C不同的取值来讨论．
师：分类讨论都要有个分类的标准，此处以什么为标准来分类好呢？
(学生讨论鉴别，最后总结．)
生：根据直线斜率存在不存在两种情况来看，可以以B等不等于零来分类．
师：好．请你做一做．
生：1)若 B≠0，方程Ax+By+C=0可以称项，然后两边同除以B
2)当 B=0时，方程Ax+By+C=0变为Ax+C=0．
②若A=0，而此时就得看C了．
i)若 C≠0，方程即为 O·x+0·y+C=0，矛盾方程，没有图象．
ii)若 C=0，方程即为 O·x+0·y+0=0，……．
师(追问)：此时Ax+By+C=0它表示什么图形？
(升华，把学生的思维积极性调动起来，并且使学生对问题的把握不停留在
表面，而是让学生积极挖掘一个看似简单知识的深刻内涵．)
生1：……没想好．
生2：0·x+0·y+0=0，对任意的x、y∈R都是成立的，因此它可表示平面
内的任一点，也就是说这个方程此时可表示整个坐标平面．
师：解释得非常好．
(以上的讨论过程可视学生的情况具体操作．)
师：从上面的讨论过程看，Ax+By+C=0到底何时表示直线呢？
(观察，总结．)
1) B≠0， A≠0， 2) B≠0， A=0， 3) A≠0， B=0这 3种情形下都表示
直线．
即 A或 B≠0，即 A、B中至少一个不为零．
结论：当 A、B不全为零时，Ax+By+C=0表示直线．并且它可以表示平面内的
任一条直线．
师：是否可以说直线方程的一般形式是Ax+By+C=0，其中A、B不全为零．它
可以表示平面内的任一条直线？
生们：还需证明．
师生共同分析要证哪些方面：
(1)平面直角坐标系内，任何直线的方程都可表示成Ax+By+C=0(A、B不全为
零)的形式．
(2)方程Ax+By+C=0(A、B不全为零)可表示平面直角坐标系内的任意一条直
线．
(证明过程可视学生的具体情况而适当给予分析引导，或可让学生课下自行
证明．)
生：证明： 1)平面内的所有直线都可分为两类：①倾斜角 α≠90°，直
线的斜率 k存在，故直线可表示为y=kx+b，即 kx-y+b=0的形式，②倾斜角
α=90°，直线的斜率 k不存在，直线可表示为x=a，即x-a=0．
由①②可知，平面直角坐标系中的任一直线的方程都可表示成
Ax+By+C=0(A、B不全为零)的形式．故(1)得证．
(2)已知方程Ax+By+C=0(A、B不全为零)，由以上的分析讨论可知：
示平面直角坐标系内斜率存在的任意直线．
2)当 B=0时，由于A、B不同时为零，所以A≠0．此时Ax+By+C=0
由 1)、2)可知，方程Ax+By+C=0(A、B不全为零)可表示平面直角坐标系内的
任意一条直线．
师：经过同学们的共同探索，我们得到结论：直线方程的一般形式存在(去
掉前面画的问号)，且是Ax+By+C=0(A、B不全为零)这样的二元一次方程．
师：从上面的讨论、证明过程我们可以看到直线方程的点斜式、斜截式、两点
式、截距式与直线方程的一般式是相互联系的．直线方程的各种特殊形式都可化
为一般式，而直线方程的一般式也可以化为某种特殊形式．
般式；截距式．
化成一般式，得 3x-4y-12=0，
例 2 把直线 l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线 l的斜率和在x轴
与y轴上的截距，并画图．
(以上两个例题可由学生自己完成，教师打出投影片，并提醒学生注意．)
(1)要求直线的斜率和纵截距，应化成斜截式；要求直线的横截距和纵截距，
应化成截距式或用分别令 x=0和 y=0的方法来求．
(2)在画一条直线时，通常是用直线与两个坐标轴的交点，这样较为方便．
例 3 直线方程Ax+By+C=0的系数A、B、C满足什么关系时，这条直线：(1)
与坐标轴都相交；(2)只与x轴相交；(3)是 x轴；(4)是一、三象限角平分线．
(此例目的是加强学生对字母系数的各种可能情形的认识及培养学生数形结
合解决问题的能力．)
解 (1)A≠0，B≠0时，与坐标轴都相交(画草图)．
(2)B=0，A≠0时，只与x轴相交(画草图)．
(3)当 B≠0，A=C=0时，是x轴．
(4)当 A=-B，C=0时，是一、三象限角分线．
例 4 把直线 l的方程 mx+2y-4=0化成点斜式，求出直线 l的斜率，并指出
对任意 m值，直线 l的共同特征．
分析 把 mx+2y-4=0化成点斜式可以有很多种形式，但要指出 l的特征，
无论 m取何值，l都有不受影响的特点，因此可以想到把 mx移到等式的右边得
2y-4=-mx，2(y-2)=-mx，所以 y-2=-
解 原方程 mx+2y-4=0，
移项得 2y-4=-mx，
点(0，2)．
师：以后如何处理直线系过定点的问题，请同学们回去思考．
小结(师生共同谈收获)
(1)探求了直线方程的一般形式 Ax+By+C=0(A、B不全为零)．
(2)更熟悉了分类讨论思想．
(3)(生)教会我看问题更深入，更全面，平凡中孕育着神奇．如 Ax+By+C=0
讨论到 0·x+0·y+0=0时，可表示整个坐标平面．
作业：
1．直线方程 Ax+By+C=0的系数A、 B、 C满足什么关系时，这条直线(1)只
与 y轴相交；(2)是 y轴；(3)是二、四象限的角平分线；(4)过一、三、四象限．
2．求下列直线的斜率和在y轴上的截距，并画出图形．
3．求下列直线的横、纵截距，并画出图形．
4．将直线方程 mx-y+3m+2=0 化成点斜式，求该直线的斜率；并指出直线
对任意 m值，都经过哪个定点？
[点斜式 y-2=m(x+3)，k=m，定点(-3，2)]
设计说明
这个教案实际可分为以下几大块：
(1)提出问题，激发疑问，呼唤直线方程一般形式的出现．
(2)猜测一般式的结构．
(3)讨论、完善．
(4)证明．
(5)应用．
为什么这么设计呢？是基于：
(1)直线方程的一般式是在学生学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、
截距式后的第5种形式．前 4种形式都有其各自的优点，那么为什么还要学习
一般式呢？实际上直线方程的一般式有其他 4种形式无法实现的一个优点，它
能表示平面内的任意一条直线．针对这个特点就想到先让学生寻找 4种形式的
不完备之处，那就是它们都有一定的应用范围，进而提出问题：平面内任意给
定一条直线一定可以用以上4种形式之一来表示吗？再一次突出了4种直线方
程的不完备之处，从而引起学生的疑惑与反思．由此引起学生的联想：是否有
另一种直线方程能够表示平面内的任何一条直线？从而激发起学生学习研究的
兴趣．这就是通过引导学生发现现有知识的不完备，使学生产生不完备的地方
能否给予改进、提高的想法，从而使学生发现探求新知识的必要．这样新知识的
出现就不是老师“塞”给学生的，“今天我们学习……”．而是知识研究的必
然．它的出现就像清泉般慢慢地却极自然地流进学生的心田．
(2)知识出现的台阶已铺垫好了，“唱戏”的主角应该还是学生．根据学生
已学知识，引导学生去观察、归纳，让他们猜想直线方程一般式的结构．为什么
不是老师抛给学生呢？首先数学学习本质上就是一种思维活动．如果所学知识
是在老师今天抛，明天塞的，必将使学生的思维产生一种惰性，不利于学生思
维素质的提高．其次现在倡导创新能力，要创新首先应是思维上的创新、发现．
这种创新能力在学生的学习过程中就应致力于培养．据报道，在中国孩子放学
回家后，家长常问：今天学了什么知识．而在美国，家长常问：今天你在学校
问了些什么问题．从这里就反映出中、美两国家庭教育的侧重点不一样．中国的
家长观念陈旧，关心的只是老师讲的孩子是否都学会了；而美国的家长更侧重
于孩子的思维创造、发现能力．由此看来，要想促进家庭教育观念的转变，首先
我们教师自身就先要转变．我们平时的教学过程、教学设计就应为学生营造积极
思维活动空间，创设有利于学生思维去创造、发现的问题情境，以此来逐步培养
学生思维的创新能力．
(3)在学生猜想得出直线方程的一般式是 Ax+By+C=0(A、B、C是常数)后，这
个由特殊推导到一般的结论是否有一定的合理性？这个方程是否一定表示直线？
这些可以引导学生去验证．通过对字母A、B、C的各种可能情形的讨论，不仅由
一般再返回到特殊，巩固了旧知识，而且也更深层次地认识到 Ax+By+C=0 和直
线的对应关系．如讨论到 A=B=0，C≠0时，方程 Ax+By+C=0不成立，显然不能
表示任何图形，这使学生初步认识到 A、B不能同时为零．讨论再往前进一步：
当 A=B=C=0时，追问学生方程 Ax+By+C=0表示什么？让学生的思维动起来：x、y
取任意实数，方程0·x+0·y+0=0总成立，因此它表示整个平面．讨论到此就
使学生对 Ax+By+C=0 的各种情形有了一个全面、深刻地认识，并且再次发现
A、B不能同时为零．讨论完毕，学生也得到了直线方程一般式 Ax+By+C=0应附
加的条件：A、B不同时为零．这不也是学生自己发现的吗？
(4)数学是一门实验性的归纳科学，同时它也是一门系统的演绎科学．因此
教学过程中应注重既教猜想又教证明，这样才能培养学生既有发现、创新能力，
又有检验、辨别能力．在学生猜想、验证了直线方程的一般形式是
Ax+By+C=0(A、B不全为零)后，还要学生给出严格的证明．如果学生程度比较好
可以让他们自己分析；如果学生程度较差可以在教师的引导下分析要证明什么，
怎么去证．实际上学生总结出的结论就对应着两个方面．其一：直线方程的一
般形式是 Ax+By+C=0(A、B不全为零)就对应要证平面直角坐标系中任一直线的
方程都可表示成 Ax+By+C=0(A、B不全为零)的形式．其二：Ax+By+C=0(A、B不全
为零)可表示平面内的任何一条直线，就对应要证二元一次方程 Ax+By+C=0(A、B
不全为零)的图象是一条直线．证明过程中再次用到分类讨论思想．不仅再次强
调了出现斜率就应讨论存在、不存在两种情形，同时也反映了数学证明的严谨，
来不得半点纸漏．这样也加深了学生对分类讨论的数学思想的认识．
(5)应用这一部分主要是想培养学生对直线方程的点斜式、斜截式、两点式、
截距式和一般式的联系与转化的认识．明确怎么转化，往哪儿转化．并使学生
明确，虽然 Ax+By+C=0中有A、B、C3个字母，但并不是需要3个条件才能确定这
条直线，而是通过变形：
总之，教师在教学设计中，要刻苦钻研教材，分析学生的认识结构，寻找
教材知识与学生认知的最佳结合途径．积极创设有利于学生思维活动的问题情
境．教学设计中应以学生为主体去设计．一切活动应围绕有利于学生的思维发
展而进行．提倡学生大胆创新、发现，首先我们教师在教学设计和教学中就应大
胆创新、发现，不要沉囿于传统的教材体系、教育模式．只有大胆创新才能推陈
出新；才能真正做到教材为我所用，为我所写；才能有利于教学中培养学生的
创新能力．
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