曲线和方程教案 3
教学目标
(1)引导学生真正理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义，
深刻认识曲线C与方程f(x，y)＝0间的对应关系．
(2)能判定一条简单的曲线是否是某个二元方程的曲线，或一个简
单的二元方程是否是某一曲线的方程．
(3)会判定一个点是否在一已知曲线上．
教学重点和难点
重点：对“曲线的方程”和“方程的曲线”的深刻理解，能根据曲
线的方程判定一个点是否在已知曲线上．
难点：对“曲线的方程”和“方程的曲线”含义的正确理解．
教学过程设计
(一)学生阅读课文．(P817．6到 P82例1前)
阅读思考题：
(1)什么是“曲线的方程”？什么是“方程的曲线”？
(2)“曲线的方程”和“方程的曲线”二者之间存在着怎样的关系．
(二)教师总结讲评
我们在初中已学过一次函数，二次函数，初步认识到方程与曲线间
的关系．
如一次函数中的正比例函数y＝x，表示一个点的横坐标与它的纵坐
标相等，它的图象是过原点和(1，1)点的一条直线．即第一、三象限角
的平分线．这就是说：如果点M(x0，y0)是这直线上的任意一点，它到
两坐标轴的距离一定相等，y0＝x0，就是说点M的坐标是方程y＝x的解．
反过来，如果(x0，y0)是方程y＝x的解，即y0＝x0，那么以这个解
为坐标的点到两轴的距离相等，这个点一定在一、三象限角的平分线上．
再如二次函数y＝ax2(a＞0)的图象是关于y轴对称的抛物线，大家
在初中已研究过它．就是说如果M(x0，y0)是抛物线上的点，(x0，y0)是
y＝ax2的解．
反过来，如果(x0，y0)是方程y＝ax2的解，那么以它为坐标的点，
一定在抛物线上．
通过上面的复习研究，我们得出下面重要的结论：
在直角坐标系中，曲线C可以看作是适合某种条件的二元方程
f(x，y)＝0的点集．(轨迹)．
这样二元方程f(x，y)＝0的解集，与曲线C上的点集之间建立起
一种重要的对应关系：
(1)曲线 C 上的点的坐标都是这个方程 f(x，y)＝0 的解．
(2)以方程 f(x，y)＝0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点，
我们把方程f(x，y)＝0叫做曲线的方程，曲线C叫做方程 f(x，y)＝
0 的曲线(图形)．
对这个重要关系我们应当这样来理解：
条件(1)强调了纯粹性．就是说曲线C上的点的坐标无一例外地都
满足方程f(x，y)＝0．
条件(2)强调了完备性．就是说，以方程f(x，y)＝0的任一组解为
坐标的点无一缺漏地完全落在曲线上．
这说明“曲线的方程”和“方程的曲线”是在不混杂，无缺漏这一
严格约束条件下建立起来的数形关系．条件(1)(2)缺一不可．
如：过点(2，0)平行于y轴的直线l与方程｜x｜＝2之间的关系，
只具备性质(1)，因之｜x｜＝2不是直线l的方程，l也不是方程｜x｜
＝2的直线．(图1)
又如：到两坐标轴距离相等的点的轨迹C与方程y＝x之间的关系，
只具备性质(2)，因之y＝x不是C的方程，C也不是方程y＝x的轨迹．
(图2)
由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么
点P0(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0．
这一条件对判定点和曲线间的关系是非常有用的．
例1 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，
并且判断点
证明：(1)先证明：曲线上的点的坐标都是方程的解．(纯粹性)
设M(x0，y0)是圆上任意一点，因M点到原点的距离等于5，
(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．
(2)再证明：方程解为坐标的点都在曲线上．(完备性)
点M(x0，y0)到原点(0，0)的距离等于5，点M在这个圆上．
由(1)、(2)．x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方
程．
例2 证明：到两平行线2x－y＋1＝0和 2x－y＋3＝0距离相等的点
的轨迹方程是2x－y＋2＝0．
证明：(1)先证明：轨迹上的任意一点的坐标，都是方程2x－y＋2
＝0的解．(纯粹性)
设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点，M在轨迹上，它到两条平行线
l1：2x－y＋1＝0，l2：2x－y＋3＝0的距离相等．
解出 2x0－y0＋2＝0．
因之M(x0，y0)是方程2x－y＋2＝0的解．
(2)再证明：以方程的解为坐标的点都在轨迹上(完备性)
设M(x0，y0)是方程2x－y＋2＝0的解，则2x0－y0＋2＝0．
d1＝d2．∴M点到l1、l2的距离相等，M点在轨迹上．
由(1)，(2)． 2x－y＋2＝0是到两平行线距离相等的点的轨迹的方
程．
(三)学生课堂练习
课本练习题2．
中线AO的方程不是x＝0，中线AO上的点满足方程x＝0，具备性质
(1)，但x＝0即y轴上的点不都在中线AO上，不具备性质(2)．中线AO
的方程是x＝0(0≤y≤3)．
2．课本练习题3．
A、B两点在曲线ax2＋by2＝25上，把A、B两点的坐标代入
(四)小 结：
曲线C的方程是f(x，y)＝0，方程f(x，y)＝0的曲线是C，则
(1)曲线C上的任一个点的坐标，都是方程f(x，y)＝0的解．
(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
简单记为“曲线上的点无一例外地满足方程，满足方程的点无一遗
漏地在曲线上”．
点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0．
作业 习题7．6 1、2．
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